高一下学期期末学业质量监测
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．数据5，8，9，6，7，4，7，9，4，9的第60百分位数为
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
3．“”是“”的
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
4．已知一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，则该圆台的体积为
A． B． C． D．
5．一个不透明的盒子中装有大小、材质均相同的四个球，其中有两个红球和两个黄球，现从盒子中一次性随机摸取两个球，则这两球不同色的概率为
A． B． C． D．
6．若是偶函数，则
A．1 B． C． D．2
7．已知函数，若，，且，则的最小值为
A．2 B．4 C．6 D．8
8．已知所在平面内一点满足（为非零实数），且的面积为12，则的面积为
A．12 B．9 C．6 D．4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数，则下列结论正确的是
A．
B．在复平面内对应的点位于第四象限
C．若是实数，则
D．若，，则在复平面内对应的点的轨迹为一条线段
10．已知向量，，则下列结论正确的是
A．若，则 B．存在，使得
C．若，则 D．当时，在上的投影向量的模为
11．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为棱的中点，是棱上一动点（包含端点），则下列结论正确的是
A．
B．平面平面
C．若四棱锥的体积为，则四边形的面积为
D．在点从点向点运动的过程中，点到平面的距离的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知幂函数的图象经过点，则 .
13．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，且，则 .
14．如图，在三棱锥中，，且，，两两相互垂直，若以为球心，作一个半径为4的球，所作球面被三棱锥的四个面——面、面、面、面截得的弧分别为，，，，则，，，的长度之和为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
某社区组织了300人参加读书有奖测试活动，参与者经过一段时间的读书学习之后，参加社区组织的测试.把他们的测试成绩（满分100分）整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，所有成绩共分为，，，，五组.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）估计这300人测试成绩的平均数；（每组数据以该组所在区间的中点值为代表）
（Ⅲ）在测试成绩为，，，的四组人中，按人数比例用分层随机抽样的方法抽取57人，求在测试成绩为的这一组中抽取的人数.
16．（15分）
已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）若在区间上的取值范围是，求实数的最大值.
17．（15分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小.
18．（17分）
如图，在平面四边形中，，.
（Ⅰ）若，，，求的面积；
（Ⅱ）若，，求的最大值.
19．（17分）
张三参加某闯关比赛，比赛分为三关，每关都需要闯，且在同一天内完成三关的闯关，不能弃权.比赛规则如下：第一天三关都闯关失败者被淘汰；第一天只有一关闯关成功者获得纪念奖并结束闯关；第一天三关都闯关成功者获得蓝牙耳机一副并结束闯关；第一天只有两关闯关成功者第二天可以重新参与闯关，若该闯关者第二天三关都闯关成功，则获得蓝牙耳机一副，否则获得纪念奖，并结束闯关.已知张三每关闯关成功的概率均为，且前面各关闯关成功与否对后面的闯关没有影响.
（Ⅰ）求张三被淘汰的概率；
（Ⅱ）求张三第一天获得纪念奖的概率；
（Ⅲ）求张三第二天获得蓝牙耳机的概率.
