2023—2024学年下学期高一年级期末考试
数学（北师大版）
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，若，则实数（ ）
A． B．2 C． D．1
3．已知某圆锥的母线长为8，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
4．已知，表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若，，则，可能平行、异面或者相交
B．若，，则与可能平行、相交或者
C．若，，则
D．若，，则
5．已知向量，，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．在正方体中，三棱锥的体积为72，则正方体的棱长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
8．已知函数且，若方程与方程共有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形，其中，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．四边形为等腰梯形 D．四边形的周长为
10．已知当时，函数不单调，其中，则实数可能的取值有（ ）
A． B． C．2 D．
11．在三棱锥中，底面，，，，以点为球心，作一个表面积为的球，设三棱锥外接球的半径为，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为1 B．的最小值为
C．当取得最小值时，球与侧面的交线长为 D．当取得最小值时，球与侧面的交线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知为复数的共轭复数，且满足，则复数的实部为 .
13．函数的最小正周期为 .
14．在中，角，，所对的边分别是，，，若，，则的取值范围为 .
四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
16．（15分）
已知复数，，为虚数单位，.
（1）若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围；
（2）若是方程的根，求.
17．（15分）
已知函数的图象过，两点，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，求函数的单调区间.
18．（17分）
如图，为三棱锥的高，且点在的内部.点为的中点，且，直线平面.
（1）求直线与平面所成角的大小.
（2）若直线分别与直线，所成的角相等，且.
①求二面角的大小；
②求三棱锥的体积.
19．（17分）
三边长度均为整数的三角形称为“整边三角形”.若整边三角形的内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）证明：；
（2）若，当取最小值时，求整边三角形的面积.
