2023-2024学年江苏省连云港市高一下学期6月期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设为实数，，，，若，则的值为
A. B. C. D.
2.复数在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.若三条线段的长分别为，，，则用这三条线段 ( )
A. 能组成直角三角形 B. 能组成锐角三角形 C. 能组成钝角三角形 D. 不能组成三角形
4.已知，，若，则实数的值为
A. B. C. D.
5.根据中华人民共和国道路交通安全法规定：血液酒精浓度在含以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和三个月以上六个月以下暂扣驾驶证，并处元以上元以下罚款．年月以来，某地区交警查处酒后驾车和醉酒驾车共人．如图，这是对这人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率直方图，则属于醉酒驾车的人数约为
A. B. C. D.
6.已知为钝角，，则
A. B. C. D.
7.用油漆涂个圆台形水桶桶内外侧都要涂，桶口直径为，桶底直径为，母线长是已知每平方米需用油漆，共需用油漆精确到
A. B. C. D.
8.在梯形中，，为钝角，且，若为线段上一点，，则
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组样本数据如下：，，，，，，则该组数据的
A. 极差为 B. 平均数为
C. 方差为 D. 第百分位数为
10.已知直线，，平面，，，则下列结论正确的有
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
11.在中，，，，为的中点，为的中点，延长交线段于点，则
A. B.
C. 的面积为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且，则的最小值为__________．
13.在中，，，若最短边的长为，则最长边的长为__________．
14.已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，其中较大圆锥的体积是较小圆锥的体积的倍，若这两个圆锥的体积之和为，则球的体积为__________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，且 ．
求角的大小；
若，，求的面积．
16.本小题分
已知三种不同的元件，，，其中元件，正常工作的概率分别为，，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响．
用元件，连接成系统如左图，当元件，都正常工作时，系统正常工作．求系统正常工作的概率；
用元件，，连接成系统如右图，当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统正常工作．若系统正常工作的概率为，求元件正常工作的概率．
17.本小题分
如图，在正方体中，为棱的中点． 求证：
平面；
平面平面．
18.本小题分
已知，，且，求 的值；
已知 ，且，，求的值．
19.本小题分
如图，已知各边长为的五边形由正方形及等边三角形组成，现将沿折起，连接，，得到四棱锥，且二面角的正切值为．
求证：四棱锥为正四棱锥；
求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
若点是侧棱上的动点，现要经过点作四棱锥的截面，使得截面垂直于侧棱，试求截面面积的最大值．
参考答案
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15.解：在中，由正弦定理可得
，
即，又，知，
故，
由知，所以，
又因为，所以；
在中，由余弦定理可得，
又，则，
联立，可得，则，舍负
所以．
16.解：记“元件正常工作”为事件，“元件正常工作”为事件，
“当元件，都正常工作时，系统正常工作”为事件．
由题意可得，元件，正常工作的概率分别为，，且两个元件是否正常工作相互独立，则当元件，都正常工作时，系统正常工作，则系统正常工作的概率为
答：当元件，都正常工作时，系统正常工作的概率为．
记“元件正常工作”为事件，“系统正常工作”为事件．
法一，
得
法二：
得，
答：元件正常工作的概率为．
17.证明：连结，交于点，连结，
在正方体中，为棱的中点，是的中点，
，
平面，平面，
平面
取的中点，连接，，，设正方体的边长为．
，，，且，，，
平面平面
18.【解答】解：，，且，，，
又，，．
．
，，即，即，，，，，两边同时除以得：，．
19.解：取，中点分别为，，则，，连接，，因为为正三角形，且，则，，由，，底面，面知为二面角的平面角，
从而，则，，在中作
，则
，从而为中点知为正方形的中心，
由，，则面，面，故F，，从而有面，所以为正四棱锥．
设面面，因为，面，面，故AD面，又面，面面，从而，则，同理，为二面角的平面角，
因四棱锥为正四棱锥，故FG，则，故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
由知为的中点，取的中点，连接，，，都是正三角形，平面，所以．
由，，则平面，因此过点垂直于的截面与截面平行或重合，显然点在上不含端点时，截面面积小于，不可能最大，当点在上不含端点时，令，此时截面交，，，分别于点，，，，平面平面，
平面平面，平面平面，
因此，同理，，由知，平面，
得平面，而平面平面，平面，则，
同理，于是，四边形为平行四边形，又，则，
即有， 为矩形，显然，则∽，
，，由，得，
而，矩形面积，从而截面的面积，
当时，，显然，即时，截面面积最大，最大值为．
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