2023-2024学年度湖南省雅礼教育集团2024年高一下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设为虚数单位，复数满足，则为．
A. B. C. D.
3.设，为两个不同的平面，则的一个充分条件是( )
A. 内有无数条直线与平行 B. ，垂直于同一个平面
C. ，平行于同一条直线 D. ，垂直于同一条直线
4.定义在上的函数满足，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，满足，，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点切点，地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若小明同学在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且米，则该球体建筑物的高度为 米．
A. B. C. D.
8.已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，的中点为，过点作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.学校“未来杯”足球比赛中，甲班每场比赛平均失球数是，失球个数的标准差为乙班每场比赛平均失球数是，失球个数的标准差为，你认为下列说法中正确的是( )
A. 平均来说乙班比甲班防守技术好
B. 乙班比甲班防守技术更稳定
C. 乙班在防守中有时表现非常好，有时表现比较差
D. 甲班很少不失球
10.伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果若连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，记录这次试验的结果，设事件“次试验结果中，既出现正面又出现反面”，事件“次试验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是( )
A. 若，则与不互斥 B. 若，则与相互独立
C. 若，则与互斥 D. 若，则与相互独立
11.如图，在四边形中，和是全等三角形，，，，下面有两种折叠方法将四边形折成三棱锥折法将沿着折起，得到三棱锥，如图折法将沿着折起，得到三棱锥，如图下列说法正确的是．
A. 按照折法，三棱锥的外接球表面积恒为
B. 按照折法，存在满足
C. 按照折法，三棱锥体积的最大值为
D. 按照折法，存在满足平面，且此时与平面所成线面角正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.当且时，函数的图象一定经过定点 ．
13.如图所示，已知平面，，，则 ．
14.已知向量，满足，，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的最小正周期
求的最小值以及取得最小值时的集合．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，满足．
求角
若，，是中线，求的长．
17.本小题分
我校在年的自主招生考试成绩中随机抽取名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在分以上的学生为“优秀”，成绩小于分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．
根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数
如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出人，再从这人中选人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少
18.本小题分
如图，在长方体中，，，点和点在棱上，且．
求证：平面
求证：．
19.本小题分
已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点．
求证：平面
若为的中点，求与平面所成角的正弦值
在的条件下，求二面角的平面角的余弦值．
参考答案
1.
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14.
15.解：由得，
所以；
由知，此时，即，
故的集合为．
16.解：因为，由正弦定理可知：，
，
，
又为三角形内角，所以
由，得，又，在中由余弦定理得：
，
所以．
17.解：第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为，
第四组的频率为，第五组的频率为，
所以中位数在第三组，不妨设为，则，解得，
平均数为；
根据题意，“良好”的学生有人，“优秀”的学生有人，
所以分层抽样得“良好”的学生有人，“优秀”的学生有人，
将三名优秀学生分别记为，两名良好的学生分别记为，
则这人中选人的基本事件有：共种，
其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：共种，
所以至少有一人是“优秀”的概率是
18.解：在长方体中，，
点和点在棱上，且，
连接、，设，连接，则为的中点，
又为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面．
在长方体中，，
则为正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
，，平面，
所以平面，
平面，所以，
又，，，，
所以，所以∽，
所以，
又，
所以，
所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，所以．
19.证明：，，
为等边三角形，
为中点，，
取中点，连接，则，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，
．
又，，、平面，
平面．
平面，．
又，、平面，
平面．
解：过点作，垂足为如图所示
由知，平面．
因为平面，所以
又，平面，所以平面，
所以为与平面所成角．
由知，平面平面，所以．
在中，，
，
因为为的中点，所以．
在中，，
在中，，
在中，，
所以．
所以与平面所成角的正弦值为．
取的中点为，连接，因为为线段的中点，
所以，
由知，平面，所以平面．
又平面，所以．
过点作，垂足为，连接．
，平面，
所以平面．
又平面，所以，
所以为二面角的平面角．
在中，，
由知，为等边三角形，为线段的中点，
所以．
由知，平面．
又平面，所以．
在中，，由知，，
即，解得．
因为平面，平面，所以．
在中，．
．
所以二面角的平面角的余弦值为．
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