3.2.1 单调性与最大(小)值（第二课时）（同步训练）
一、选择题
1.函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为( )
A.， B.f(0)， C.，f(0) D.f(0)，f(3)
2.函数y＝x－在[1，2]上的最大值为( )
A.0 B. C.2 D.3
3.函数f(x)＝在区间[2，6]上的最大值为( )
A.3 B. C.2 D.
4.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A.2 B.－2
C.2或－2 D.0
5.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A.[1，＋∞) B.[0，2]
C.(－∞，2] D.[1，2]
6.已知函数f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为( )
A. B. C.1 D.2
7.函数y＝在[2，3]上的最小值为( )
A.2 B. C. D.－
8.函数y＝f (x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A.－1，0 B.0，2 C.－1，2 D.，2
9.(多选)下列关于函数y＝ax＋1，x∈[0，2]的说法正确的是( )
A.当a<0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1
B.当a<0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1
C.当a>0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1
D.当a>0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1
二、填空题
10.当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是________
11.若f(x)＝x2－6x＋m在区间[2，＋∞)上的最小值为－3，则m＝________
12.若函数f(x)＝在[1，b](b＞1)上的最小值是，则b＝________
13.函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a＜b＜3)上有最大值9，最小值－7，则a＝________，
b＝________
三、解答题
14.已知函数f(x)＝，x∈[3，5]．
(1)判断函数f(x)的单调性；(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
15.已知函数f(x)＝
(1)画出函数的图象并写出函数的单调区间；(2)根据函数的图象求出函数的最小值．
16.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
参考答案及解析：
一、选择题
1.B 解析：观察函数图象，f(x)的最大值、最小值分别为f(0)，．
2.B 解析：函数y＝x在[1，2]上单调递增，函数y＝－在[1，2]上单调递增，所以函数y＝x－在[1，2]上单调递增．当x＝2时，ymax＝2－＝．
3.A 解析：因为f(x)＝＝＝1＋，所以f(x)＝在区间[2，6]上单调递减，所以f(x)在[2，6]上的最大值为f(2)＝3．故选A．
4.C 解析：依题意，若a＝0，则y＝1，不符合题意，故a≠0．当a＞0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a＜0时，a＋1－(2a＋1)＝2，所以a＝－2．综上a＝±2．
5.D 解析：f(x)＝(x－1)2＋2，因为f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，所以1≤m≤2．故选D．
6.D 解析：易知函数f(x)＝在区间[2，6]上单调递减，∴f(x)max＝f(2)＝2．
7.B 解析：∵函数y＝在[2，3]上单调递减，∴当x＝3时，ymin＝＝．故选B．
8.C 解析：由题图可知，f (x)的最大值为f (1)＝2，f (x)的最小值为f (－2)＝－1．故选C．
9.AD 解析：当a>0时，y＝ax＋1在[0，2]上单调递增，
∴当x＝0时，ymin＝1，当x＝2时，ymax＝2a＋1；
当a<0时，y＝ax＋1在[0，2]上单调递减，
∴当x＝0时，ymax＝1，当x＝2时，ymin＝2a＋1．故选AD．
二、填空题
10.答案：(－∞，0)
解析：令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1．又因为x∈[0，2]，所以f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0，所以a＜0．
11.答案：6 解析：由于f(x)图象的对称轴是x＝3，所以f(x)在区间[2，3]上单调递减，在区间[3，＋∞)上单调递增，故x＝3时，f(x)最小，f(3)＝－9＋m＝－3，即m＝6．
12.答案：4
解析：因为f(x)在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，所以b＝4．
13.答案：－2，0
解析：y＝－(x－3)2＋18，∵a＜b＜3，∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，解得b＝0(b＝6不合题意，舍去)，－a2＋6a＋9＝－7，解得a＝－2(a＝8不合题意，舍去)．
三、解答题
14.解：(1)任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝
＝＝．
因为x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1＋2＞0，x2＋2＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)＝在[3，5]上单调递增．
(2)由(1)知f(x)在[3，5]上单调递增，所以当x＝3时，函数f(x)取得最小值，为f(3)＝；
当x＝5时，函数f(x)取得最大值，为f(5)＝．
15.解：(1)函数的图象如图所示．
由图象可知f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递减区间．
(2)由函数图象可知，函数的最小值为f(0)＝－1．
16.解：(1)设月产量为x台，则总成本为(20 000＋100x)元，
从而f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，
所以当x＝300时，f(x)max＝25 000．
当x＞400时，f(x)＝60 000－100x单调递减，
f(x)＜60 000－100×400＝20 000＜25 000．
所以当x＝300时 ，f(x)max＝25 000，
即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．3.2.1 单调性与最大(小)值（第一课时）（同步训练）
一、选择题
1.如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )
INCLUDEPICTURE "ymsx352．tif" INCLUDEPICTURE "E:\\小样\\全优人教数学必修第一册(教师用书2023.8.9出教师用书)\\ymsx352.tif" \* MERGEFORMATINET
A.1 B.2 C.3 D.4
2.定义在R上的函数f(x)，对于任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，＞0都成立，则( )
A.f(2)＞f(3) B.f(2)≥f(3)
C.f(2)＜f(3) D.f(2)≤f(3)
3.若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )
A.f(a)＞f(2a) B.f(a2)＜f(a)
C.f(a2＋a)＜f(a) D.f(a2＋1)＜f(a2)
4.下列函数中，在区间(1，＋∞)上单调递增的是( )
A.y＝－3x－1 B.y＝
C.y＝x2－4x＋5 D.y＝|x－1|＋2
5.已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.函数y＝|x|在区间[－2，－1]上( )
A.单调递减 B.单调递增
C.先减后增 D.先增后减
7.下列函数在区间(0，＋∞)上不单调递增的是 ( )
A.y＝2x＋1 B.y＝x2＋1
C.y＝3－x D.y＝x2＋2x＋1
8.已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )
A B C D
9.(多选)如果函数f (x)在区间[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的是( )
A.>0 B.(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0
C.f (a)≤f (x1)
二、填空题
10.函数f(x)＝x2＋2x－3的单调递减区间是________
11.函数f(x)＝|x－2|＋3的单调递减区间为________
12.设f(x)是定义在R上的增函数，且f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)＞1的解集为____________
13.已知函数f(x)为定义在区间[－1，1]上的增函数，则满足f(x)＜f的实数x的取值范围是_______
三、解答题
14.判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．
15.求证：函数f(x)＝－在其定义域上单调递减．
16.若f (x)在(0，＋∞)上单调递增，且对一切x，y>0，满足f ＝f (x)－f (y)．
(1)求f (1)的值；
(2)若f (6)＝1，求不等式f (x＋3)－f (2)<1的解集．
参考答案及解析：
一、选择题
1.B 解析:由图象可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B．
2.C 解析：因为对于任意的x1，x2∈R，＞0都成立，所以f(x)在R上单调递增，故f(2)＜f(3)．故选C．
3.D 解析:因为f(x)是R上的减函数，且a2＋1＞a2，所以f(a2＋1)＜f(a2)．故选D．
4.D 解析:由一次函数的性质可知y＝－3x－1在区间(1，＋∞)上单调递减，故A错误；由反比例函数的性质可知y＝在区间(1，＋∞)上单调递减，故B错误；由二次函数的性质可知y＝x2－4x＋5在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，故C错误；在(1，＋∞)上，y＝|x－1|＋2＝x－1＋2＝x＋1，为增函数．故选D．
5.A 解析:当x＜0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，则≥0，解得a≥0；当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤．所以0≤a≤．
6.A 解析：函数y＝|x|的单调减区间是(－∞，0)，又因为[－2，－1]?(－∞，0)，所以函数y＝|x|在区间[－2，－1]上单调递减．
7.C 解析:函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上单调递减．
8.B 解析:由图可知，选项B是定义域上的增函数，选项ACD不具有单调性．故选B．
9.AB 解析:由函数单调性的定义可知，若函数y＝f (x)在给定的区间上单调递增，则x1－x2与f (x1)－f (x2)同号，由此可知，选项A，B正确；对于选项C，D，因为x1，x2的大小关系无法判断，所以无法判断f (x)的单调性，故C，D错误．故选AB．
二、填空题
10.答案：(－∞，－1]
解析：二次函数f(x)的图象开口向上，对称轴为x＝－1，故其单调递减区间是(－∞，－1]．
11.答案：(－∞，2] 解析：f (x)＝显然函数f(x)在x≤2时单调递减．
12.答案：
解析：由条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又因为f(3)＝1，所以不等式f(x)＋f(－2)＞1，即为f(－2x)＞f(3)．因为f(x)是定义在R上的增函数，所以－2x＞3，解得x＜－．故不等式f(x)＋f(－2)＞1的解集为．
13.答案：
解析：由题意得 解得－1≤x＜．
三、解答题
14.解：函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上单调递增．证明如下：
设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝．
由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2＞0．
又由x1＜x2，得x1－x2＜0，
于是f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上单调递增．
15.证明：f(x)＝－的定义域为[0，＋∞)．
设0≤x1＜x2，则x1－x2＜0，
且f(x2)－f(x1)＝(－)－(－)＝－＝＝．
因为x1－x2＜0，＋＞0，
所以f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，
所以f(x)＝－在其定义域[0，＋∞)上单调递减．
16.解：(1)在f ＝f (x)－f (y)中，令x＝y＝1，则有f (1)＝f (1)－f (1)＝0，∴f (1)＝0．
(2)∵f (6)＝1，∴f (x＋3)－f (2)<1＝f (6)，∴f
