2023-2024学年下学期初中学业水平检测
八年级数学试卷
（本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟）
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（共10题，每小题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．直线经过点，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，则等于（ ）
A．45° B．60° C．120° D．135°
5．十堰市举办以“古诗词大会”为主题的比赛，某中学计划在四支队伍中择优推选一支队伍，参加市级比赛，下表是该校四支队伍参加选拔赛的成绩平均数和方差.根据表中数据，可知2号队伍的成绩最好且发挥最稳定，则，的值可能是（ ）
队伍 1号队伍 2号队伍 3号队伍 4号队伍
平均数 95 94 94
方差 1.8 0.5 1.8
A．93，0.5 B．95，0.4 C．93，1.9 D．95，1.9
6．如图，在中，，为锐角.要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案是（ ）
甲方案：在上取，连接、、、.
乙方案：作于点，于点，连接、、、.
丙方案：作、分别平分，，分别交于点、，连接、、、.
A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙
7．对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，平面直角坐标系中有矩形，点的坐标是，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．4
9．如图，在中，，按以下操作步骤作图：①以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线，交于点.若，，则线段的长度是（ ）
A． B．3 C．2 D．
10．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，轴上有一点，，分别为直线和轴上的两个动点，当的周长最小时，点，的坐标分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11．若式子有意义，则的取值范围是___________.
12．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使、；然后摆放成如图②四边形；将直角尺紧靠窗框的一个角（如图③）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是__________形，根据的数学道是：___________.
13．为庆祝建国75周年，某校举行“红歌大赛”，八年级6个班得分分别为85，91，88，95，92，91，则6个班得分的中位数是___________.
14．如图是我国古代著名的赵爽弦图，其中直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，若，，则的长是___________.
15．在物理实验探究课上，小明利用滑轮组及相关器材进行实验，不计绳重和摩擦，他把得到的拉力和所悬挂重物的重力的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象，请你根据图象判断以下结论正确的有__________.（填序号）
①拉力与重力成正比例函数关系；
②拉力随着重物重力的增加而增大；
③当拉力时，物体的重力；
④当滑轮组不挂重物时，所用拉力为.
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（6分）
计算：（1）；
（2）已知，求代数式的值.
17．（6分）汉江是长江最大的一条支流，源头在秦岭南麓，从西向东流经多个县域后出陕西进入湖北十堰，如图，在汉江笔直的河流一侧有一旅游地，江边有两个景点，.其中，由于某种原因，从到的路现在不通，为让游客有更好的体验，现决定在江边新建一个景点（，，三点在同一直线上），并修建一条公路，测得千米，千米，千米.
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求原路线的长.
18．（6分）
【阅读材料】
老师的问题： 如图，已知中，，是斜边上的中线，求作菱形. 小丽的做法： （1）取的中点； （2）连接并延长到点，使； （3）连接，. 四边形即为所求作的菱形.
【解答问题】
（1）请根据小丽的作法利用尺规作图补全图形，不写作法，保留作图痕迹；
（2）请根据材料中的信息，证明四边形是菱形.
19．（8分）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，且，并于一次函数的图象交于点，已知点的横坐标为.
（1）求一次函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）请直接写出当时，自变量的取值范围.
20．（8分）中国古代六艺——礼、乐、射、御、书、数，作为培养人们全面素质和人格修养的重要途径，更是值得我们深入了解和传承。十堰某中学为弘扬中国传统文化举行了“六艺”知识竞赛，随机抽取了200名学生的成绩进行统计（得分均为正整数，满分为100分），并绘制了如图所示尚不完整的统计图表。
熟悉程度 成绩/分 频数 所占百分比
非常熟悉 45
熟悉 35 17.5%
有点熟悉 25%
不熟悉 70 35%
请结合图表解决下列问题：
（1）频数分布表中，___________，___________；并将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校共有2000名学生，请估计本次知识竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生人数；
（3）请你利用频数分布表对随机抽取的200名学生对“六艺”知识掌握的情况写出两条结论.
21．（8分）如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作于点，连接，延长至点，连接.
（1）请你只添加一个条件，使得四边形为矩形，你添加的条件是________________，并进行证明；
（2）若，，求的长.
22．（10分）123 456 说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来.”我市某中学在世界读书日这天，同时购进甲、乙两类图书若干套，已知一套甲类图书比一套乙类图书的进价高30元，买三套甲类图书和两套乙类图书一共需要540元.
（1）甲、乙两类图书每套的进价分别是多少元？
（2）根据实际需要，学校决定购买两类图书共100套，其中甲类图书购买的数量不少于乙类图书数量的，且甲类图书购买的数量不超过45套.请问有几种购买方案？
（3）若购买甲类图书套，学校购买这批图书的总费用为元，在第（2）问的条件下，求哪种方案能使最小，并求出的最小值。
23．（11分）综合实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究学习活动，具体探究过程如下.
【操作判断】
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上取一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连结.
（1）根据以上操作，如图①，当点落在上时，写出图中一个30°的角：__________；
【迁移探究】
（2）小敏同学将矩形纸片换成边长为5的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照上述操作，点在上，延长交于点，如图②.
①求证：；②求的长度；
【拓展应用】
（3）小敏在（2）的操作基础上继续探究，连结，当点落在上时，如图③，过点作于点，求的长度.
24．（12分）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，以，，三点为顶点作矩形，将矩形绕点顺时针旋转90°，得到矩形，直线交直线于点.
（1）求直线的解析式；
（2）求证：是的角平分线；
（3）在角平分线上，是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
数学试卷参考答案
一、选择题（共10题，每小题3分，共30分. 在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1．解：，
A．，B．，C．，均不为最简二次根式，
故选：D．
2．解：将点代入，求出即可确定答案．
故选：B．
3．解：根据二次根式的加减乘除法则，判断不能继续合并，，，因此ABC均错误，正确.
故选：D.
4．解：根据平行四边形的性质可知，，所以，解得.
故选：A．
5．解：成绩的平均数越大代表成绩好，方差越小说明成绩越稳定．
故选：B．
6．解：甲方案，连结对角线与交于点，由平行四边形的性质得，，则，所以四边形是平行四边形.乙方案，证明，得，，所以，所以，所以四边形是平行四边形.方案丙，证明，所以，因为，，所以，所以四边形是平行四边形.综上甲、乙、丙均可行.
故选：A．
7．解：由函数不过第二象限，则可得，，所以A，B正确；函数图像经过点，代入求得，C正确；.所以C错误．
故选：C．
8．解：由点的坐标是，求得，由矩形对角线相等，可得，所以.
故选：C．
9．解：由作图方法可知所作是的角平分线，过点作于点，则，，.由勾股定理求得，设，则，在中，由勾股定理得，求得.
故选：D．
10．解：作点关于直线的对称点和关于轴的对称点，由可得，，所以是等腰直角三角形，求得，，待定系数法求出直线的解析式为，直线与轴的交点即为点的坐标，直线的交点即为点坐标.
故选：A．
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11．【答案】．
解：即，解得．
12．【答案】矩，有一个角是直角的平行四边形是矩形.
解：因为、，所以窗框是平行四边形，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，即有一个角是直角的平行四边形是矩形.
13．【答案】91.
解：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序重新排列，如果数据的个数是基数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则处于中间位置两个数的平均数就是这组数据的中位数本题有偶数个数据，排序后中间两个数者都是91，因此答案为91.
14．【答案】2．
解：由图可知四边形是正方形，里面的小四边形也为正方形且边长为，那么对角线，因为，所以．
15．【答案】②③④
解：根据图像可知，拉力与重力成一次函数关系，拉力随着物体重力的增大而增大，代入，求得；当时，，当时，，综上，正确的答案为②③④．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．解：
（1）原式 1分
2分
3分
（2）将代入得
原式 1分
2分
3分
17．解：（1）是直角三角形，因为千米，千米，千米，所以，，，所以，所以是直角三角形 3分
（2）由（1）可知，设千米，则千米，在中，有勾股定理得：，所以，解得千米，所以千米 .6分
18．解：（1）如图所示：
2分
（2）证明：由作法得，，
在与中，，所以，
，， 3分
所以，即，
因为中，，是斜边上的中线，
所以，所以， 4分
因为，，所以四边形是平行四边形，
因为，所以四边形是菱形. 6分
19．解：（1），
点的横坐标为，且在一次函数的图象上，
， 1分
将，代入得，解得，
一次函数解析式 3分
（2）由（1）可知，，
5分
（3）由图象可知，当时，直线的图象在的图象的下方，所以时，自变量的取值范围为． 8分
20．解：（1），，画图略； 4分（一空一分，补全一个一分）
（2）（名），答：本次知识竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生人数约有800名； …………6分
（3）随机抽取的200名学生中，有35%的学生对“六艺”知识是不熟悉的程度；随机抽取的200名学生中，有40%的学生对“六艺”知识是熟悉及以上的程度.（答案不唯一，任写两条可） 8分（一条结论一分）
21．解：
（1） 1分
∵四边形是菱形，
，，，
，，
，
∴四边形是平行四边形，
，，
∴四边形是矩形. 4分
（2）∵四边形是菱形，
，，
，为的中点，
，
，∴由勾股定理求得，
8分
22．解：
（1）设甲类图书元每套，则乙类图书元每套，依题意得：，解得，所以）甲类图书120元/套，乙类图书90元/套. …………2分
（2）设甲类图书购买了套，则乙类图书购买了套，由题意得：解得：，所以，所以可取值有40，41，42，43，44，45共种6种方案； 6分
（3）由（2）可知，化简得：， 8分
因为，所以随的增大而增大，所以时取最小值，最小值为10200元. 10分
23．解：
（1）由折叠可知垂直平分，，.连结，易证，可得到，所以是等边三角形，所以或，，因为四边形是矩形，所以，所以. 2分
（不需要过程，任写一个正确答案即给2分）
（2）①连结，由折叠可知，所以，，因为四边形是正方形，所以，易证，所以； 5分
②由（1）可求得，所以，因为，所以，所以.在中，，设，则，由勾股定理求得，所以，所以. 8分
（3）连结，由题可得与都是直角三角形，在中，由勾股定理求得，所以.过点作，可得四边形是矩形，设，则，，在与中，，即，解得，所以. 11分
（直接写出答案，不需要过程）
24．解：
（1）由题意可求得，，，由旋转可知，，设直线的解析式为，代入，，求得，，所以. 3分
（2）过点作于点，作于点，证与全等，所以，所以是的角平分线； 6分
（3）由旋转90° 可知，，所以，因为是的角平分线，所以，联立，解得，即点， 7分
所以直线的解析式为：.因为，所以，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形分两种情况：①过点作交于点，则是以为直角边的等腰直角三角形，因为，由勾股定理可求得，因为，所以，所以，因为点在直线的图象上，所以设，所以，解得或（舍），所以，所以； 9分
②过点作交于点，则是以为直角边的等腰直角三角形，因为，由勾股定理可求得，因为，所以，所以，因为点在直线的图象上，所以设，所以，解得或（舍），所以，所以； 11分
综上，点坐标为或. 12分
