一元二次方程的应用
知识梳理
1.一元二次方程的根与系数之间的关系
的两个根为x ,x ,则
(2) 方程 的两根为x ,x , 则
注意事项：使用一元二次方程根与系数的关系时要注意两个问题：
① 必须为一元二次方程(a≠0)；
② 一定在有根的条件下(△≥0).
2.解一元二次方程应用题
解一元二次方程应用题的一般步骤如下：
(1)设：即适当设未知数(直接设未知数，间接设未知数)，不要漏写单位名称，会用含未知数的代数式表示题目中涉及的量.
(2)列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致.
(3)解：解所列方程，求出解来.
(4)验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解.
(5)答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位名称.
典型例题
例1
已知方程 一根为2，求方程的另一根及a 的值.
分析 利用韦达定理可列出一个关于a 及方程的另一个根的方程组.
解
解得
例 2
若方程 的两根之比为3：5，求m 的值.
分析 已知两根之和为 ，比为3：5，可求出两根，由两根之积为 ,可求出m.
解
例 3
设x ，x 是一元二次方程 的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：
分析 若直接求方程的两个根，再进行计算，则计算量较大.可将各式作一定的变形，利用韦达定理求得各式的值.
解 (1)原式
(2)原式:
例4
某百货大楼服装柜在销售中发现：“宝贝”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40 元.为了迎接国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价4 元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元
分析 设每件童装降价 4x元，那么平均每天就可多售出8x元，根据平均每天销售这种童装盈利1200元，即销量×每件的利润=1200元，即可列出方程.
解 设每件童装降价 4x 元，则
(40-4x)(20+8x)=1200
即:
解得 (舍)
所以4x=20
答：每件童装应降价 20元.
双基训练
1.已知方程 的两实根的平方和等于11，k 的取值是( ).
A.-3或1 B. -3 C.1 D.3
2.两个不相等的实数m，n满足 则 m n 的值为( ).
A.6 B. -6 C.4 D. -4
3.若一元二次方程 有两个不相等的实数根.x ,x ,且满足 则 m 的值是( ).
A. -2 C. D. 2
4.已知x ,x 是方程 的两个实数根，则 的值是( ).
A.3 B. -3 C. D.1
5.若方程x +px+q=0的一个根是另一个根的2倍，则p，q 之间的关系是 .
6.当m= 时,方程. 的两根之差是7.
7.已知方程 的两根为x 和x ，则
8.已知关于x 的一元二次方程 有两个实数根，并且两个根的平方和比两根的积大21.求 m 的值.
9.已知方程 的一个根是1，则m 的值是 ，另一根为 .
10.若方程 的两根互为相反数，则m= .
11.已知方程 时，方程两根互为相反数；m= 时，方程两根互为负倒数.
12.已知α,β是方程 的两根，求 的值.
13.若一元二次方程( 的一根为零，求 m 的值.
14.已知关于x 的方程 有两个不相等的实数根
(1)求 k 的取值范围.
(2) k 为何值时,x 与x 互为倒数
15.已知实数a，b分别是方程 的两根，求 的值.
16.已知关于x 的方程 的两个实数根是x ,x ,.且
(1) 求 k 的值; (2) 求 的值.
17.一元二次方程
(1)m 为何实数时，方程的两个根互为相反数
(2)m 为何实数时，方程的一个根为零
(3)是否存在实数m，使方程的两个根互为倒数
18.若关于x的一元二次方程 的两个实数根为 且满足 3x ，试求出方程的两个实数根及k 的值.
19.去冬今春，我国西南地区遭遇历史上罕见的旱灾，解放军某部接到了限期打30口水井的作业任务，部队官兵到达灾区后，目睹灾情心急如焚，他们增派机械车辆，争分夺秒，每天比原计划多打3口井，结果提前5天完成任务，那么原计划每天打多少口井
20.某市场信息中心，对本市场猪肉的需求量和供给量进行调查后.得知今年六月份供给量(吨)与每斤价格x(元)满足方程3x+5y-340=0；需求量y(吨)与每斤价格x(元)满足方程15x-2y+55=0.试求该市场六月份猪肉供需平衡点(即供给量与需求量相等的情形)的猪肉数量及价格.
能力提升
21.若关于x 的一元二次方程 的两个实数根 且 则实数m 的取值范围是( ).
22.某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是( ).
C.289×(1-2x)=256 D.256×(1-2x)=289
23.巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的 45 万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x，则可列方程为( ).
A.45+2x=50
D.45(1+2x)=50
24.关于x 的一元二次方程ax +2x+1=0的两个根同号，则a 的取值范围是 .
25.设x ,x 是一元二次方程 的两个根，利用根与系数关系求 的值.
26.已知关于x 的方程 的两根的平方和为 求m 的值.
27.已知关于x 的一元二次方程
(1)试判断此一元二次方程根的存在情况.
(2)若方程有两个实数根x 和x ，且满足 求 k 的值.
28.已知关于x的方程 有两个不相等的实数根，
(1)求 k 的取值范围.
(2)是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.
29.利用一面墙(墙的长度不超过45 米)，用80米长的篱笆围一个矩形场地.
(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米
(2)能否使所围矩形场地的面积为810平方米，为什么
30.长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望.为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售.
(1)求平均每次下调的百分率.
(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子.开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：① 打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费.物业管理费是每平方米每月1.5元.请问哪种方案更优惠
拓展资源
31.已知 是一元二次方程 的两个实根.
(1)求实数m 的取值范围.
(2)如果 m 满足不等式 且 m 为整数,求 m 的值.
32.美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容.某市通过拆迁旧房、植草、栽树、修公园等措施，使城区绿地面积不断增加(如图12-1所示).
(1)根据图中所提供的信息回答下列问题：2003年底的绿地面积为 公顷，比2002年底增加了 公顷；在2001年、2002年、2003年这三年中，绿地面积增加最多的是 年.
(2) 为满足城市发展的需要，计划到2005 年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试求 2004年、2005 年两绿地面积的年平均增长率.
33.已知，如图12-2 所示，若把边长为1的正方形的四个角(阴影部分)剪掉，得一四边形 ，试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下的图形面积为原正方形面积的 ，请说明理由.
34.如果m，n 是两个不相等的实数，且满足 那么代数式
35. 已知 其中p，q 为不相等实数，求 的值.
1. A 2. D 3. B 4. A 6. -6 7. 1, 8. -1 9. 6,2
10.±2 11.-1,±1 12.0 13. -3 且k≠0;(2)k=-1.
15.原式
16.(1)k=-11;(2) 66.
17.(1) m=1;(2)m=7;
(3)设存在实数m，使方程 的两个根互为倒数，则解得m=15；
则原方程为
△=49-4×4×4=-15<0,月所以原方程无解，这与存在实数m，使方程 有两个根相矛盾.故不存在这样的实数m.
19.3 20. 数量为 65 吨,价格为5元.
21. D 22. A 23. B 24.0
(2)由一元二次方程根与系数的关系可知：
因为
所以
即 1-2k=-k-1
解得k=2.
且k≠0;(2) 不存在.
29.(1) 长为30米、宽为25米;(2) 不能.
30.(1)设平均每次降价的百分率是x，依题意得
解得 不合题意，舍去)
(2)方案①的房款是:4050×100×0.98=396900(元)
方案②的房款是:4050×100-1.5×100×12×2=401400(元)
因为 396900<401400,所以选方案①更优惠.
32.(1) 60,4,2002;(2) 10%
33. 因为 A B C D 是正方形,
所以
因为
所以
同理可得：
因为∠A=∠B=∠C=∠D,
所以△AA D ≌△BB A ≌△CC B ≌△DD C ,
所以
设 那么
Rt△AA D 中,根据勾股定理可得
所以正方形 A B C D 的面积=
依次将四周的直角边分别为 和 的直角三角形减去即可.
34. 2028
35.35 提示: 两边同除以 是方程 的两个根.
