一次函数
知识梳理
1.正比例函数
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫作正比例函数，其中k 叫作比例系数.
2.正比例函数的图像和性质
一般地，正比例函数y=kx(k 为常数，k≠0)的图像是一条经过原点和(1，k)的直线，我们称它为直线y=kx.当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大，y也增大；当k<0时，直线y=kx 经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大，y反而减小.
3.一次函数
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y 叫作x 的一次函数.当b=0时,y=kx+b 即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
4.一次函数的图像
(1) 一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是经过(0,b)和 两点的一条直线，因此一次函数y=kx+b的图像也称为直线y=kx+b.
(2)一次函数y=kx+b的图像的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图像时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：(0,b), 即选取横坐标或纵坐标为0的点.
5. 直线 与坐标轴的交点
(1) 当 时，直线 与x轴、y轴的交点都是(0,0);
(2) 当 时，直线 与x轴交点坐标为 与 y轴交点坐标为(0,b).
典型例题
例 1
求下列函数自变量的取值范围：
分析 关系式为整式时，函数定义域为全体实数；关系式含有分式时，分式的分母不等于零；关系式含有二次根式时，被开方数不小于零；关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零.
解 (1)全体实数;
(3)x≤6;
且x≠1.
例 2
已知一次函数. 当x取何值时，
变式一：一次函数的图像如图8-1所示，与x 轴交于A(5，0)，与y轴交于 当x 取何值时,y>0
变式二：一次函数的图像如图8-2所示，与x轴交于A(4，0)当x取何值时，
分析 本题运用数形结合思想灵活解题.解决“当x 取何值时， ’这类问题，若已知函数解析式，可以直接求解不等式；也可以根据函数图像来判断(数形结合).
解 x<-5; x>5; x>4.
例3
已知直线y=-2x+3与直线y=x-6交于点A，且两直线与x轴的交点分别为B，C，求△ABC的面积.
分析 首先求出两条直线与x 轴的交点坐标，便可求出 的底，再求出两条直线的交点坐标，便可求出△ABC 的高.
解
当y=0时,x=1.5
当 时 ,
解得：
所以交点坐标(3 ,-3)
所以
例4
如图8-3所示，M 是边长为4的正方形AD边的中点，动点P 自点A 起，由A→B→C→D 匀速运动，直线MP 扫过的正方形所形成的面积为y，点 P 运动的路程为x，请解答下列问题：
(1) 当x=1时,求y的值;
(2)就下列各种情况,求 y与x之间的函数关系式:①0≤x≤4;②4
分析 (1)直接根据三角形的面积公式可得
(2) ① 当0≤x≤4时,AP=x,直线MP 扫过正方形所形成的图形为 其面积为
②当4
解 (1) 由题意,x=1时,
(2)① 当0≤x≤4时,点P 由A→B在AB线段上运动,AP=x,直线MP 扫过正方形所形成的图形为 Rt△MAP，其面积为
② 当4
(3) 图像如图 8-5 所示.
双基训练
1.对于圆的周长公式C=2πR，下列说法正确的是( ).
A.π,R 是变量,2 是常量 B. R 是变量,C,π是常量
C. C 是变量,π,R 是常量 D. C,R 是变量,2,π是常量
2.已知一次函数y=kx+b,当x增加3时,y 减少2,则k 的值是( ).
C. D.
3.下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是( ).
4.一次函数y=-5x+3的图像经过的象限是( ).
A.一、二、三 B.二、三、四
C.一、二、四 D.一、三、四
5.已知一次函数y=kx+b，y 随着x的增大而减小，且kb<0，则在直角坐标系内它的大致图像是( ).
6.已知直线y=kx-4(k<0)与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线的表达式为( ).
A. y=-x-4 B. y=-2x-4 C. y=-3x+4 D. y=-3x-4
7.小敏从 A 地出发向B 地行走，同时小聪从 B 地出发向 y/千米A 地行走，如图8-6所示，相交于点 P 的两条线段l ，l 分别表示小敏、小聪离B 地的距离y(千米)与已用时间x(小时)之间的关系，则小敏、小聪行走的速度分别是( ).
A.3 千米/时和4 千米/时
B.3 千米/时和3千米/时
C.4千米/时和4千米/时
D.4 千米/时和3千米/时
8.一次函数y=kx+b的图像经过点(2，--1)和(0，3)，那么这个一次函数的解析式为( ).
A. y=-2x+3 B. y=-3x+2
C. y=3x-2
9.已知正比例函数y=(2m-1)x 的图像上两点 ,当 时，有 那么 m 的取值范围是( ).
C. m<2 D. m>0
10.若函数y=3x-6和y=-x+4有相等的函数值,则x的值为( ).
A. B. C.1
11.已知A 地在B 地正南方3千米处，甲、乙两人同时分别从A，B 两地向正北方向匀速直行，他们与A 地的距离s(千米)与所行的时间t(小时)之间的函数图像如图8-7 所示，当行走 3小时后，他们之间的距离为 千米.
12.若一次函数y=-x+a 与一次函数y=x+b的图像的交点坐标为(m,8),则a+b= .
13.如图8-8所示,一次函数y=kx+b(k<0)的图像经过点A.当y<3时,x 的取值范围是 .
14.已知点(a,4)在连接点(0,8)和点(-4,0)的线段上,则(
15.已知一次函数y=kx+b的图像经过点A(1,3)和B(-1,-1),则此函数的解析式为 .
16.已知一次函数y=2x+b与两个坐标轴围成的三角形面积为4，则(
17.已知一次函数y=ax+b的图像经过点A(2,0)与B(0,4).
(1)求一次函数的表达式，并在直角坐标系内画出这个函数的图像.
(2)如果(1)中所求的函数 y 的取值范围为-4≤y≤4，求相应的x 的取值范围.
18.已知一次函数 的图像经过点( 且与正比例函数 的图像交于点(4,a),求:
(1) a 的值.
(2) k,b的值.
(3)求出这两个函数的图像与 y 轴相交得到的三角形的面积.
19.已知一次函数：
(1)k 为何值时，它的图像经过原点.
(2)k为何值时,它的图像经过点(0,-2).
20.若一次函数y=kx+b的图像与y轴交点的纵坐标为-2，且与两坐标轴围成的直角三角形面积为 1，试确定此一次函数的表达式.
能力提升
21.若一次函数y=(3-k)x-k的图像经过第二、三、四象限，则k 的取值范围是( ).
B.0
B. y=-x-6
C. y=-x+10 D. y=-x-1
23.汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5 升，则油箱内余油量y(升)与行驶时间t(小时)的函数关系用图像表示应为下图中的( ).
24.若甲、乙两弹簧的长度y(厘米)与所挂物体质量x(千克)之间的函数表达式分别为 和 如图8-9所示，所挂物体质量均为2千克时，甲弹簧长为 乙弹簧长为y ，则y 与y 的大小关系为( ).
D.不能确定
25.已知一次函数 y=2x-a 与. 的图像交于x 轴上原点外的一点，则 = .
26.若解方程x+2=3x-2得.x=2,,则当x 时,直线.y=x+2上的点在直线 上相应点的上方.
27.如图8-10 所示，在平面直角坐标系中， 的两个顶点A，B 的坐标分别为(--2,0),(-1,0),BC⊥x轴.将 以 y 轴为对称轴作轴对称变换，得到 和A',B 和 B',C 和 C'分别是对应顶点).直线 经过点 A,C',则点 的坐标是 .
28.已知直线 与 的交点为( 则方程组 的解是 .
29.如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为 .
30.一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售.售出土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系如图8--11 所示，结合图像回答下列问题：
(1)农民自带的零钱是多少
(2)降价前他每千克土豆出售的价格是多少
(3)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱(含备用零钱)是26元，那么他一共带了多少千克土豆
拓展资源
31.李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校.在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y(千米)与行进时间t(小时)的函数图像的示意图，同学们画出的图像如图所示，你认为正确的是( ).
32.已知 与 成正比例，且当 时,
(1)求y与x的函数关系式.
(2) 求当. 时的函数值.
(3)如果 y 的取值范围是( ，求x 的取值范围.
33.某车间有甲、乙两条生产线.在甲生产线已生产了200吨成品后，乙生产线开始投入生产，甲、乙两条生产线每天分别生产20 吨和30 吨成品.
(1)分别求出甲、乙两条生产线各自总产量y(吨)与从乙开始投产以来所用时间x(天)之间的函数关系式.
(2)作出上述两个函数在如图8-12所示的直角坐标系中的图像，观察图像，分别指出第10 天和第30天结束时，哪条生产线的总产量高
34.已知雅美服装厂现有A 种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共80套.已知做一套M型号的时装需用A 种布料1.1米，B 种布料0.4 米，可获利50元；做一套N型号的时装需用A 种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元.设生产M型号的时装套数为x，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元.
(1)求y(元)与x(套)的函数关系式，并求出自变量的取值范围.
(2)当M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大 最大利润是多少
35.如图8-13所示，已知正方形OABC的边长为2，顶点 A，C分别在x，y轴的正半轴上,M 是BC 的中点. P(0,m)是线段 OC 上一动点(C 点除外),直线 PM 交AB 的延长线于点 D.
(1)求点 D 的坐标(用含m 的代数式表示).
(2) 当 是等腰三角形时，求 m 的值.
第 8 讲
D 2. A 3. D 4. C 5. A 6. B 7. D 8. A 9. A 10. B11.1.5 12. 16 13. x>2 14. -2 15. y=2x+1 16.±4
17.(1) y=-2x+4,其图像如答图8-1所示.
(2)0≤x≤4
18.(1)a=2;(2)k=1,b=-2;(3)2×4÷2=4.
19.(1)k=9;(2)k=10.
20. y=±2x-2
21. A 22. C 23. C 24. A 25.-2 26.<2
27.(1,3) 29.±6
30.(1) 5元;(2)0.5元;(3)45千克
31. C
32.(1)设y-3=k(4x-2),把x=1,y=5代入,得k=1,所以y=4x+1;
(2)把x=-2代入y=4x+1,得y=-7;
(3) y 的取值范围是0≤y≤5,即0≤4x+1≤5,解得-0.25≤x≤1.
33.(1) y=20x+200,y=30x;
(2)如答图8-2 所示，第 10天结束甲的总产量高，第30天结束乙的总产量高.
34.(1) y=50x+(80-x)×45 y=5x+3600
约束条件
故 40≤x≤44;
(2) y=5x+3600图像成直线,是增函数,
所以当x取最大值44时y有最大值，
y=5×44+3600=3820.
该服装厂在生产这批服装中，当生产乙型号44套，甲型号36套时，所获利润最多，最多是3820元.
35.(1) 由题意得CM=BM,
因为∠PMC=∠DMB,
所以 Rt△PMC≌Rt△DMB,
所以DB=PC,
所以DB=2-m,AD=4-m,
所以点 D 的坐标为(2,4-m).
(2)分三种情况:
① 若AP=AD,则 解得
② 若 PD=PA
过 P 作 PF⊥AB 于点 F(如答图8-3 所示),
则
又因为OP=AF,
所以
则
③若 PD=DA,
因为△PMC≌△DMB,所以
因为
所以
解得 舍去).
综上所述，当△APD是等腰三角形时，m 的值为 或 或 .
