专题20 锐角三角函数及应用
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命题意图 锐角三角函数的定义属于基础考点，直接考查的不多；特殊三角函数值的计算通常作为解答题和实数的相关概念一起，考查学生的简单综合计算能力；考查先将现实生活中的实物或者现象提炼出所需的直角三角形，再根据已知数据解出未知部分． 考向分析 中考频度：★★★☆☆ 难度系数：★★★☆☆ 中考中对锐角三角函数的定义和性质的单独考查并不常见，难度也不大．有关特殊三角形函数值的计算是必考考点，通常会和零指数幂、负指数幂、绝对值、算术平方根等结合考查，形式比较固定，难度不大．有关于解直角三角形及其应用的考查，可以是选择题、填空题，但最常考的是解答题，问题背景常和仰角、俯角，楼高，实物中某部分长度等结合．出现在填空题中时，常和相似结合，作为压轴填空题出现． 答题技巧 1．熟记特殊角的锐角三角函数值是进行锐角三角函数计算的关键． 2．锐角三角函数值的本质是一个比值，它的大小只与锐角A的大小（即度数）有关，与所在的直角三角形的边的长度无关，即只要锐角A确定，其三角函数值也随之确定． 3．在不含直角三角形的图形中，如果求与三角形有关的线段长、非特殊角的某个三角函数、面积等问题，一般可通过分割图形、作高等方法，把问题转化为解直角三角形得以解决，辅助线是解题关键． 4．解直角三角形的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． （2）根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
知识盘点
1．正弦、余弦、正切的概念
如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦 ，即sin A＝；
（2）∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，即cos A＝；
（3）∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，即tan A＝；
锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数．
2．特殊角的三角函数值
α sin α cos α tan α
30°
45°
60°
3．锐角三角函数之间的关系
同一锐角的三角函数之间的关系：
（1）；
（2）．
4．解直角三角形
任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
在中， ，，， 三边关系：
两锐角关系：
边与角关系：，，，
锐角α是a，b的夹角 面积：
5．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的函数模型）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用解直角三角形的有关性质解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
6．实际应用问题中的常见概念：
（1）俯角、仰角
在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．
（2）方向角
①方向角是以观察点为中心（方向角的顶点），以正北或正南为始边，旋转到观察目标的方向线所成的锐角，方向角也称象限角．
②如图，我们说点A在O的北偏东30°方向上，点B在点O的南偏西45°方向上，或者点B在点O的西南方向．
（3）坡度、坡角
①坡度通常写成1∶tanα的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝．
②一斜坡的坡角为30°，则它的坡度为1∶．
【母题来源】（2024 山西）
【母题再现】 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和定理得到，求得，根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：如图，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行， ， 重力的方向竖直向下， ， ， 摩擦力的方向与斜面平行， ， ， 故选：．
【母题来源】（2024 临夏州）
【母题再现】 如图，在中，，，则的长是 A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】 【分析】过点作的垂线，构造出直角三角形，再结合正弦的定义及等腰三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：过点作的垂线，垂足为， 在中， ， ， ． 又， ． 故选：．
【母题来源】（2024 云南）
【母题再现】 如图，在中，若，，，则 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正切的定义即可求得答案． 【解答】解：在中，若，，， ， 故选：．
【母题来源】（2024 德阳）
【母题再现】 某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为 、在同一平面内，、在同一水平面上），则建筑物的高为 米． A．20 B．15 C．12 D． 【答案】 【分析】设过点的水平线于交于点，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出． 【解答】解：设过点的水平线于交于点，如图， 由题意，知：四边形是矩形米，， 在中， ， 在中， ， ， 解得（米， 故选：．
【母题来源】（2024 赤峰）
【母题再现】 综合实践课上，航模小组用无人机测量古树AB的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且AC＝10米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为45°，古树底部A的俯角为65°，则古树AB的高度约为 米（结果精确到0.1米；参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145）． 【答案】11.5． 【分析】过点B作BE⊥DC，先说明四边形CABE是矩形，再在Rt△ACD、Rt△DBE中，利用直角三角形的边角间关系求出DE、DC的长，最后利用线段的和差关系得结论． 【解答】解：由题意，知DM∥AC，DC⊥AC，∠MDA＝65°，∠MDB＝45°． 过点B作BE⊥DC，垂足为E． ∵BE⊥CD，BA⊥AC，DC⊥AC， ∴∠C＝∠BEA＝∠CAB＝90°． ∴四边形CABE是矩形． ∴BE＝AC＝10米，CE＝AB． ∵DM∥AC∥BE， ∴∠MDB＝∠EBD＝45°，∠MDA＝∠DAC＝65°． 在Rt△ACD中， ∵tan∠DAC＝， ∴DC＝tan∠DAC AC ＝tan65°×10 ≈2.145×10 ＝21.45（米）． 在Rt△DBE中， ∵tan∠DBE＝， ∴DE＝tan∠DBE AC ＝tan45°×10 ＝1×10 ＝10（米）． ∴AB＝DC﹣DE ＝21.45﹣10 ＝11.45 ≈11.5（米）． 故答案为：11.5．
【母题来源】（2024 武汉）
【母题再现】 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是 ．（参考数据： 【答案】51． 【分析】过点作，延长交于，在中和中，解直角三角形求出，，即可求出答案． 【解答】解：过点作，延长交于， 由题意得， ， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， 在中，， ，， ． 答：黄鹤楼的高度约为． 故答案为：51．
【母题来源】（2024 绥化）
【母题再现】 如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为 （结果保留根号）． 【答案】． 【分析】根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：， 在中，，， ， 在中，， ， ， 这栋楼的高度为， 故答案为：．
【母题来源】（2024 福建）
【母题再现】 无动力帆船是借助风力前行的．如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则 ．（单位：（参考数据：， 【答案】128． 【分析】先求出，，由得，求出，求出，在中，根据即可求出答案． 【解答】解：如图， ，， ，， ， ， 在中，，， ， 由题意可知，， ， ， 在中，，， ， 故答案为：128．
【母题来源】（2024 湖南）
【母题再现】 如图，图1为《天工开物》记载的用于舂chōng捣谷物的工具——“碓duì”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，．若分米，分米，，则点到水平线的距离为 分米（结果用含根号的式子表示）． 【答案】． 【分析】延长交于点，连接，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解． 【解答】解：延长交于点，连接， 在中，，， ，， ， ， ， ， 故答案为：．
【母题来源】（2024 盐城）
【母题再现】 如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点处，测得教学楼底端点的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点处，测得教学楼顶端点的俯角为，则教学楼的高度约为 ．（精确到，参考数据：，， 【答案】17． 【分析】令的延长线于的延长线交于点，先求出，从而得到，，再利用即可求出． 【解答】解：如图，令的延长线于的延长线交于点， 由题意，知，，，， 在中， ， ， 在中， ， ， 故答案为：17．
【母题来源】（2024 牡丹江）
【母题再现】 如图，某数学活动小组用高度为1.5米的测角仪，对垂直于地面的建筑物的高度进行测量，于点．在处测得的仰角，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至处，于点，测得的仰角，的延长线交于点，求建筑物的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，， 【答案】17.5米． 【分析】由题意可得四边形是矩形，则．解直角三角形得到，进而得到，据此求出即可得到答案． 【解答】解：根据题意可知四边形是矩形， ． 如图，，． ， ． ， ． （米 答：建筑物的高度约为17.5米．
【母题来源】（2024 吉林）
【母题再现】 图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度AB＝873m，如图②．从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°，看塔底D的俯角∠EAD＝45°，求吉塔的高度CD（结果精确到0.1m）． （参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75） 【答案】218.3m． 【分析】过点C作CF⊥AB，先说明四边形CDBF是矩形，再在Rt△ACF、Rt△DBA中，利用直角三角形的边角间关系求出AF、AB的长，最后利用线段的和差关系得结论． 【解答】解：过点C作CF⊥AB，垂足为F． ∵AB⊥BD，CF⊥AB，DC⊥BD， ∴∠CDB＝∠B＝∠CFB＝90°． ∴四边形CDBF是矩形． ∴BF＝CD，CF＝BD＝873m． ∵CF∥BD∥AE， ∴∠EAC＝∠ACF＝37°，∠EAD＝∠ADB＝45°． 在Rt△ACF中， ∵tan∠ACF＝， ∴AF＝tan∠ACF CF ＝tan37°×873 ≈0.75×873 ≈654.75（m）． 在Rt△DBA中， ∵tan∠ADB＝， ∴AB＝tan∠ADB BD ＝tan45°×873 ＝1×873 ＝873（m）． ∴CD＝FB＝AB﹣AF ＝873﹣654.75 ＝218.25 ≈218.3（m）． 答：吉塔的高度CD约为218.3m．
【母题来源】（2024 浙江）
【母题再现】 如图，在中，，是边上的中线，，，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）14； （2）． 【分析】（1）由可得，根据勾股定理可得的长，进而底层的长； （2）根据是边上的中线可得的长，由可得的长，根据勾股定理可得的长，再根据三角函数的定义解答即可． 【解答】解：（1），，， ； ， ， ； （2）是边上的中线， ， ， ， ， ．
【母题来源】（2024 天津）
【母题再现】 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①．某学习小组设计了一个方案：如图②，点，，依次在同一条水平直线上，，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角为，测得桥塔底部的俯角为，又在处测得桥塔顶部的仰角为． 求线段的长（结果取整数）； （Ⅱ）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】（Ⅰ）线段的长约为； 桥塔的高度约为． 【分析】设，由，得到，根据垂直的定义得到，解直角三角形即可得到结论； 根据三角函数的定义得到．于是得到． 【解答】解：设，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 答：线段的长约为； ， ． ． 答：桥塔的高度约为．
【母题来源】（2024 贵州）
【母题再现】 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线． 【测量数据】 如图，点，，，，，，，，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求，之间的距离（结果精确到． （参考数据：，， 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质计算求值即可； （2）利用锐角三角函数求出的长，然后根据计算即可． 【解答】解：（1）在中，， ， ； （2）由题可知， ， 又， ， ．
【母题来源】（2024 重庆）
【母题再现】 如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行40海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港． （参考数据：，， （1）求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠，两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 【答案】（1），两港之间的距离约为77.2海里； （2）甲货轮先到达港，理由见解答． 【分析】（1）过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）根据题意可得：，，从而可得，然后利用角的和差关系可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算比较即可解答． 【解答】解：（1）过点作，垂足为， 在中，，海里， （海里）， （海里）， 在中，， （海里）， （海里）， ，两港之间的距离约为77.2海里； （2）甲货轮先到达港， 理由：如图： 由题意得：，， ， ， 在中，， 海里， 海里， 在中，，海里， （海里）， 甲货轮航行的路程（海里）， 乙货轮航行的路程（海里）， 海里海里， 甲货轮先到达港．
1．（2024 鹿城区一模）图1是一款折叠日历，图2是其侧面示意图，若，，，，则点，之间的距离为
A． B．
C． D．
2．（2024 易门县二模）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，，堤坝高，则迎水坡面的长度为
A． B． C． D．
3．（2024 甘州区模拟）如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为18°，若楔子沿水平方向前移6cm（如箭头所示），则木桩上升了（ ）
A．6tan18°cm B．cm C．6sin18°cm D．6cos18°cm
4．（2024 东莞市校级一模）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是
A． B． C． D．2
5．（2024 长春一模）如图是一把遮阳伞的示意图，遮阳伞立柱垂直于，垂足为点，米．当遮阳伞撑开至如图所示的位置时，，则此时伞内半径的长度为
A．米 B．米 C．米 D．米
6．（2024 深圳模拟）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量某大楼的高度，无人机在空中点处，测得地面点处的俯角为，且点到点的距离为80米，同时测得楼顶点处的俯角为．已知点与大楼的距离为70米（点，，，在同一平面内），则大楼的高度为
A．51米 B．米 C．米 D．米
7．（2024 下城区校级三模）如图，在中，，，点在边上，且平分的周长，则 ．
8．（2024 秦淮区二模）如图，为了测量某学校旗杆的高度，将固定在旗杆顶端上的绳子拉直后，绳子的末端恰好可以落在截面为矩形的78 台底的点处，也可以落在78 台上的点处．78 台高为，和分别为，，图中所有点均在同一平面内．求旗杆的高度．（参考数据：，，，，，．
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1．【答案】
【分析】连接，连接并延长交于点，根据已知易得：是的垂直平分线，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，，最后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：连接，连接并延长交于点，
，，
是的垂直平分线，
，，
在中，，
，
在中，，
，
，
点，之间的距离为，
故选：．
2．【答案】
【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：在中，，
则，
，
，
故选：．
3．【答案】A
【分析】根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度．
【解答】解：由已知图形可得：tan18°＝，
木桩上升的高度h＝6tan18°cm．
故选：A．
4．【答案】
【分析】如图连接格点、．在中求出的正切值．
【解答】解：如图，连接格点、．
在中，
．
故选：．
5．【答案】
【分析】根据“遮阳伞立柱垂直于，垂足为点，米”，确定出中的已知量，进而解直角三角形即可．
【解答】解：由题意得：，
在中，米，，
，
．
故选：．
6．【答案】
【分析】延长交于点，过点作，垂足为，根据题意可得：，米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：延长交于点，过点作，垂足为，
由题意得：，米，，
在中，米，，
（米，
（米，
（米，
在中，，
（米，
（米，
大楼的高度为米，
故选：．
7．【答案】．
【分析】过点作的垂线，构造出直角三角形，再根据平分的周长及正切的定义即可解决问题．
【解答】解：过点作的垂线，垂足为，
在中，
，
又，
．
在中，
．
平分的周长，
，
，
．
在中，
．
故答案为：．
8．【答案】旗杆的高度约为．
【分析】延长交于点，根据题意可得：，，然后设 ，分别在△和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：延长交于点，
由题意得：，，
设 ，
在△中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
旗杆的高度约为．
