晋江二中、奕聪中学、广海中学、泉港五中、马甲中学
2023-2024学年下学期期末联考
高二年数学试卷参考答案
一、单选题
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
二、多选题
9. 10. 11.
三、填空题
12. 13. 14.
三、解答题
15. 解：在中，由，得为锐角，所以，-------1分
所以，--------2分
所以；--------5分
在三角形中，由，
所以，，---------7分
由，---------9分
由正弦定理，得，----------11分
所以的面积． ----------13分
16. Ⅰ证明：连接交于，连接，--------------1分
在中，为中点，为中点，------2分
，----------3分
面，
平面；-------------6分
Ⅱ解：由可知平面，
点到平面的距离等于点到平面的距离，---------8分
为，
，--------10分
设点到面的距离为，
则，-----------11分
即 ，--------13分
解得．---------------15分
解：函数的定义域为-------1分
，------2分
令，，-----3分
时，时，，时，， -- --5分
所以时，函数取得极大值，时，函数取得极小值．-----6分
由题意得，-----8分
当时，令，解得；令，解得．------9分
当时，
当，即时，
令，解得或；令，解得．------11分
当时，恒成立，函数在上为单调递增函数；-----13分
当，即时，
令，解得或；令，解得．------15分
综上所述，
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
---------------------------------------------------------------------------------------------17分
解：要使小球落入号槽，此时小球需要在次碰撞中向左次，向右次，-------2分
则小球落入号槽的概率；----------5分
易知的所有取值为，，，，，，，------------6分
此时，--------------------7分
，--------------------8分
，--------------------9分
，------------------------10分
则的分布列为：
因为小球掉入号球槽得到的奖金为金为元，其中，
则的所有取值为，，，，------------------11分
此时，
，-------------------12分
，-------------------13分
，--------------------14分
则，----------15分
因为，----------------------16分
所以小明同学能盈利． --------------------17分
解：不是“函数”，--------------------1分
理由如下：
，----------------2分
，，------------3分
则，
故不是“函数”；--------------------------4分
函数满足，故的周期为，------------5分
因为，所以，------------6分
当时，，，----------7分
当时，
，，---------8分
综上：-------9分
中，
当时，，，此时单调递增区间为，-------------10分
，中，
当时，
则
当，即时，函数单调递增，----------------11分
经检验，其他范围不是单调递增区间，
所以在上的单调递增区间为，；-----------------12分
由知：函数在上图象为：-------------------------13分
当或时，有个解，由对称性可知：其和为，----14分
当时，有个解，由对称性可知：其和为，-----15分
当时，有个解，其和为，--------16分
所以．-------------------------17分
晋江二中、奕聪中学、广海中学、泉港五中、马甲中学
2023-2024 学年下学期期末联考
高二年数学试卷
满分：150 分 考试时间：120 分钟
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 < 9}， = { 1,0,2,3}，则 ∩ =( )
A. { 1,0} B. {0,2} C. { 1,0,2} D. { 1,2}
2.若复数 满足 = (2 + ) ，则复平面内 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知角 3的终边经过点 3, 4 ，则 cos 2 的值等于( )
A. 3 B. 4 C. 35 5 5 D.
4
5
4 32 .已知一个圆柱的高是底面半径的 2 倍，且其上、下底面的圆周均在一球面上．若球的体积为 3 ，
则圆柱的体积为 ( )
A. 16 B. 8 C. 4 2 D. 2 2
5.如图，一组数据 1， 2， 3，…， 9， 10的平均数为 5，方差为 21，去除 9， 10后，平均数为 ，
方差为 22，则( )
A. > 5， 2 > 2 B. < 5， 2 < 21 2 1 2
C. = 5， 21 > 22 D. = 5， 21 < 22
6.已知向量 = ( 1, 3)，且 ⊥ ( + )，则 在 上的投影向量为( )
A. ( 3, 1) B. ( 32 , 1) C. (1, 3) D. (
1 , 32 2 )
7.学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色，米白色，橄榄绿，
薄荷绿，现在给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，则不同的涂色方法有( )
A. 108 B. 96 C. 84 D. 48
8.已知函数 = 2 sin 在(0, )上有且仅有一个零点，则实数 的取值为( )
A. 4 B. 6 C. 4 D. 3
第 1页，共 4页
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A.在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数 越接近于 1
B.独立性检验是在零假设 0之下，如果出现一个与 0相矛盾的小概率事件，就推断 0不成立，
且该推断犯错误的概率不超过这个小概率
C.已知一组样本数据 1, 1 , 2, 2 , , , ，根据这组数据的散点图分析 与 之间的具有线性相关关系，
若求得其线性回归方程为 = 0.8 + 1.3，则在样本点 2,2.7 处的残差为 0.2
D.以模型 = 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 = ln ，将其变换后得到线性方程 = 0.3 + 5，
则 , 的值分别是 5和 0. 3
10.甲箱中有 3 个白球和 3 个黑球，乙箱中有 2 个白球和 4 个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，
分别以 1， 2表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件;再从乙箱中随机取出一球，以 表示从乙箱中取出
的球是黑球的事件，则下列结论正确的是( )
A. B. ( | ) = 51， 2两两互斥 2 7
C. 9事件 与事件 2相互独立 D. ( ) = 14
11.如图，在正方体 1 1 1 1中，点 在线段 1 上运动，则( )
A.直线 1 ⊥直线
B.三棱锥 1 1 的体积为定值
C.异面直线 与 1 所成角的取值范围是[60°, 90°]
D.直线 1 与平面
6
1 1 所成角的正弦值的最大值为 6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.(1 + + 2)(1 )10展开式中含 4项的系数为 ．
13.我校高二年级 1600 人参加了期中数学考试，若数学成绩 105, 2 ，统计结果显示数学考试成绩在
80 分以上的 人数为总人数的 70%，则此次期中考试中数学成绩在 80 分到 130 分之间的学生有 人.
14.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第 1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给
另外三个人中的任何一个人.则 4 次传球的不同方法总数为 (用数字作答); 4 次传球后球在甲手中的概
率为 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = 35，tan( ) =
1
3．
(1)求 的值；
(2)若 = 13，求△ 的面积．
16.(本小题 15 分)
如图，底面是正三角形的直三棱柱 1 1 1中， 是 的中点， 1 = = 2．
(Ⅰ)求证： 1 //平面 1 ；
(Ⅱ)求点 1到平面 1 的距离．
17.(本小题 15)
已知函数 ( ) = 1 ( + 1) ， ∈ ．
(1)若 = 2 时，求 ( )的极值
(2)求函数 ( )的单调区间；
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18.(本小题 17 分)
1
如图所示的高尔顿板，小球从通道口落下，第 1 次与第 2 层中间的小木块碰撞，以2的概率向左或向右滚下，
依次经过 6 次与小木块碰撞，最后掉入编号为 1，2…，7 的球槽内．
(1)若进行一次以上试验，求小球落入 6 号槽的概率；
(2)小明同学利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽
奖”活动，8 元可以玩一次游戏，小球掉入 号球槽得到的奖金为金为 元，其中 = |20 5 |．
( )求 的分布列；
( )很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？
19.(本小题 17 分)
3
若函数 = 满足 = + 2 且 4 + = 4 ( ∈ )，则称函数 = 为“ 函数”．
(1)试判断 = sin 43 是否为“ 函数”，并说明理由；
(2)函数 为“ 函数”，且当 ∈ 4 , 时， = sin ，求 = 的解析式，并写出在 0,
3
2 上的单调
增区间；
(3) (2) 5 在 条件下，当 ∈ 2 , 2 ，关于 的方程 = ( 为常数)有解，记该方程所有解的和为 ，求 ．
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