珲春一中2023~2024学年度第二学期高二期末考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名 准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：必修第一册第一章一第三章，选择性必修第二册 选择性必修第三册.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.小五和小明两人从4门课程中各选修1门，则小五和小明所选的课程的选法共有（ ）
A.8种 B.12种 C.16种 D.18种
3.已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数在上的值域为，则在上的值域为（ ）
A. B. C. D.
6.已知，则“”是“的二项展开式中存在常数项”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
7.已知函数在上单调递减的概率为，且随机变量，则（ ）
（附：若，则，）
A.0.1359 B.0.01587 C.0.0214 D.0.01341
8.已知数列满足，且，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在的展开式中，下列命题正确的是（ ）
A.偶数项的二项式系数之和为32
B.第3项的二项式系数最大
C.常数项为60
D.有理项的个数为3
10.下列说法正确的是（ ）
A.已知是奇函数，则有
B.函数的单调减区间是
C.定义在上的函数，若，则不是偶函数
D.已知在上是增函数，若，则有
11.若，则（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.为了比较四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了四组数据的线性相关系数，求得数值依次为，则这四组数据中线性相关性最强的是__________组数据.
13.已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为__________.
14.若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
某收费（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计 方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用（单位：元）及该月对应的用户数量（单位：万人），得到如下数据表格：
用户一个月月租减免的费用（元） 4 5 6 7 8
用户数量（万人） 2 2.1 2.5 2.9 3.2
已知与线性相关.
（1）求关于的经验回归方程；
（2）据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
16.（本小题满分15分）
已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前项和.
17.（本小题满分15分）
2024年的高考已经结束，考试前一周，某高中进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，现从高三12个班级每个班随机抽取10名同学进行问卷，统计数据如下表：
课余学习时间超过两小时 课余学习时间不超过两小时
200名以前 40
200名以后 40
（1）求的值；
（2）依据上表，判断是否有的把握认为，高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关；
（3）学校在成绩200名以前的学生中，采用分层抽样，按课余学习时间是否超过两小时抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中课余学习时间超过两小时的学生人数为
，求的分布列和数学期望.
附：参考公式：，其中.
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18.（本小题满分17分）
已知函数的定义域为，对任意正实数都有，且当时，.
（1）求的值；
（2）试判断的单调性，并证明；
（3）若，求的取值范围.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）若，证明：；
（2）若，都有，求实数的取值范围.
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参考答案 提示及评分细则
1.C
.故选C.
2.C 小五和小明两人从4门课程中各选修1门，由乘法原理可得小五 小明所选的课程的选法有16（种）.故选C.
3.A 由题设知，则，因此，可得.故选A.
4.C 设三角形的两条直角边长为，可得，三角形的周长为，当且仅当时取等号.故选C.
5.B 函数在上的值域为，令，所以在上的取值范围为，又是奇函数，所以在上的值域为，所以在上的值域为.故选B.
6.A 若，则的常数项为；
若的二项展开式中存在常数项，设常数项为，则为整数，能被4整除.
“”是“的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件.故选A.
7.C 根据题意在上单调递减，可得，故，.故选C.
8.B 由得，则，所以是以为前项，2为公比的等比数列，，
令数列是等差数列，
，对称轴，由的最大值仅为可得解得.故选B.
9.AC 偶数项的二项式系数之和为，故A正确；
当时，的值最大，是第4项的二项式系数最大，故B错误；
，令，
，故C正确；
为整数时，有理项的个数为4，故D错误，故选AC.
10.CD 奇函数不一定过，所以A错误；
，所以函数的单调减区间是，
故B错误；
如果是定义在上的偶函数，不是偶函数，故C正确；
在上是增函数，若，即，所以，所以，即，故D正确.故选CD.
11.ACD 因为所以A正确；
因为所以B错误；
因此C正确；
从而.D正确.故选ACD.
12. 根据题意，因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强，由四组数据的线性相关系数分别为，所以组数据的线性相关性最强.
13. 当时，的对称轴为，故在上单调递增.函数在处连续，又是定义域为的奇函数，故在上单调递增.因为，由0，可得，又因为在上单调递增，所以，解得.
14. 设，则，设切点为，
则切线方程为，整理可得.
所以解得，
所以，设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，取得最大值，所以的最大值为.
15.解：（1）由，
，
有，
，
故关于的经验回归方程为；
（2）由（1）知经验回归方程为，当时，，
所以预测该月的用户数量为5.10万人.
16.解：（1）当时，即，
时，
所以，即，
，所以是以1为首项公比为-2的等比数列，
所以，
（2）
则；
，
两式相减
，
.
17.解：（1）由题意可得高三12个班级共抽取120名，
所以，解得；
（2）利用列联表可得，
所以有的把握认为高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关；
（3）这6人中课余学习时间超过两小时的人数为，课余学习时间不超过两小时的人数为2，
的取值为，
有；
.
故的分布列为：
1 2 3
.
18.解：（1）令，得，解得；
（2）在上单调递减，
不妨设，所以
，
又，所以，所以，所以，即，
所以在上单调递减；
（3）由（2）知在上单调递减，
若，即，所以
解得或，即的取值范围是.
19.（1）证明：若，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以；
（2）解：不妨设，所以，即，
所以在上单调递增，
令在上恒成立，
令.
当时，在上恒成立，又，不符合题意；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，此种情况无解，
当时，在上单调递增，，
在上恒成立，
综上所述的取值范围为.
