第 25 讲 还原问题
专题概述
对于一般性的题目，我们往往习惯于根据题意，按照要求，循序渐进地进行解答。然而这个解答顺序并不是无往不利的——顺序性地按要求解答，不仅不能为我们带来正确答案，有时甚至会将我们带入死胡同。这时候，我们不妨换个方向，从结论入手，根据题干，一步一步，谨慎地倒推回去。这个方法，我们一般称之为“倒推法”，也叫作“还原法”。
解决这类问题时，我们要注意审题，分清条件与结论，并将题干细分，以便将结论正确还原。
典型例题1
晓晓早上起来发现自己快要迟到了，于是她花了 20分钟洗漱穿衣，10分钟吃饭，又骑了15分钟的自行车，终于在上课铃响起的那一刻赶到了学校。已知学校上课时间为8：30，请问晓晓是几点起床的
分析 在还原策略的应用中，我们特别需要注意的是，由于我们是从结论开始推演，故而所有的推理步骤都具有逆反性，即变加为减，化乘为除等。在本题中，我们可以从学校上课时间入手，将时间还原——骑车骑了15分钟，吃饭花了10分钟，洗漱穿衣费了20分钟——然后将花费去的时间一步步减去。
解 8:30-15分钟=8:15
8:15-10分钟=8:05
8:05-20分钟=7:45
答：晓晓是7：45起床的。
思维训练1
1.哓哓与小溪约定好在 10：00在杭州图书馆门口见面。已知晓哓需要10分钟的洗漱时间，然后需要花费洗漱的5倍时间来选衣服、扎头发、收拾东西，花费洗漱的 2倍时间来吃早饭，最后由爸爸开车约20分钟将她送达。那么晓晓应该几点起床呢
2.小溪与哓哓约定好在10：00在杭州图书馆门口见面。已知小溪需要20分钟的洗漱时间，然后需要花费洗漱的3倍时间来选衣服，扎头发，收拾东西，花费25分钟吃早饭，最后搭乘21路公交车约花费25分钟到达。那么小溪应该几点起床呢 (等公交车的时间忽略不计)
典型例题2
已知一个数乘8加4后的和，再除以5等于12，则原来这个数是多少
分析 根据题干已知本题的算法顺序是先乘后加再除。在倒推计算顺序时，我们也需注意算法的转化。故而，我们需从结果的“12”入手，将“除以5”转换为“乘以5”，将“加4”变化为“减4”,将“乘8”转变为“除以8”。
解 12×5=60,60-4=56,56÷8=7。
答：原来这个数为7。
思维训练2
已知一个数与3的和乘以7，再减去3后得出的差为60，则原来这个数是多少
2.周末，晓晓与小溪在玩“24 点”——两人共抽取 4 张扑克牌后，将扑克牌上的数字通过加减乘除等运算方式，使结果为24，就算赢(其中“A”表示1，“J”表示11，“Q”表示12，“K”表示13)。某轮游戏中，晓晓抽取了1张牌，小溪抽取了3张。已知小溪手上的牌分别是A、2、Q。晓晓说：“我手中的牌与1的差乘以2，再加上12，我就赢啦。”请问晓晓手上的牌所代表的数字是多少
典型例题3
开学了，老师发给了班里同学每人一套新书和相同数量的练习本。但是小溪、哓哓和西西三人发现自己数学练习本的数量与其他同学都不一样。只见老师将小溪的4本练习本给了晓晓，将晓晓的7本练习本给西西，将西西的11本练习本给小溪后，三人的本子数就与班里的同学都一样多了。已知该班有40人，练习本共有800本，请问小溪、晓晓和西西三人原来各有多少本练习本
分析 本题的数据有许多，但仔细读题后，需要我们仔细审题，分清其中的分本子过程与最后的结果。
最后的结果是“三人的本子数就与班里的同学都一样多了”。但是到底是多少却没有说。继续往后读题，我们可以看见“已知该班有40人，练习本共有800本”。也就是说，最后所有人(包括小溪、晓晓和西西)的练习本数是800÷40=20(本)。
接下来我们来分析一下分本子的过程，也是本题的难点所在。“将小溪的4本练习本给了晓晓，将晓晓的7本练习本给西西，将西西的11本练习本给小溪”，其中，小溪先是失去了4本，后来得到了11本；晓晓先是得到了4本，后来失去了7本；西西先是得到了7本，后来失去了11本。最后，我们根据还原策略的逆反性，将“加”“减”交换，进行解答。
解 800÷40=20(本),
小溪:20+4-11=13(本),
晓晓:20—4+7=23(本),
西西:20-7+11=24(本)。
答：小溪原有练习本13本，晓晓原有练习本23本，西西原有练习本24本。
思维训练3
1.开学了，老师发给了班里同学相同数量的作文本。但是小溪、晓晓和西西三人发现自己作文本的数量与其他同学都不一样。只见老师将小溪的1本作文本给了晓晓，将晓晓的3本作文本给西西，将西西的4 本作文本给小溪后，三人的本子数就与班里的同学都一样多了。已知该班有 40人，作文本共有200本，请问小溪、晓晓和西西三人原来各有多少本作文本
2.米铺的王老板叫来了A、B、C 三辆卡车，打算将某仓库里的大米全部运往商铺。经过测量后得知，其中两辆车超载，一辆车未达到限载量。于是王老板将A 车中1 吨大米运往 B车，又将B 车中300千克大米运往C 车，又将C 车中500千克大米运至A 车。此时每辆车皆恰好达到限载量。已知三辆卡车的限载重量都是2吨，未装米时，A 卡车净重1.5吨，B 卡车净重1.7吨，C卡车净重1.8吨。请问刚装好米时，每辆卡车的总重各是多少 同时，超载的是哪两辆车
典型例题4
梦想水果铺为保证每周水果的新鲜，总是在周日早上运来一批水果，周六晚上将剩余的水果送往其他水果折扣店。某周，梦想水果铺前三天卖出总数的一半少600千克，后四天卖出剩余总数的一半多800千克，最后在周六晚上将剩余的500千克水果运出。请问本周梦想水果铺运来的水果有多少吨
分析 在本题中我们可以将本周原来的水果总数看作是一段线段，而后我们可根据题意作图如下：
结合示意图，我们可知，剩下的500千克加上800千克就是前三天售出后剩余的一半(其中需注意的是，这个“剩余的一半”并非总数的 求出的结果乘以2后就是前三天卖出后剩余的部分。而该部分再减去“少600千克”，就是总数的一半。
解 )(千克),
1300×2=2600(千克),
2600-600=2000(千克),
2000×2=4000(千克)=4(吨)。
答：本周梦想水果铺运来的水果有4吨。
思维训练4
1.梦想水果铺为保证每周水果的新鲜，总是在周日早上运来一批水果，周六晚上将剩余的水果送往其他水果折扣店。某周，梦想水果铺前四天卖出总数的一半多600千克，后三天卖出剩余总数的一半少100千克，最后在周六晚上将剩余的700千克水果运出。请问本周梦想水果铺运来的水果有多少千克
2.西西为做美术作业，买了一段蕾丝彩带。在第一次美术作业中用去了彩带的 还少10厘米，在第二次美术作业中用去了剩下的一半还多5厘米，最后还剩下 35 厘米的彩带。请问该蕾丝彩带原来有多长
竞赛强化
1.西西起床后，花了 25 分钟洗漱穿衣，20分钟吃饭，又搭乘了 15 分钟的公交车，在8：20到达了学校，则西西的起床时间为 点 分。
2.某数与3的和，乘以5，再减去1等于 24，则该数为 。
3. 某数乘以4,除以2,再加上10等于 24,则该数为 。
4.万圣节那天见面后，小溪给了晓晓3颗糖果，晓晓给了西西 4 颗糖果，西西给了小溪5颗糖果，三人的糖果数就都是17颗，则原先小溪有糖果 颗，晓晓有糖果 颗，西西有糖果 颗。
5.工厂里有零件若干，第一天加工了这堆零件的一半少20个，第二天加工了剩下的一半又25个，第三天把剩下的75个零件全部加工完毕，则工厂里原有零件 个。
6. □+3=☆;☆×2=△;△-19=1;求□所表示的数字。
7. □×3=☆;☆-2=△;△÷7=4;求□所表示的数字。
8.妈妈对小溪说：“把我的年龄减去16以后乘以2，再减去25，最后乘以2，就是你的年纪了。”已知小溪今年10岁，请问妈妈今年多少岁
近来，人们惊奇地发现熊猫培育基地里的熊猫特别爱趴在树上。某天下午两点时，熊猫园里的三棵大树上数量不一地趴满了熊猫。在接下来的四个小时内，第一棵树上共有3只熊猫爬到了第二棵树上，第二棵树上共有2 只熊猫爬到了第三棵树上，第三棵树上共有1 只熊猫爬到了第一棵树上。此时，三棵树上的熊猫数量相等，都为8只。请问下午两点时，三棵树上的熊猫各有多少只
10.某银行的三个分行的金钱数量各不相同。某天运钞车将A分行的800万元运往B分行，将B分行的600万元运往C分行，又将A分行的400万元运往C分行。此时，三个分行的金钱数量皆为总数的· ，已知三个分行的金钱总数为 9000万元。请问这三个分行原来各有多少钱
春节前，小溪买了一堆零食，其中有一大罐奶糖。第一周，小溪吃了一半又 2 颗奶糖。第二周，小溪吃了剩下的一半又7颗奶糖。后来，在妈妈的告诫下，小溪大方地将剩下的12颗奶糖全部分享给了朋友们。请问这罐奶糖原来有多少颗
思维训练1
1. 解法一:10×5=50(分钟),10×2=20(分钟),10:00—10分钟=9:50,9:50—50分钟=9:00,9:00—20分钟=8:40,8:40—20分钟=8:20;
解法二:10×5=50(分钟),10×2=20(分钟),10+50+20+20=100(分钟)=1小时40分钟,10:00—1小时40分钟=8:20。
答：晓晓应该8：20起床。
2. 解法一:20×3=60(分钟)=1(小时),10:00—20分钟=9:40,9:40—1小时=8:40,8:40—25分钟=8:15,8:15—25分钟=7:50;
解法二:20×3=60(分钟),20+60+25+25=130(分钟)=2小时10分钟,10:00—2小时10分钟=7:50。
答：小溪应该7：50起床。
思维训练2
1. 60+3=63,63÷7=9,9—3=6。答:原来这个数是6。
2. 24—12=12,12÷2=6,6+1=7。答:晓晓手上的牌所代表的数字是7。
思维训练3
1. 200÷40=5(本),小溪:5+1—4=2(本),晓晓:5—1+3=7(本),西西:5—3+4=6(本)。答：小溪原有练习本2本，晓晓原有练习本7本，西西原有练习本6本。
2. 2 吨=2000 千克,1 吨=1000 千克,1.5吨=1500千克,1.7 吨=1700千克,1.8吨=1800千克。
A:2000+1000—500=2500(千克)>2000(千克),2500+1500=4000(千克)=4(吨);
B:2000-1000+300=1300(千克)<2000(千克),1300+1700 = 3000(千克)=3(吨);
C:2000-300+500=2200(千克)>2000(千克),2200+1800=4000(千克)=4(吨)。
答:A 车重 4 吨,B 车重 3 吨,乙车重4吨，超载的是 A车和乙车。
思维训练4
1.根据题意，作图如下：
700—100=600(千克),600×2=1200(千克),1200+600=1800(千克),1800×2=3600(千克)。答：本周梦想水果铺运来的水果有 3600千克。
2.根据题意，作图如下：
35+5=40(厘米),40×2=80(厘米),80-10=70(厘米),70÷2=35(厘米),35×3=105(厘米)。答：该蕾丝彩带原来有105厘米。
竞赛强化
1. 7,20。提示:8时20分—25分—20分—15分=7时20分。
2. 2。提示:(24+1)÷5-3=2。
3. 7。提示:(24一10)×2÷4=7。
4. 15,18,18。提示:小溪的糖果数为“17+3一5=15”颗,晓晓的糖果数为“17—3+4=18”颗,西西的糖果数为“17-4+5=
18”颗。
5. 360。提示:第二天时有零件“(75+25)×2=200”个,所以总共有零件“(200—20)×2=360”个。
6.△=1+19=20;☆=20÷2=10;□=10—3=7。
7. △=4×7=28,☆=28+2=30,□=30÷3=10。
8. 10÷2=5,5+25=30,30÷2=15,15+16=31(岁)。答:妈妈今年31岁。
9. 第一棵树:8+3—1=10(只),第二棵树:8-3+2=7(只),第三棵树:8-2+1=7(只)。答：三棵树上分别有熊猫10只，7只,7只。
10. 9000÷3=3000(万元),A分行:3000+800+400=4200(万元),B分行:3000—800+600=2800(万元),C分行:3000—600—400=2000(万元)。答:A分行原来有钱4200万元，B分行原来有钱2800万元，C分行原来有钱2000万元。
11. 12+7=19(颗),19×2=38(颗),38+2=40(颗),40×2=80(颗)。答:这罐奶糖原来有80颗。
