葫芦岛市普通高中2023-2024学年下学期期末考试
高一数学
注意事项：
1.本试卷分第I卷 第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分；考试时间：120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名 准考证号 考试科目 试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上.
3.用铅笔把第I卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上.
4考试结束，将答题卡和答题纸一并交回.
第I卷（选择题，共58分）
一 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.下列各角中与终边相同的角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.若平面向量与满足，且与的夹角为，则（ ）
A.1 B. C. D.31
4.斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上 下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（ ）
A.56 B. C. D.
5.已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
6.已知角的始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.在中，是中点且，则向量在向量上的投影向量（ ）
A. B. C. D.
8.设集合，则集合的元素个数为（ ）
A.1013 B.1014 C.2024 D.2025
二 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）
9.在中，为边上一动点，则（ ）
A.
B.的外接圆半径为
C.当为角的角平分线时，
D.当为中点时，
10.设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.如图，正方体的棱长为为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是（ ）
A.直线与直线所成角的正切值为
B.当时，为等腰梯形
C.当时，与交于点，则
D.当时，为五边形
第II卷（非选择题，共92分）
三 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.两空题第一空2分，第二空3分）
12.已知，且（其中为虚数单位），则__________.
13.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图1所示，它是由4个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若图2中直角三角形的两锐角分别为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则__________.
14.足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴 踢的含义，“鞠”最早系外包皮革内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴 踢皮球的活动.已知某鞠（球）的表面上有四个点，满足平面，若三棱锥体积为，则该“鞠”的体积最小值为__________.
四 解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分13分）
在同一平面内的三个向量，若
（1）若，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角的余弦值.
16.（本小题满分15分）
已知函数的部分图象，如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2），求函数的值域；
（3）若，求满足不等式的的取值范围.
17.（本小题满分15分）
已知的内角的对边为，且.
（1）求；
（2）已知为的中点，底边上中线长为时，求面积的最大值.
18.（本小题满分17分）
如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点.
（1）求圆柱的表面积；
（2）证明：平面平面；
（3）若是的中点，点在线段上，求的最小值.
19.（本小题满分17分）
设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.已知在直四棱柱中，底面为菱形，且.
（1）求直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和；
（2）若直四棱柱在点处的离散曲率为，直四棱柱体积为，求函数的解析式及单调区间.
葫芦岛市普通高中2023—2024学年下学期期末考试
高一数学
参考答案及评分标准
一 单项选择题
1-4BDBC 5-8CDCA
二 多项选择题
9.ABC 10.BD 11.BCD
三 填空题
12.-1 13. 14.
四 解答题
15.（本小题满分13分）
（1）
或
（2）与垂直，
于是，
16.（本小题满分15分）
（1）由图可得，
则，因为，且，所以，
所以
由图可知，
则，解得，
因为，所以，
故
（2）由（1）知
设
综上，求函数的值域为
（3）由，得，
则，
解得或
解得或.
又
可得解集为
17.（本小题满分15分）
（1）由正弦定理，得，即，
故，
因为，所以，
所以；
（2）由（1）知，
由于，
所以
解得，当且仅当时，取得到等号，
此时面积的最大值
18.（本小题满分17分）
（1）.圆柱的底面半径，圆柱的侧面积
圆柱的底面积为，所以表面积
（2）由题意知平面，又平面，
所以，
而平面，
所以平面，
又平面，
故平面平面；
（3）将绕着旋转到使其与平面共面，且在的反向延长线上.当三点共线时取得最小值，为
所以在三角形中，由余弦定理可得：
所以的最小值等于
19.（本小题满分17分）
（1）在直四棱柱中，，底面为菱形，
由离散曲率的定义知：的离散曲率相等，的离散曲率相等，
所以A处的曲率为，
而处的曲率为，又，
所以两处的曲率和为，
故直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和
（2）由题设，A处的曲率，故，又故
所以直四棱柱底面面积为
故直四棱柱高为1，故体积为
令，可得，
即上递增；
令，可得，
即上递减；
所以增区间为，减区间为.
