南京市第五高级中学2024-2025学年高三上学期7月零模模拟考试
数学试卷 答案
一．选择题
1．若集合，N＝{y|y＝3x2+1}，则M∪N＝（ ）
A．[0，+∞） B．[0，1] C．[4，+∞） D．[1，+∞）
【解答】D．
2．已知复数z满足z（1﹣i）＝|1+i|2，则z＝（ ）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
【解答】B．
3．已知等比数列{an}的公比为q，若a1+a2＝12，且a1，a2+6，a3成等差数列，则q＝（ ）
A． B． C．3 D．﹣3
【解答】C．
4．已知，则sinαsinβ＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】B．
已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（ ）
B． C． D．
【解答】D．
6．函数f（x）＝（1﹣）sinx的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】A．
7．某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球．记R1＝“第一次摸球时摸到红球”，G1＝“第一次摸球时摸到绿球”，R2＝“第二次摸球时摸到红球”，G2＝“第二次摸球时摸到绿球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（ ）
A．P（R）＝P（R1） P（R2） B．P（G）＝P（G1）+P（G2）
C． D．P（G2|G1）+P（G1|G2）＝1
【解答】C．
8．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：C＝Iλt，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为60h；当放电电流为25A时，放电时间为15h，则该蓄电池的Peukert常数λ约为（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（ ）
A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15
【解答】D．
二．多选题
（多选）9．若正数a，b满足a+b＝1，则（ ）
A．log2a+log2b≤﹣2 B．
C．a+lnb＜0 D．
【解答】ABC．
（多选）10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的单调递增区间是[1，+∞）
B．不等式f（x）＜1的解集是（﹣1，3）
C．函数f（x）的图象关于x＝1对称
D．函数f（x）的值域是R
【解答】CD．
（多选）11．棱长为2的正方体．ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1内一个动点（包括边界），且B1F∥平面A1BE，则下列说法正确的有（ ）
A．动点F轨迹的长度为
B．三棱锥B1﹣D1EF体积的最小值为
C．B1F与A1B不可能垂直
D．当三棱锥B1﹣D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为
【解答】ABD．
三．填空题
12. 已知平面向量，，若，则＝ ．
【解答】解：根据题意，平面向量，，
若，则，解得k＝2，
故，
所以．
故答案为：．
13. 在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到A，B，C三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加C项目，那么不同的志愿者分配方案共有 种（用数字表示）．
【解答】12．
某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x（x＞0）千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为f（x）千元与g（x）千元，其中f（x）＝2x，g（x）＝4ln（2x+1），如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投 千元．
【解答】1.5．
四．解答题
15．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且b＝2，a2＝（c﹣1）2+3．
（1）求A；
（2）若＝4，求cosC的值．
【解答】解：（1）由a2＝（c﹣1）2+3．得a2＝c2﹣2c+4，
又b＝2，得cosA＝＝＝＝，
又因为0＜A＜π，所以A＝；
（2）∵＝4，∴＝2，在△ABC中，由正弦定理＝得＝，
解得sinB＝，由A＝，得B＜，所以B＝，
因为在△ABC中，A+B+C＝π，
所以cosC＝﹣cos（A+B）＝sinAsinB﹣cosAcosB＝×﹣×＝．
16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，二面角A﹣CD﹣P为直二面角．
（1）求证：PB⊥PD；
（2）当PC＝PD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：由于底面ABCD是边长为2的正方形，则BC⊥CD，
由于二面角A﹣CD﹣P为直二面角，则BC⊥平面PCD，
由于PD 平面PCD，则PD⊥BC，又PC⊥PD，PC∩BC＝C，PC、BC 平面PBC，
则PD⊥平面PBC，由于PB 平面PBC，则PB⊥PD．
（2）取CD中点F，连PF、BF，由PC＝PD知PF⊥CD，由于二面角A﹣CD﹣P为直二面角，
则PF⊥平面ABC，于是PF⊥BF，由于底面ABCD是边长为2的正方形，则PF＝，
BF＝，于是PB＝，同理PA＝，于是，又，设C到平面PAB距离为d，则由VP﹣ABC＝VC﹣PAB得：，于是解得：d＝，故直线PC与平面PAB所成角的正弦值为：．
17．无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域．
（1）消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表.是否有99.9%的把握认为消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关.
晴天 雨天
命中 45 30
不命中 5 20
附：其中n＝a+b+c+d
α 0.15 0.10 0.05 0.010 0.001
xα 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828
（2）某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立．无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭．
（i）求起火点被无人机击中次数X的分布列及数学期望；
（ii）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率．
【解答】解：（1）零假设H0：消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候无关，
2×2列联表如下：
晴天 雨天 合计
命中 45 30 75
不命中 5 20 25
合计 50 50 100
，
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，零假设H0不成立，消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关．
（2）（i）起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为0，1，2，3
，
．
X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
∵，∴．
（ii）击中一次被扑灭的概率为，
击中两次被火扑灭的概率为，
击中三次被火扑灭的概率为，
所求概率．
18．已知函数f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值集合．
【解答】解：（1）由题意得：f（x）定义域为（0，+∞），
则，
当a≤0时，f′（x）＜0，则f（x）单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；
当a＞0时，令f′（x）＝0，解得，
∴当时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为；
综上所述：当a≤0时，则f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；当a＞0时，f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为；
（2）当a≤0时，f（2）＝a﹣ln2＜0，不合题意；
当a＞0时，由（1）知；则1﹣a+lna≥0；
令g（a）＝1﹣a+lna，则，
∴当a∈（0，1）时，g′（a）＞0；当a∈（1，+∞）时，g′（a）＜0；
∴g（a）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴g（a）max＝g（1）＝0，
∴实数a的取值集合为{1}．
19. 已知椭圆：的离心率为，左 右焦点分别为，，上 下顶点分别为，，且四边形的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线：与椭圆交于P，Q两点，且P，Q关于原点的对称点分别为M，N，若是一个与无关的常数，则当四边形面积最大时，求直线的方程.
【详解】（1），
，所以，
因为a2＝b2+c2，所以a＝2，，c＝1，
所以椭圆方程为．
（2）
如图，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
，
联立，消去y整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
Δ＝（8km）2﹣4（4m2﹣12）（3+4k2）＞0，即m2＜3+4k2，
所以，. ，
，
因为|OP|2+|OQ|2是一个与m无关的常数，所以32k2﹣24＝0，，，
，，
点O到直线l的距离，
所以，
当且仅当，即m2＝3，
因为m＞0，所以时，取得最大值为，
因为S四边形MNPQ＝4S△POQ，所以S△POQ最大时，S四边形MNPQ最大，
所以或．南京市第五高级中学2024-2025学年高三上学期7月零模模拟考试
数学试卷
一．选择题
1．若集合，N＝{y|y＝3x2+1}，则M∪N＝（ ）
A．[0，+∞） B．[0，1] C．[4，+∞） D．[1，+∞）
2．已知复数z满足z（1﹣i）＝|1+i|2，则z＝（ ）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
3．已知等比数列{an}的公比为q，若a1+a2＝12，且a1，a2+6，a3成等差数列，则q＝（ ）
A． B． C．3 D．﹣3
4．已知，则sinαsinβ＝（ ）
A． B． C． D．
已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（ ）
B． C． D．
6．函数f（x）＝（1﹣）sinx的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
7．某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球．记R1＝“第一次摸球时摸到红球”，G1＝“第一次摸球时摸到绿球”，R2＝“第二次摸球时摸到红球”，G2＝“第二次摸球时摸到绿球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（ ）
A．P（R）＝P（R1） P（R2） B．P（G）＝P（G1）+P（G2）
C． D．P（G2|G1）+P（G1|G2）＝1
8．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：C＝Iλt，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为60h；当放电电流为25A时，放电时间为15h，则该蓄电池的Peukert常数λ约为（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（ ）
A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15
二．多选题
（多选）9．若正数a，b满足a+b＝1，则（ ）
A．log2a+log2b≤﹣2 B．
C．a+lnb＜0 D．
（多选）10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的单调递增区间是[1，+∞）
B．不等式f（x）＜1的解集是（﹣1，3）
C．函数f（x）的图象关于x＝1对称
D．函数f（x）的值域是R
（多选）11．棱长为2的正方体．ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1内一个动点（包括边界），且B1F∥平面A1BE，则下列说法正确的有（ ）
A．动点F轨迹的长度为
B．三棱锥B1﹣D1EF体积的最小值为
C．B1F与A1B不可能垂直
D．当三棱锥B1﹣D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为
三．填空题
12. 已知平面向量，，若，则＝ ．
13. 在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到A，B，C三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加C项目，那么不同的志愿者分配方案共有 种（用数字表示）．
某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x（x＞0）千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为f（x）千元与g（x）千元，其中f（x）＝2x，g（x）＝4ln（2x+1），如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投 千元．
四．解答题
15．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且b＝2，a2＝（c﹣1）2+3．
（1）求A；
（2）若＝4，求cosC的值．
16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，二面角A﹣CD﹣P为直二面角．
（1）求证：PB⊥PD；
（2）当PC＝PD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
17．无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域．
（1）消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表.是否有99.9%的把握认为消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关.
晴天 雨天
命中 45 30
不命中 5 20
附：其中n＝a+b+c+d
α 0.15 0.10 0.05 0.010 0.001
xα 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828
（2）某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立．无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭．
（i）求起火点被无人机击中次数X的分布列及数学期望；
（ii）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率．
18．已知函数f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值集合．
19. 已知椭圆：的离心率为，左 右焦点分别为，，上 下顶点分别为，，且四边形的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线：与椭圆交于P，Q两点，且P，Q关于原点的对称点分别为M，N，若是一个与无关的常数，则当四边形面积最大时，求直线的方程.
