浙江省2024年第一届启航杯联考数学试题+答案
第一届启航杯数学试题
2024 年 7 月 29 日
一 , 选择题:本题共8小题 ,每小题5分 ,共40分 . 在每小题给出的四个选项中 ,只有一个是符
合题目要求的 .
1 . 已知集合 A = {x|2|x| 4, x ∈ Z} , 则A的元素数量是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
√
1 + 3i
2 . 已知z = , 则 |z2 1| = ( )
2
√ √3
A. 1 B. 3 C. 2 D.
2
x2
3 . 椭圆E : + y2 = 1的左 , 右焦点分别为 F1 , F2 , G 为 E 上一点 , 则当 △GF1F2的面积最大时 ,
4
∠F1GF2的取值为( )
2π π π π
A. B. C. D.
3 2 3 4
4 . 已知棱长为 6 的正方体与一个球相交 ,球在正方体的每个面上的交线都为一个面积为 16π 的圆 ,则该球的
表面积为( )
A. 96π B. 100π C. 125π D. 204π
1 √ 1 √
5 . 已知 ( + x)n 的二项式系数之和为64 , 则 ( + x)n 的展开式中常数项为( )
x x
A. 1 B. 6 C. 15 D. 20
6 . 已知 xx 1
a
lnx+ 对 x > 0 恒成立 ,则 a 的最大值为( )
x
1
A. 0 √ B. C. e D. 1e
an+1 + 1
7 . 已知 an = , an ∈ [
π
1, 1] 且 a1 = cos ,则 a1a2a3 的值为( )
2 9
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 4 8 16
8 . 克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为 p(0 < p < 1) , 她掷了N 次硬币 , 最终有 10
次正面向上 . 但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量 X 表示每掷 N 次硬币中正面向上的次
数 , 现以使 P (X = 10) 最大的 N 值估计 N 的取值并计算 E(X) .(若有多个N使P (X = 10)最大,则取其
中的最小N值).下列说法正确的是( )
A. E(X) > 10 B. E(X) < 10
C. E(X) = 10 D. E(X)与10 的大小无法确定
{#{QQABZYQEogAAAJAAAAgCQQEICECQkBGCCYgOQFAIoAABwQFABAA=}#} 1
二 , 选择题:本题共3小题 ,每小题6分 ,共18分 . 在每小题给出的选项中 ,有多项符合题目要
求 . 全部选对的得6分 ,部分选对的得部分分 ,有选错的得0分 .
9 . 如图所示 ,在棱长为 2 的正方体中 , M 为 BB1 的中点 , G 为 D1B1靠近B1 的四等分点 , H 为线段 MG
上一动点 , 则( )
图 1
A.三棱锥 H D1AC 的体积为定值
B. ∠AMC = ∠D1MC√
5 3
C. HD 的最小值为
3
→ → → 1
D.若 HG = λHB1 + HD1(λ, ∈ R) ,则 λ =
2
10 . 设定义域为 (0,+∞) 的单调递增函数 f(x) 满足 f(x) = f(x 1) + x(x 2) , 且 f(1) = 1 , 则下列说法正
确的是 ( )
x2 + x
A.当 x ∈ N+ 时 , f(x) =
2
5 35
B. f( )
2 8
√
C.不等式f( x) f(x)的解集为[1,+∞)
f(x)D.若 M > 0使得x > 1 时, M恒成立 , 则 a 的最小值为 2
xa
11 . 数学有时候也能很可爱 ,如题图2所示是小D同学发现的一种曲线 ,因形如小恐龙 ,因此命名为小恐龙曲线 .
对于小恐龙曲线 C1 : x
2 + y3 axy = 20 ,下列说法正确的是( )
图 2
A.该曲线与x = 8最多存在3个交点
B.如果曲线如题图2所示(x轴向右为正方向 ,y轴向上为正方向) ,则 a > 0
C.存在一个 a ,使得这条曲线是偶函数的图像
D. a = 3 时 ,该曲线中 x 8 的部分可以表示为 y 关于 x 的某一函数
{#{QQABZYQEogAAAJAAAAgCQQEICECQkBGCCYgOQFAIoAABwQFABAA=}#} 2
二 , 填空题:本题共3小题 ,每小题5分 ,共15分 .
12 . 随着某抽卡游戏在班级内流行 ,矜持统计了 6 位同学获得某角色的抽取次数 ,结果如下:
10, 60, 90, 80, 20, 180 则以上数据的下四分位数为 .
13. 已知正四面体 O ABC 棱长为 4 ,棱 OA 上有一点 A1 ,棱 OB 上有一点 B1 ,棱 OC 上有一点 C1 . 若
|A1B1| = |B1C1| = 1 ,则 |A1C1| 的最大值为 .
14. 设函数f(x) = ex ax alnx(a > 0)的极小值点为x0, 若y = f(x)的图像上不存在关于直线x = x0对称的
两点,则x0的取值范围为为 .
三 , 解答题:本题共5小题 ,共77分 . 解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤
15 . (13分)
已知△ABC中 ,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c .已知 c = 3，S△ABC = b2sinC.
(1). 求a的取值范围
(2). 求∠B最大时,△ABC的面积.
16 . (15分)
2 2
已知双曲线C: x2 y2 = 8 ,圆 A : (x 2) + (y 2) = r2 ,其中 r > 0 . 圆 A 与双曲线 C 有且仅有两个
交点 D,E 线段 DE的中点为G
k1
(1) . 记直线 AG 的斜率为 k1 , 直线OG的斜率为 k2 , 求 .
k2
(2) . 当直线 DE 的斜率为 3时,求G点坐标 .
{#{QQABZYQEogAAAJAAAAgCQQEICECQkBGCCYgOQFAIoAABwQFABAA=}#} 3
17 . (15分)
1 1
浙里启航团队举办了一场抽奖游戏 ,玩家一共抽取 n 次 . 每次都有 的概率抽中 , 的概率没抽中 . 小
2 2
明的抽奖得分按照如下方式计算:
1 . 将玩家 n 次抽奖的结果按顺序排列 ,抽中记作 1 ,未抽中记作 0 ,形成一个长度为 n 的仅有 01 的序列 .
2 . 定义序列的得分为:对于这个序列每一段极长连续的 1 ,设他长度为 t ,那么得分即为 t2 .
3 . 序列的得分即为每一段连续的 1 的得分和 .
例如:如果玩家A抽了 7 次 ,第 1, 3, 4, 5, 7 次中奖 ,那么序列即为 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1 ,得分为 12+32+12 = 11 .
可能用到的公式:若 X,Y 为两个随机变量 ,则 E(X) + E(Y ) = E(X + Y ) .
(1) . 若 n = 3 ,清照进行了一次游戏 . 记随机变量 X 为清照的最终得分 , 求 E(X) .
(2) . 记随机变量 Z 表示长度为 n 的序列中从最后一个数从后往前极长连续的 1 的长度 ,求 E(Z)
(3) . 若 n = k ,清照进行了一次游戏 . 记随机变量 A 为清照的最终得分 ,求 E(A) .
18 . (17分)
定义: [x] 表示 x 的整数部分 , {x} 表示 x 的小数部分 ,例如 [1.2] = 1 , {1.75} = 0.75.
数列 an 满足 [an] (an ∈/ Z)
an+1 = {an}
an (an ∈ Z)
其中a1 = m. 若存在k ∈ N+ , 使得当 n > k 时 , an = an+1 恒成立 , 则称数 m 为木来数 .
√ 5
(1) . 分别写出当 m = 2 , m = 时 a1, a2, a3, a4 的值 .
√ 3
(2) . 证明 : t2 + 1(t ∈ N+) 是木来数
(3) . 若 m 为大于 1 的有理数 . 且 m ∈/ Z . 求证 : m 为木来数
{#{QQABZYQEogAAAJAAAAgCQQEICECQkBGCCYgOQFAIoAABwQFABAA=}#} 4
19 . (17分)
称代数系统 G(x, ) 为一个有限群 ,如果
1. X 为一个有限集合 , 为定义在 X 上的运算(不必交换) , a, b ∈ X, a b ∈ X
2. (a b) c = a (b c), a, b, c ∈ X
3. e ∈ X, a ∈ X, a e = e a = a, e 称为 G 的单位元
4. a ∈ X ,存在唯一元素 a 1 ∈ X 使 a a 1 = a 1 a = e, a 1 称为 a 的逆元
有限群 H(Y, ) 称为 G(X, ) 的子群 . 若 Y X ,定义运算 a H = {a h|h ∈ H}
(1) . 设 H 为有限群 G 的子群 , a, b 为 G 中的元素 .
求证:
(I) a H = b H 当且仅当 b 1 a ∈ H
(II) a H 与 H 元素个数相同
ab ab
(2) . 设 p 为任一质数 X = {1, 2, ..., p 1} . X 上的乘法定义为 a b = ( [ ])p ,其中 [x] 为不大于 x
p p
的最小整数 . 已知 G(X, ) 构成一个群 ,求证: a ∈ X, ap 1 1 = 0 (其中 ap 1 表示 p 1 个 a 作
运算)
{#{QQABZYQEogAAAJAAAAgCQQEICECQkBGCCYgOQFAIoAABwQFABAA=}#} 5
由于 ，故 ，又 ，故 ，有 个元素，答案选 D.
由题得 ，则 ，答案选 B.
由题 ， ，设 ，则 ，由 ，
得 时面积最大，此时 ，则 ，答案选 A
由对称性，球心与正方体重心重合，且每个面的交线半径为 .连球心与任意面中心，则连线长为 ，
且连线垂直该面，再连交线圆上一点与球心（即为球半径），由勾股定理得球的半径为 ，
则表面积为 ，答案选 B.
由二项式系数的组合意义， ，得 ，
则 中常数项为 ，答案选 C.
{#{QQABZYQEogAAAJAAAAgCQQEICECQkBGCCYgOQFAIoAABwQFABAA=}#}
由题， ，
令 ， 单调递增且有唯一零点 ，
故 ，又 ，
故令 ， ，则 单调递增且有唯一零点 ，故 ，
因此 的最大值为 ， 即 时取等，答案选 D.
平方得 ，令 ，则 ，
不妨取 ，则 ， ，
故答案选 C
{#{QQABZYQEogAAAJAAAAgCQQEICECQkBGCCYgOQFAIoAABwQFABAA=}#}
由题， 服从二项分布 ，则 ，
最大即为满足 的最小 ，
即为 ，
又 ，故 为整数时 ， 不为整数时 为大于 的最小整数，
而 ， ，当 为整数时显然成立，
当 不为整数时大于 的最小整数为 的整数部分，其小于 ，故 ，答案选 B
{#{QQABZYQEogAAAJAAAAgCQQEICECQkBGCCYgOQFAIoAABwQFABAA=}#}
A.取 中点为 ，连 ， 中点为 ，连 ，则易得 且 ，故 为平行四边
形， ，又 为 中位线，故 ，故 ，又 平面 ， 平面
，故 平面 ，其上任意一点到平面 的距离相等，故三棱锥体积为定值，A 正确，
B.由题， ，而 ， ，
故 ，B 错误，
C.当 时 最小，在平面 内以 为原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向建立平面直
角坐标系，则 ， 到 的距离为 ，经验证此时 在线段 上，
C 正确，
D.当 与 重合时， ， ，则 ，取 明显错误，故 D 错误.
{#{QQABZYQEogAAAJAAAAgCQQEICECQkBGCCYgOQFAIoAABwQFABAA=}#}
当 时，有 ， ，…… ， ，累加可
得 ，A 正确，
，当 时 ，B 错误，
由函数单调递增，即为 ，解集为 ，C 正确，
由 时 和 单调递增，得 ，
当 时， ，取 即可，
另一方面，同理有 ，则 时， ，而 时右式在
时趋于 ，故不存在 满足条件，D 正确
下证明： 只需在 单调递增即可满足题意：设 ，若 ，则
，而
，故 在 单调递增
而依此类推可得 始终单调递增，故 B 中取 可行.
{#{QQABZYQEogAAAJAAAAgCQQEICECQkBGCCYgOQFAIoAABwQFABAA=}#}
A.即 ，为关于 的一元三次方程，最多有三个实根，A 正确；
B.若曲线如图所示，则存在 使得 与曲线图象有三个交点， 有三个实根
（两正一负），令 ，则 ，
当 时 ，则 单调递增，原方程最多有一个实根而不符合题意，故 ，B 正确
C.曲线是偶函数的图像，则若 在曲线上必有 在曲线上，
即 时 ，易得 满足条件.当 时， 为函数，
故 C 正确；
D. 时，代入 得 ，令 ，则 ， ，
，故 至少存在两根，则 对应多个 ，故无法表示为函数关系，D 错误；
共有 6 个数据，则 向上取整为 ，从小到大的第二个数据为 .
在 中，由余弦定理有： ，得
，同理在 有 .
{#{QQABZYQEogAAAJAAAAgCQQEICECQkBGCCYgOQFAIoAABwQFABAA=}#}
若 ，则 为方程 两根，则 得 ，又
两根都为正，故 即 ，但此时 不可能最大，理由如下：不妨 ，则在
上取一点 使 ，则 为等边三角形，则易知 ，而此时的 点也满足题意，
故 时 最大.
当 时， 为等边三角形，由题 ，存在这样的 ，则
， 的最大值为 ，故 当且仅当 取等.
由题， 无解，
则 在 不存在零点.
又 时， （ ，而 ），所以必有 时 ，
故必有 使 在 时在 附近单调递减，（否则若 ，若 不存在正零点则
， 单调递增而恒正，若 存在正零点，记 的最小正零点为 ，则 在 恒
成立， 不符合题意）而 ， ，故同理必有 ，
而 ， ，同理必有 ， ，
而 ， ， ，故
，
又 ，故 ，又 ，故
下证明充分性：（作为填空题可以直接写必要性而不必证明）
{#{QQABZYQEogAAAJAAAAgCQQEICECQkBGCCYgOQFAIoAABwQFABAA=}#}
即只需 恒成立，而 单调递增，设 零点为 ，由前述必要条件
知 ，故 ，
只需 ，
而 零点为 得 ，
故即证 ，
即 ，
由题必有 ，则 ，
令 ，则 ， ，
只需 ，即 ，
令 ，即 ，
而 单调递增且有唯一零点 ，且 ，
故 在 单调递减， 单调递增，而 ，
故 ，原命题得证.
{#{QQABZYQEogAAAJAAAAgCQQEICECQkBGCCYgOQFAIoAABwQFABAA=}#}
