1.1《集合的概念》课时作业
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列命题中正确的有（ ）．
①很小的实数可以构成集合；
②R表示一切实数组成的集合；
③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集；
④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．下列关系中，正确的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥.
A．6 B．5 C．4 D．3
3．已知集合，且，则实数为（ ）
A．2 B．3 C．0或3 D．
4．集合中实数的取值范围是( )
A．或 B．且
C．或 D．且
5．集合可化简为（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数集合，若， 则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
7．有下列三个说法：
①若，则；
②集合有两个元素；
③集合时有限集．
其中正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．集合A＝用列举法表示为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题:本题共3小题,每题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．由组成的集合可表示为或
B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．集合与集合是同一个集合
10．若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 把答案填在答题卡中的横线上.
12．用描述法表示“被除余的正整数构成的集合为 ．
13．用列举法表示集合 ．
14．定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由．
(1)接近于0的数的全体；
(2)平面上到点的距离等于2的点的全体；
(3)方程在实数范围内的解；
(4)720的所有正约数；
(5)所有大于小于1的实数．
16．(15分)已知， ，当时，求集合B.
17．(15分)已知集合中的元素满足，.
(1)若，求实数的值；
(2)若为单元素集合，求实数的值；
(3)若为双元素集合，求实数的取值范围.
18．(17分)设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证：
(1)若，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集.
19．(17分)已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
参考解析
1．C
【解析】对于①，很小的实数是个不确定的概念，不可以构成集合，故错误；
对于②，R表示一切实数组成的集合，故正确；
对于③，给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是无限集，故错误；
对于④，2023年联合国常任理事国有中国、俄罗斯、英国、法国、美国，能组成一个集合，故正确．
故选：C．
2．D
【解析】由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确；
在②中，，故②正确；在③中，不正确，故③错误；在④中，，故④错误；
在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确.所以正确的个数为3.
故选：D.
3．B
【解析】因为且，
所以或，
①若，此时，不满足元素的互异性；
②若，解得或3，
当时不满足元素的互异性，当时，符合题意.
综上所述，.故选：B
4．D
【解析】由集合元素的互异性可知，，解得且，
所以实数的取值范围为且.故选：D.
5．C
【解析】由，解得或，
又因为，所以，
所以集合可化简为.故选：C
6．A
【解析】当，时，，或任意，（舍去）；
当，时，，，不成立，
所以，，.故选：A.
7．B
【解析】①当时不成立，不正确；
②有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确；
③集合是有限集，正确．
故选：B
8．D
【解析】因为，，所以或2或4或8，
即或4或2或，即.故选：D.
9．AD
【解析】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有，
故A正确.
对于B，不是空集，故B错误.
对于C，，而，
故两个集合不是同一个集合，故C错误.
对于D，，故D正确.
故选：AD.
10．AD
【解析】当，即时，，符合题意；
当，即时，若集合只有一个元素，由一元二次方程根的判别式，解得.
综上实数的值可以为1，4.故选：AD.
11．CD
【解析】依题意，当都为正数，代数值等于4；
当中只有一个负数两个正数，代数值为0；
当中只有一个正数两个负数，代数值为0；
当都为负数，代数值为.故选：CD
12．
【解析】用描述法表示“被被除余的正整数构成的集合”为，
13．
【解析】当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
用列举法表示集合为，
14．4
【解析】，，
当，时，；
当，时，；
当，时，.
所以，所以集合中所有元素之和为.
15．【解析】（1）因为接近于0的数的全体，标准不明确，不符合集合元素的确定性，所以不能构成集合；
（2）因为平面上到点的距离等于2的点的全体，构成以圆心，半径为的圆，符合集合的概念，且是无限集；
（3）因为方程在实数范围内无解，所以方程的解集为空集；
（4）由720的所有正约数，满足元素的确定性和互异性，可以构成集合，且为有限集；
（5）所有大于小于1的实数，可以构成一个集合，且为无限集.
16．【解析】∵，
∴方程有两个相等实根，
则由根与系数关系得∴，
∴.
可得，解得或，故集合.
17．【解析】（1），故，解得.
（2）当时，方程变为，得，满足题意；
当时，要使为单元素集合，则方程有两个相等的实数根，
，解得；
综上所述：或时为单元素集合.
（3）若为双元素集合，则方程有两个不相等的实数根，
故且，解得且.
18．【解析】（1）若，则,
又因为，所以.
因为，所以.
因为，所以.
所以A中另外两个元素为.
（2）若A为单元素集，则，
即，方程无实数解．
所以，所以集合A不可能是单元素集．
19．【解析】（1）集合中有三个元素：，，，，
或，解得或，
当时，，，，成立；
当时，，，，成立．
的值为0或．
（2）集合中也有三个元素：0，1，，，
当取0，1，时，都有，
集合中的元素都有互异性，，，
．实数的值为．
