2025版新教材高考数学第二轮复习
专题五 平面向量与复数
5.1 平面向量
五年高考
高考新风向
1.(2024新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.(2024新课标Ⅱ,3,5分,易)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=( )
A. B. C. D.1
3.(2024全国甲理,9,5分,中)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则 ( )
A.x=-3是a⊥b的必要条件
B.x=1+是a∥b的必要条件
C.x=0是a⊥b的充分条件
D.x=-1+是a∥b的充分条件
考点1 平面向量的概念及运算
1.(2020新高考Ⅱ,3,5分,易)若D为△ABC的边AB的中点,则= ( )
A.2- B.2-
C.2+ D.2+
2.(2022新高考Ⅰ,3,5分,易)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=( )
A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n
3.(2021全国乙文,13,5分,易)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ= .
考点2 平面向量的夹角与模
1.(2022全国乙文,3,5分,易)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(2023全国甲文,3,5分,易)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos
A. B. C. D.
3.(2020课标Ⅲ理,6,5分,易)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos
A.- B.- C. D.
4.(2022新高考Ⅱ,4,5分,易)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若
A.-6 B.-5 C.5 D.6
5.(2023全国甲理,4,5分,中)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos
A.- B.- C. D.
6.(2023新课标Ⅱ,13,5分,易)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|= .
7.(2021新高考Ⅱ,15,5分,中)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a= .
考点3 平面向量的数量积及其应用
1.(2023新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则 ( )
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1
2.(2023北京,3,4分,易)已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2=( B )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
3.(2020课标Ⅱ文,5,5分,易)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是( )
A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b
4.(2023全国乙文,6,5分,易)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·= ( )
A. B.3 C.2 D.5
5.(2020新高考Ⅰ,7,5分,中)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则·的取值范围是 ( )
A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6)
6.(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分,中)已知O为坐标原点,点P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sinβ), P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则 ( )
A.||=||
B.||=||
C.·=·
D.·=·
7.(2021全国乙理,14,5分,易)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ= .
8.(2020课标Ⅱ理,13,5分,易)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k= .
三年模拟
练速度
1.(2024辽宁抚顺模拟,3)已知向量a=(2,1),b=(1,2),若向量c满足a·c=8,且b∥c,则|c|= ( )
A.2 B.12 C.20 D.2
2.(2024江苏苏锡常镇调研一,3)已知平面向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=|b|=1,|c|=,则a与b的夹角为 ( )
A. B. C.π D.π
3.(2024山东青岛二模,5)已知平面向量a=(-1,1),b=(2,0),则a在b上的投影向量为( )
A.(-1,0) B.(1,0) C.(-,0) D.(,0)
4.(2024湖南长沙雅礼中学月考(七),4)已知D是△ABC所在平面内一点,=+,则 ( )
A.= B.=
C.= D.=
5.(2024福建漳州第三次质量检测,6)在△ABC中,D是边BC上一点,且BD=2DC,E是AC的中点,记=m,=n,则= ( )
A.n-3m B.n-3m
C.m-3n D.m-3n
6.(2024湖北七市州3月联考,3)已知正方形ABCD的边长为2,若=,则·= ( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
7.(2024北京清华附中统练二,5)如图,在 OACB中,E是AC的中点,F是BC上的一点,且BC=3BF,若=m+n,其中m,n∈R,则m+n的值为 ( )
A.1 B. C. D.
8.(2024东北三省三校第二次联考,5)已知|a|=5,b=(-1,2),a在b上的投影向量为m=(-2,4),则向量a与b夹角余弦值为 ( )
A. B. C. D.-
9.(2024广西南宁3月第一次适应性测试,5)已知△ABC的外接圆圆心为O,且2=+,||=||,则向量在向量上的投影向量为 ( )
A. B. C.- D.
10.(2024浙江杭州二模,3)已知a,b是两个单位向量,若向量a在向量b上的投影向量为b,则向量a与向量a-b的夹角为 ( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
11.(2024山东淄博一模,6)在平面直角坐标系xOy中,已知向量与关于x轴对称,向量a=(0,1),若满足+a·=0的点A的轨迹为E,则 ( )
A.E是一条垂直于x轴的直线
B.E是一个半径为1的圆
C.E是两条平行直线
D.E是椭圆
12.(多选)(2024湖北武汉调研,9)已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(-3,4),则 ( )
A.若a∥b,则tan θ=-
B.若a⊥b,则sin θ=
C.|a-b|的最大值为6
D.若a·(a-b)=0,则|a-b|=2
13.(多选)(2024福建厦门毕业班第四次质量检测,10)已知等边△ABC的边长为4,点D,E满足=2,=,AE与CD交于点O,则 ( )
A.=+
B.·=8
C.=2
D.|++|=
14.(2024浙江嘉兴调研,12)已知平面向量a,b,c,a=(-1,),b=(,-1),c是非零向量,且c与a,b的夹角相等,则c的坐标可以为 .(只需写出一个符合要求的答案)
15.(2024黑龙江哈六中二模,12)已知不共线的三个单位向量a,b,c满足a+λb+c=0,a与b的夹角为,则实数λ= .
练思维
1.(2024江西重点中学协作体联考,6)如图,正六边形的边长为2,半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心,若点M在正六边形的边上运动,动点A,B在圆O上运动且关于圆心O对称,则·的取值范围为 ( )
A.[4,5] B.[5,7]
C.[4,6] D.[5,8]
2.(2024湖南新高考教学教研联盟第二次联考,5)设=(1,0),=(0,2),对满足条件|--|=2|-|的点C(x,y),O为坐标原点,|x-2y+m|+|x-2y-7|的值与x,y无关,则实数m的取值范围为 ( )
A.(-∞,-7)
B.[13,+∞)
C.(13,+∞)
D.(-∞,-7)∪[13,+∞)
3.(2024河北石家庄质检(二),6)在平行四边形ABCD中,+=,λ∈[,3],则cos∠BAD的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
4.(2024山东烟台、德州二模,7)在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,=3,=,AE,CF交于点D,则||= ( )
A. B.
C. D.
5.(2024山西晋城三模,8)如图,圆O1和圆O2外切于点P,A,B分别为圆O1和圆O2上的动点,已知圆O1和圆O2的半径都为1,且·=-1,则|+|2的最大值为 ( )
A.2 B.4 C.2 D.2
6.(多选)(2024江苏苏锡常镇调研二,11)在长方形ABCD中,AB=8,AD=6,点E,F分别为边BC和CD上两个动点(含端点),且EF=5,设=λ,=μ,则 ( )
A.≤λ≤1,≤μ≤1
B.λ+μ为定值
C.·的最小值为50
D.|+|的最大值为
7.(多选)(2024湖南长沙一中一模,10)在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=CD=2,∠ABC=60°,AC与BD交于点M,点N在线段CD上,则 ( )
A.=+
B.2S△ACD=3S△BCM
C.·为定值8
D.若=λ+μ,则+的最小值为
8.(2024广东深圳第一次调研,13)设点A(-2,0),B,C(0,1),若动点P满足|PA|=2|PB|,且=λ+μ,则λ+2μ的最大值为 .
9.(2024安徽六校教育研究会第二次素养测试,13)已知正方形ABCD的边长为2,中心为O,四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点(如图),若P在上,且=λ+μ,则λ+μ的最大值为 .
练风向
(新定义理解)(2024北京人大附中统练,15)定义平面向量的一种运算a☉b=|a+b|×|a-b|×sin
专题五 平面向量与复数
5.1 平面向量
五年高考
高考新风向
1.(2024新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= ( D )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.(2024新课标Ⅱ,3,5分,易)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=( B )
A. B. C. D.1
3.(2024全国甲理,9,5分,中)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则 ( C )
A.x=-3是a⊥b的必要条件
B.x=1+是a∥b的必要条件
C.x=0是a⊥b的充分条件
D.x=-1+是a∥b的充分条件
考点1 平面向量的概念及运算
1.(2020新高考Ⅱ,3,5分,易)若D为△ABC的边AB的中点,则= ( A )
A.2- B.2-
C.2+ D.2+
2.(2022新高考Ⅰ,3,5分,易)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=( B )
A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n
3.(2021全国乙文,13,5分,易)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ= .
考点2 平面向量的夹角与模
1.(2022全国乙文,3,5分,易)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|= ( D )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(2023全国甲文,3,5分,易)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos
A. B. C. D.
3.(2020课标Ⅲ理,6,5分,易)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos
A.- B.- C. D.
4.(2022新高考Ⅱ,4,5分,易)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若
A.-6 B.-5 C.5 D.6
5.(2023全国甲理,4,5分,中)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos
A.- B.- C. D.
6.(2023新课标Ⅱ,13,5分,易)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|= .
7.(2021新高考Ⅱ,15,5分,中)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a= - .
考点3 平面向量的数量积及其应用
1.(2023新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则 ( D )
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1
2.(2023北京,3,4分,易)已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2=( B )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
3.(2020课标Ⅱ文,5,5分,易)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是( D )
A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b
4.(2023全国乙文,6,5分,易)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·= ( B )
A. B.3 C.2 D.5
5.(2020新高考Ⅰ,7,5分,中)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则·的取值范围是 ( A )
A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6)
6.(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分,中)已知O为坐标原点,点P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sinβ), P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则 ( AC )
A.||=||
B.||=||
C.·=·
D.·=·
7.(2021全国乙理,14,5分,易)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ= .
8.(2020课标Ⅱ理,13,5分,易)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k= .
三年模拟
练速度
1.(2024辽宁抚顺模拟,3)已知向量a=(2,1),b=(1,2),若向量c满足a·c=8,且b∥c,则|c|= ( A )
A.2 B.12 C.20 D.2
2.(2024江苏苏锡常镇调研一,3)已知平面向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=|b|=1,|c|=,则a与b的夹角为 ( B )
A. B. C.π D.π
3.(2024山东青岛二模,5)已知平面向量a=(-1,1),b=(2,0),则a在b上的投影向量为( A )
A.(-1,0) B.(1,0) C.(-,0) D.(,0)
4.(2024湖南长沙雅礼中学月考(七),4)已知D是△ABC所在平面内一点,=+,则 ( A )
A.= B.=
C.= D.=
5.(2024福建漳州第三次质量检测,6)在△ABC中,D是边BC上一点,且BD=2DC,E是AC的中点,记=m,=n,则= ( D )
A.n-3m B.n-3m
C.m-3n D.m-3n
6.(2024湖北七市州3月联考,3)已知正方形ABCD的边长为2,若=,则·= ( B )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
7.(2024北京清华附中统练二,5)如图,在 OACB中,E是AC的中点,F是BC上的一点,且BC=3BF,若=m+n,其中m,n∈R,则m+n的值为 ( C )
A.1 B. C. D.
8.(2024东北三省三校第二次联考,5)已知|a|=5,b=(-1,2),a在b上的投影向量为m=(-2,4),则向量a与b夹角余弦值为 ( A )
A. B. C. D.-
9.(2024广西南宁3月第一次适应性测试,5)已知△ABC的外接圆圆心为O,且2=+,||=||,则向量在向量上的投影向量为 ( A )
A. B. C.- D.
10.(2024浙江杭州二模,3)已知a,b是两个单位向量,若向量a在向量b上的投影向量为b,则向量a与向量a-b的夹角为 ( B )
A.30° B.60° C.90° D.120°
11.(2024山东淄博一模,6)在平面直角坐标系xOy中,已知向量与关于x轴对称,向量a=(0,1),若满足+a·=0的点A的轨迹为E,则 ( B )
A.E是一条垂直于x轴的直线
B.E是一个半径为1的圆
C.E是两条平行直线
D.E是椭圆
12.(多选)(2024湖北武汉调研,9)已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(-3,4),则 ( ACD )
A.若a∥b,则tan θ=-
B.若a⊥b,则sin θ=
C.|a-b|的最大值为6
D.若a·(a-b)=0,则|a-b|=2
13.(多选)(2024福建厦门毕业班第四次质量检测,10)已知等边△ABC的边长为4,点D,E满足=2,=,AE与CD交于点O,则 ( ABD )
A.=+
B.·=8
C.=2
D.|++|=
14.(2024浙江嘉兴调研,12)已知平面向量a,b,c,a=(-1,),b=(,-1),c是非零向量,且c与a,b的夹角相等,则c的坐标可以为 (1,1)(答案不唯一,满足横、纵坐标相等且都不为0即可) .(只需写出一个符合要求的答案)
15.(2024黑龙江哈六中二模,12)已知不共线的三个单位向量a,b,c满足a+λb+c=0,a与b的夹角为,则实数λ= -1 .
练思维
1.(2024江西重点中学协作体联考,6)如图,正六边形的边长为2,半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心,若点M在正六边形的边上运动,动点A,B在圆O上运动且关于圆心O对称,则·的取值范围为 ( B )
A.[4,5] B.[5,7]
C.[4,6] D.[5,8]
2.(2024湖南新高考教学教研联盟第二次联考,5)设=(1,0),=(0,2),对满足条件|--|=2|-|的点C(x,y),O为坐标原点,|x-2y+m|+|x-2y-7|的值与x,y无关,则实数m的取值范围为 ( B )
A.(-∞,-7)
B.[13,+∞)
C.(13,+∞)
D.(-∞,-7)∪[13,+∞)
3.(2024河北石家庄质检(二),6)在平行四边形ABCD中,+=,λ∈[,3],则cos∠BAD的取值范围是 ( A )
A. B.
C. D.
4.(2024山东烟台、德州二模,7)在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,=3,=,AE,CF交于点D,则||= ( C )
A. B.
C. D.
5.(2024山西晋城三模,8)如图,圆O1和圆O2外切于点P,A,B分别为圆O1和圆O2上的动点,已知圆O1和圆O2的半径都为1,且·=-1,则|+|2的最大值为 ( D )
A.2 B.4 C.2 D.2
6.(多选)(2024江苏苏锡常镇调研二,11)在长方形ABCD中,AB=8,AD=6,点E,F分别为边BC和CD上两个动点(含端点),且EF=5,设=λ,=μ,则 ( AC )
A.≤λ≤1,≤μ≤1
B.λ+μ为定值
C.·的最小值为50
D.|+|的最大值为
7.(多选)(2024湖南长沙一中一模,10)在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=CD=2,∠ABC=60°,AC与BD交于点M,点N在线段CD上,则 ( AC )
A.=+
B.2S△ACD=3S△BCM
C.·为定值8
D.若=λ+μ,则+的最小值为
8.(2024广东深圳第一次调研,13)设点A(-2,0),B,C(0,1),若动点P满足|PA|=2|PB|,且=λ+μ,则λ+2μ的最大值为 .
9.(2024安徽六校教育研究会第二次素养测试,13)已知正方形ABCD的边长为2,中心为O,四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点(如图),若P在上,且=λ+μ,则λ+μ的最大值为 .
练风向
(新定义理解)(2024北京人大附中统练,15)定义平面向量的一种运算a☉b=|a+b|×|a-b|×sin
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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