2023-2024学年四川省达州外国语学校高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复数的运算，共轭复数定义和复数模的计算即可得出结果.
【详解】，
.
故选：A
2．已知，，则（ ）
A．－3 B．－2 C．2 D．3
【答案】C
【分析】先将表示为，展开后将坐标代入即可得出结果.
【详解】解：因为，，
所以
.
故选：C
3．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接由弦求切.
【详解】因为，，所以.
故选：C.
4．已知分别是内角所对的边，是方程的两个根，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理去求的值.
【详解】是方程的两个根，则有，
则
故选：B
5．在平行四边形ABCD中，E为线段CD中点，AC与BE交于点F，设，则=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】依题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】依题意在平行四边形中，，
又是的中点，与交于点，所以，所以，
所以，
又因为，
所以.
故选：C
6．已知向量，若∥，则的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据，且∥，由平面向量共线的坐标表示结合商数关系求解.
【详解】因为，且∥，
所以，
即，
所以.
故选：D
【点睛】本题主要考查平面向量共线的坐标表示以及同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
7．已知，，，则的值为（ ）
A．或0 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】根据两角差的正弦公式，结合同角三角函数的关系与求解即可.
【详解】∵，∴，
∵，，
∴，.
则或0.
∵，∴.
故选：D
8．已知，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由倍角公式结合同角三角函数关系计算化简即可.
【详解】.
故选：B
二、多选题
9．关于平面向量，下列命题正确的有（ ）
A．若，则存在，使得 B．若，则
C． D．
【答案】AC
【分析】由平面向量共线定理知A正确；由反例可知BD错误；由数量积的运算律和定义可构造不等式得到，由此可知C正确.
【详解】对于A，由平面向量共线定理知：若，则存在，使，A正确；
对于B，若或中有零向量，则无法得到，B错误；
对于C，，
，则，C正确；
对于D，当时，，又，不成立，D错误.
故选：AC.
10．已知复数，下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．
D．若，则的最大值为3
【答案】BCD
【分析】利用特殊值判断A选项；由复数的运算判断BCD.
【详解】若复数，满足，但这两个虚数不能比大小，A选项错误；
若，则，即，
得或，所以，B选项正确；
设，，
则，
，
，
所以，C选项正确；
若，得，有，，
则，时取等号，
则的最大值为3，D选项正确.
故选：BCD.
11．在三角形所在平面内，点满足，其中，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线一定经过三角形的重心
B．当时，直线一定经过三角形的外心
C．当时，直线一定经过三角形的垂心
D．当时，直线一定经过三角形的内心
【答案】AC
【分析】对于A，点为的中点，根据重心的性质和已知条件分析判断，对于B，由向量的加法法则分析判断，对于C，化简即可得结论，对于D，结合正弦定理得，进一步由A选项分析可知.
【详解】对于A，因为，，设点为的中点，
所以，所以直线一定经过三角形的重心，故A正确；
对于B，当时，，
因为为与方向相同的单位向量，为与方向相同的单位向量，
所以平分，即直线一定经过三角形的内心，故B错误；
对于C，当时，，
所以，
所以，所以直线一定经过三角形的垂心，故C正确；
对于D，当时，，
而由正弦定理有，即有，
结合A选项分析可知直线一定经过三角形的重心，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：判断的C关键是得到等于0，由此即可顺利得解.
三、填空题
12．已知复数，当z在复平面内对应的点位于第三象限时，则实数m的取值范围为
【答案】
【分析】首先根据复数的几何意义表示出复数所对应的点的坐标，再根据坐标位置得到不等式组，解得即可；
【详解】解：复数在复平面内对应的点的坐标为
当在复平面内对应的点位于第三象限时，，
解得：，
的取值范围是．
故答案为：
13．设向量，满足，，与的夹角为，则 ．
【答案】
【分析】先计算出，从而求出.
【详解】，
故.
故答案为：
14．已知，则 .
【答案】/0.8
【分析】根据诱导公式化简可得，即可根据二倍角公式以及齐次式求解.
【详解】由可得，
，
故答案为：
四、解答题
15．已知z是复数，和均为实数，其中i是虚数单位.
(1)求复数z的共轭复数；
(2)记，若复数对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，分别代入和，再根据两者均为实数可求得，，进而可求得复数z的共轭复数；
（2）化简，再根据复数对应的点在第三象限可建立不等式组，求解即可.
【详解】（1）设，则
由为实数，则，所以，
由为实数，则，所以
则，复数z的共轭复数.
（2）由（1）可知，
由对应的点在第三象限，得，即，
解得
故实数m的取值范围为
16．在中，．
(1)求的值；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦二倍角和正切二倍角公式求解即可.
（2）根据同角的三角函数关系得到，，再结合已知条件和余弦二倍角公式求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，因为，所以．
．
（2）因为，，所以，．
因为
故.
17．如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东方向，然后向正东方向前进米到达D，测得此时塔底B在北偏东方向.
（1）求点D到塔底B的距离BD；
（2）若在点C测得塔顶A的仰角为，求铁塔高AB.
【答案】（1）米；（2）米.
【解析】（1）利用正弦定理列方程，解方程求得.
（2）利用正弦定理列方程，解方程求得，再解直角三角形求得.
【详解】（1）由题意可知，，，故
在中，由正弦定理，得
，
∴点D到塔底B的距离BD为米
（2）在中，由正弦定理，得
∴
.
在中，.
所以，铁塔高AB为米.
18．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求的最小值；
(2)若，求△ABC周长的最大值；
(3)若，，求△ABC的面积
【答案】(1)
(2)12
(3)
【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换分析可得，在利用余弦定理结合基本不等式分析运算即可；
（2）由（1）可得，结合基本不等式分析运算；
（3）根据题意结合正弦定理可求得，利用正弦定理以及面积公式分析运算.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
整理得，
可得，
所以，
由正弦定理得，即．
又因为，所以，即，
而，当且仅当时，等号成立，
则，故的最小值为．
（2）结合（1）可知，
又因为，
即，则，当且仅当时，等号成立，
故△ABC周长的最大值为．
（3）由及得，，
因为，则，可得，
又因为，则，
显然，所以，即，
又因为且，
解得，，，
因为，由正弦定理，可得，
又因为由正切二倍角公式有，
整理得，解得或（舍去），
所以，
故．
19．如图所示，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设，.
(1)用和表示向量，；
(2)若，求实数λ的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据向量的加减运算，即可求得答案；
（2）用和表示出，结合与共线，即可求得答案.
【详解】（1）依题意，A是BC的中点，
∴ ，即;
.
（2）设 ( )，
则
∵与共线，
∴存在实数k，使，即,
则 ，解得.
