永州市2023-2024学年高一下学期7月期末质量监测
数学
注意事项：
1.本试卷共150分，考试时量120分钟.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
3.考试结束后，只交答题卡.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（ ）
A. 互斥 B. 相互对立 C. 相互独立 D. 相等
3. 在杭州亚运会期间，共有1.8万多名赛会志愿者参与服务，据统计某高校共有本科生4400人，硕士生400人，博士生200人参与志愿者服务.现用分层抽样方法从该高校志愿者中抽取部分学生了解服务心得，其中博士生抽取了10人，则本科生抽取的人数为（ ）
A. 250 B. 220 C. 30 D. 20
4. 在中，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，，与夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
6. 若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（ ）
A. 数据的平均数为13
B. 数据的方差为12
C.
D.
7. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正方体的棱长为2，P为底面ABCD内一动点，直线与平面ABCD所成角为，为正方形的中心，点为线段上一动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，，则下列说法正确是（ ）
A. B. 存在实数，使得为实数
C. 若为纯虚数，则 D.
10. 如图，连接正方体各个面的中心得到一个每个面都是正三角形的八面体，如果四边形是边长为2的正方形，则（ ）
A. 异面直线与所成角的大小为
B. 二面角的平面角的余弦值为
C. 平面平面
D. 此八面体的外接球表面积为
11. 已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A. 若为的垂心，且，则
B. 若，则的面积与的面积之比为
C. 若，则动点的轨迹经过的外心
D. 若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知事件与事件发生的概率分别为，，且，则______.
13. 已知某圆台的上底面和下底面的面积之比为，轴截面面积为6，母线长为上底面半径的倍，则该圆台的体积为______.
14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某市高一年级36000名学生参加了一次数学竞赛，为了解本次竞赛情况，随机抽取了500名学生成绩，并根据这500名学生成绩，绘制频率分布直方图如图所示.
（1）求a的值，并估计该市高一年级的及格（60分以上）人数；
（2）估计该市高一年级学生成绩的分位数.
16. 已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若，求最小值.
17. 甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.
（1）用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由；
（2）若选择方案一，求甲获胜的概率.
18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E，F分别为棱，的中点.
（1）若平面平面，
①求证：；
②求三棱锥的体积；
（2）若，请作出四棱锥过点，，三点的截面，并求出截面的周长.
19. 当的三个内角均小于时，使得的点为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是的“费马点”.
（1）若，，.
①求；
②设的周长为，求的值；
（2）若，，求实数的最小值.
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数学 答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】AC
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】0.7##
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】##
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）；
（2）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）方案二被选择的可能性更大，理由略
（2）
【18题答案】
【答案】（1）①证明略.②
（2）
【19题答案】
【答案】（1）①；②
（2）
