哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高一下学期期末考试
数学试卷
考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．
考试时间为120分钟．
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. ，则（ ）
A. B. C. D.
2. 一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图如图所示，四边形为等腰梯形，，则平面图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
3. 在空间四面体中，对空间内任意一点，满足，则下列条件中可以确定点与，，共面的为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量，向量为平面内两个不共线的单位向量，若，，则下列结论正确的是（ ）
A. A、B、C三点共线 B. A、C、D三点共线
C. A、B、D三点共线 D. B、C、D三点共线
5. 经哈三中数学组集体备课研究，预计每周（五天）安排8堂数学课，每天至少1堂，不同的安排方法有（ ）
A. 35种 B. 126种 C. 495种 D. 1001种
6. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 三棱锥的侧棱是它的外接球的直径，且，则三棱锥的体积为（ ）
A B. C. D.
8. 在中，，I是的平分线上一点，且，若内（不包含边界）的一点D满足，则实数x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则n平行于内的无数条直线
C. 若，则 D. 若，则
10. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，下列结论正确的是（ ）
A. 第n行的第个位置的数是
B.
C. 第2024行的第1012个数最大
D. 第28行中第5个数与第6个数的比值为
11. 已知正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面被正方体内切球所截，则截面面积为
B. 四棱锥与四棱锥公共部分的体积为
C. 若点P在线段上运动，则
D. 以D为球心，为半径作球，则球面与正方体表面的交线长为
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 正四棱锥的所有棱长均为4，M为棱PC的中点，则异面直线BM与PA所成角的余弦值为______．
13. 已知，则______．
14. 现用种不同的颜色对四棱台的个顶点涂色，要求同一条棱的两个端点不同色，且上底面个顶点颜色都不同，则不同的涂色方法种数为______．（用具体数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 的展开式中所有项的二项式系数之和为32，前3项的系数之和为31．
（1）求实数n和a的值；
（2）求的展开式中的系数．
16. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，，．
（1）求；
（2）从以下3个条件中选择1个作为已知条件，使存在且唯一确定，求S．
条件①；条件②；条件③BC边上中线长为．
17. 在直三棱柱中，D、E分别是棱的中点，F为线段上的点．
（1）证明：平面；
（2）若，当与平面所成角的正弦值为时，求的值．
18. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）求取值范围：
（3）若的外接圆半径为，求内切圆半径的最大值．
19. “阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，它是底面为矩形，一条侧棱垂于底面的四棱锥．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，，平面平面，平面平面.
（1）求证：四棱锥是“阳马”；
（2）点M在正方形内（包括边界）．平面平面且，
（i）求M点轨迹长度；
（ii）是否存在M点，使得平面平面，若存在，求二面角的余弦值；若不存在，请说明理由．
哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高一下学期期末考试
数学试卷 答案
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】ACD
【10题答案】
【答案】AB
【11题答案】
【答案】BCD
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】112
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1），
（2）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）答案略
【17题答案】
【答案】（1）证明略
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）的取值范围为
（3）
【19题答案】
【答案】（1）证明略
（2）（i）；（ii）存在，该点为与交点，二面角的余弦值
