陕西师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设i为虚数单位，复数z满足，则为（ ）
A. B. 1 C. 3 D.
2. 一组数据27，12，15，14，31，17，19，23，10，35的上四分位数是（ ）
A. 17 B. 19 C. 27 D. 31
3. 已知点，点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知向量，，，，，则（ ）
A. B. 2 C. 4 D.
5. 已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图,为平行四边形所在平面外一点,为的中点,为上一点,当∥平面时,( )
A. B. C. D.
7. 已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且外接圆半径为2，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（ ）
A 若，则
B. 若，则为钝角三角形
C. 若，则符合条件的三角形不存在
D. 若，则一定等腰三角形
10. 某学校为了解高三学生的体重情况，采用分层随机抽样的方法从高三名学生中抽取了一个容量为的样本．其中，男生平均体重为千克，方差为；女生平均体重为千克，方差为，男女人数之比为，下列说法正确的是（ ）
A. 样本为该学校高三的学生 B. 每一位学生被抽中的可能性为
C. 该校高三学生平均体重千克 D. 该校高三学生体重的方差为
11. 三凌锥中，已知平面ABC，垂足为O，连接OA，OB，OC，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则O为的重心
B. 若，则O为的内心
C. 若三侧棱与底面所成夹角相等，则O为外心
D. 若三侧面与底面所成夹角相等，则O为的垂心
12. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成，体现了数学的对称美.如图，二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若它的所有棱长都为，则（ ）
A. 被截正方体的棱长为2
B. 被截去的一个四面体的体积为
C. 该二十四等边体的体积为
D. 该二十四等边体外接球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若，则的最大值为______.
14. 已知正三棱柱的高与底面边长均为2，则该正三棱柱内半径最大的球半径为______.
15. 如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得，米，在点C，D处测得塔顶的仰角分别为，，则塔高__________米．
16. 如图，边长为4的正方形中，半径为1的动圆Q的圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点A,C,D），P是圆Q上及其内部的动点，设，则的取值范围是_____________.
四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试.根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成组，其频率分布直方图如图所示.
（1）求图中的值；
（2）试估计本次数学测试成绩的平均分.(每一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
18. 在三棱锥中，底面ABC为直角三角形，，平面.
（1）证明：；
（2）若D为的中点，且，求点D到平面的距离.
19. 蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D为边BC上靠近B点的三等分点，，．
（1）若，求三角形手巾的面积；
（2）当取最小值时，请帮设计师计算BD的长．
20. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，点，分别为和的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求与平面所成角的正弦值.
21. 如果对于平面上任意一个向量，按照某种确定关系f，都有唯一确定的平面向量和它对应，那么就称f为平面向量的一个变换，记作（或）记，，若（i），都有；（ii），都有恒为定值，且恒大于等于0或恒小于0.则称f是一个旋转变换.
（1），，判断并说明f，g是否是旋转变换；
（2）已知f，g是旋转变换，，，求出一个满足条件的，，并计算；
（3）设，.求S中点到直线l的最短距离（对于旋转变换f，有.
陕西师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试
数学试题 答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
【9题答案】
【答案】AC
【10题答案】
【答案】BCD
【11题答案】
【答案】AC
【12题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
【13题答案】
【答案】3
【14题答案】
【答案】##
【15题答案】
【答案】米
【16题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）证明略
（2）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
【20题答案】
【答案】（1）证明略；
（2）证明略； （3）.
【21题答案】
【答案】（1）是旋转变换，不是旋转变换；
（2）
（3）1
