2023-2024学年天津市和平区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题2分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.下列实数中，比大的有理数是( )
A. B. C. D.
3.下列调查中，调查方式选择合理的是( )
A. 为了解市民对“天津时调”的喜爱程度，小强在某校随机采访了名七年级学
B. 为了解天津市青少年儿童的睡眠时间，采用普查的方式
C. 为了解神舟十八号飞船的设备零件的质量情况，采用抽样调查的方式
D. 了解海河水质，采用抽样调查的方式
4.下列式子正确的是( )
A. B. C. D.
5.若点在轴上，则点所在象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6.如图，现有一把直尺和一块自制三角形纸片，其中，，，点对应直尺的刻度为将该三角形纸片沿着直尺边缘平移，使得三角形移动到三角形的位置，点对应直尺的刻度为，连接，则四边形的面积是( )
A. B. C. D.
7.下列命题是真命题的是( )
A. 两直线相交，如果对顶角互补，那么这两条直线互相垂直
B. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直
8.有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
9.一种苹果的进价是每千克元，销售中估计有的苹果正常损耗，为了避免亏本，商家所定售价至少为每千克( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
10.九章算术中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图中的图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项，把图所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是在图所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图所表示的方程组中的值为，则被墨水所覆盖的图形是( )
A. B. C. D.
11.如图，同学们将平行于凸透镜主光轴图中虚线表示主光轴的红光和紫光射入同一个凸透镜，折射光线，交于点，与主光轴分别交于点，，由此发现凸透镜的焦点略有偏差若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
12.已知关于，的二元一次方程组是常数，若不论取什么实数，代数式是常数的值始终不变，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.若，则整数的值可以是______写出一个值即可
14.为了解届本科生的就业状况，今年月，某网站对届本科生的签约状况进行了网络调查截止月底，参与网络调查的人中，只有人已与用人单位签约在这项网络调查中，样本容量是______．
15.如图，直线，相交于点，平分，，若，则 ______度．
16.在等式中，当时，；当时，；当时，，则 ______， ______， ______．
17.已知关于的不等式组．
Ⅰ若，则该不等式组的最大整数解为______；
Ⅱ若该不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围是______．
18.如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，，，，均在格点上，，与相交于点．
Ⅰ请用无刻度的直尺，过点画一条与平行的线段点在格点上，不写画法；
Ⅱ请用无刻度的直尺，在线段上找一点，使，并简要说明点的位置是如何找到的不要求证明 ______．
三、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
解方程组．
20.本小题分
解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
Ⅰ解不等式，得______；
Ⅱ解不等式，得______；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来；
Ⅳ原不等式组的解集为______．
21.本小题分
月日，年天津市六五环境日主场宣传活动隆重举行某校为了培养学生的环保意识，组织全校名学生进行了“世界环境日知识竞赛”教务处从中随机抽取了名学生的竞赛成绩满分分，每名学生的成绩记为分分成，，，四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图根据图中信息，解答下列问题：
分组 频数
：
：
：
：
Ⅰ的值为______，的值为______，的值为______；
Ⅱ请补全频数分布直方图，写出扇形统计图中表示“”的扇形圆心角的度数为______度；
Ⅲ若规定学生竞赛成绩为优秀，请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生有多少名？
22.本小题分
Ⅰ已知：如图，点，在直线上，求证：；
Ⅱ如图，，在Ⅰ的条件下，的角平分线交于点，过点作交的延长线于点．
若，求的度数．
若，则 ______用表示．
23.本小题分
某游泳馆夏季推出两种游泳付费方式，常规方式：不购买会员证，每次游泳付费元；针对学生推出购买会员证的优惠方式：先购买会员证，每张会员证元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费在元的基础上打七折小明购买了会员证，他游泳次时，共花了元；小明的三个好朋友也购买了会员证，三个人共游泳次时，共花了元．
Ⅰ求，的值；
Ⅱ这个暑假，小明计划游泳不少于次，他选择哪种付费方式更合算？写出计算过程；
Ⅲ小强班里有一部分同学以购买会员证的方式来这家游泳馆游泳一周后，小强统计，这些同学购买会员证和凭证游泳共花了元，请你算一算：这些同学可能有多少名？
24.本小题分
已知关于，的方程组．
Ⅰ当，互为相反数时， ______；
Ⅱ已知，求的取值范围；
Ⅲ在Ⅱ的条件下，若为整数，求使，为自然数的的值．
25.本小题分
如图，点，，且满足．
Ⅰ直接写出点，点的坐标： ______， ______；
Ⅱ点以每秒个单位长度的速度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒个单位长度的速度从点向轴正半轴运动，设点，运动的时间为秒．
如图，当时，直线，交于第四象限的点，已知点的横坐标是，求点的纵坐标；
如图，当时，在线段上任取一点，连接点为的角平分线上一点，且满足请将图补全，直接写出，，之间的数量关系．
参考答案
1.
解：，的相反数是，即的相反数是，
故选：．
2.
解：，是无限不循环小数，那么它们不是有理数，则，不符合题意；
，它是有理数但不大于，则不符合题意；
，它是有理数且比大，则符合题意；
故选：．
3.
解：、为了解市民对“天津时调”的喜爱程度，调查的样本不具有代表性，本选项不符合题意；
B、为了解天津市青少年儿童的睡眠时间，应采用抽样调查的方式，本选项不符合题意；
C、为了解神舟十八号飞船的设备零件的质量情况，应采取全面调查的方式，本选项不符合题意；
D、了解海河水质，采用抽样调查的方式，本选项符合题意；
故选：．
4.
解：、，故A正确；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D错误．
故选：．
5.
解：点在轴上，
，
，
，，
点所在象限是第三象限．
故选：．
6.
解：点对应直尺的刻度为，点对应直尺的刻度为，
，
，
由平移的性质可知：，，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为矩形，
四边形的面积为：，
故选：．
7.
解：、两直线相交，如果对顶角互补，那么这两条直线互相垂直，是真命题，符合题意；
B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故选：．
8.
解：由图可知，，
A、，，
，
故本选项不符合题意；
B、，
，
故本项符合题意；
C、，，
，
故本项不符合题意；
D、，
，
，
故本项不符合题意．
故选：．
9.
解：设商家所定售价为元千克，共购进千克该种苹果，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为，
商家所定售价至少为元千克．
故选：．
10.
解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为，根据题意得，
，
把代入，得，
解得，
．
故选：．
11.
解：如图，连接，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
12.
解：关于，的二元一次方程组，
可得，
即，
故的值为，
故选：．
13.答案不唯一
解：，
整数的值可以是，
故答案为：答案不唯一．
14.
解：为了解届本科生的就业状况，今年月，某网站对届本科生的签约状况进行了网络调查．截止月底，参与网络调查的人中，只有人已与用人单位签约．在这项网络调查中，样本容量是，
故答案为：．
15.
解：平分，，
，
，
，即，
，
，，
，
，
故答案为：．
16.
解：由题意得：，
得：，
解得：，
得：，
即，
，
解得：，
把，代入得：，
解得：，
原方程组的解为：，
故答案为：；；．
17.
解：Ⅰ时，不等式组的解集为，
最大整数解为．
故答案为：．
Ⅱ该不等式组的所有整数解的和为，
这些整数为，，或，，，，，，
的取值范围是．
故答案为：．
18.取格点，连接交于点，由∽，推出：：：，由∽，推出：：：，推出：：，推出，可得结论
解：Ⅰ如图，线段即为所求；
Ⅱ如图，点即为所求．
方法：取格点，连接交于点，由∽，推出：：：，由∽，推出：：：，推出：：，推出，可得结论．
故答案为：取格点，连接交于点，由∽，推出：：：，由∽，推出：：：，推出：：，推出，可得结论．
19.解：，
由，可得，
由，可得，
，可得，
解得，
把代入，可得：，
解得，
原方程组的解是．
20.解：Ⅰ解不等式：去括号得，
移项、合并同类项得，
解得．
故答案为：．
Ⅱ解不等式：移项得，
合并同类项得，
解得．
故答案为：．
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来如图所示．
Ⅳ原不等式组的解集为．
故答案为：．
21.解：Ⅰ由题意得，，
，
．
故答案为：；；．
Ⅱ补全频数分布直方图如图所示．
扇形统计图中表示“”的扇形圆心角的度数为．
故答案为：．
Ⅲ名．
估算全校竞赛成绩达到优秀的学生约有名．
22.Ⅰ证明：，，
，
；
Ⅱ解：，
，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
；
：，
，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
故答案为：；
23.解：Ⅰ根据题意可得：，
解得：，．
Ⅱ解：设游泳次．
不购买会员卡：元．
购买会员卡：元．
当两种付费方式价格相等时：．
解得：．
答：当游泳次的时候，两种付费方式价格相等．
当购买会员卡的总价格大于不购买会员卡时的总价格时：
解得：
当购买会员卡的总价格小于不购买会员卡时的总价格时：
，
解得：．
由此可知：当次游泳次数次时，选择不办会员卡的付费方式更合算；
当游泳次数次时，选择两种付费方式都合算；
当游泳次数次时，选择办会员卡的付费方式更合算．
Ⅲ解：设这些同学有名，他们一周一共游泳了次．
；
即；
；
因为和都是正整数，所以，或，．
答：这些同学可能有或名．
24.解：Ⅰ，互为相反数，
，
，
．
故答案为：；
Ⅱ解方程组得，
，
当时，，
解得；
Ⅲ由题意得，，
使为自然数的的值为和，
使为自然数的的值为和，
使，为自然数的的值为和．
25.解：Ⅰ由题意可得，，
，，
，．
故答案为：，．
Ⅱ当时，，
，
，
如图作轴于点，
的横坐标是，
，
，
，，
≌，
，
在第四象限，
的纵坐标是．
第一种情况：当点在上方时，补全图形如下图，
，
，
过作交于点，作交于点，
设，则，
设，则，
，
，，
，
同理，，
；
第二种情况：当点在下方时，补全图形如下图，
同方法可得，，
综上，或．
第1页，共1页
