南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试
数学试卷
班级_________ 学号_________ 姓名_________ 得分_________
注意事项：
1.本试卷共4页，包括单选题（第1题第8题）、多选题（第9题第11题）、填空题（第12题第14题）、解答题（第15题第19题）四部分.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.
2.答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区域内.考试结束后，交回答题纸.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D. 1
2. 在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）．
A. ， B. ，
C ， D. ，
4. 复数满足，则其共轭复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，，，分别为角，，的对边.若，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知正四面体的棱长为1，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
7. 已知，则（ ）
A B. C. D.
8. 如图，已知三棱柱的所有棱长均为2，满足，则该三棱柱体积的最大值为（ ）
A. B. 3 C. D. 4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，为复数，则（ ）
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
10. 已知非零向量，，记，，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，且，则，的夹角为
D. 若，则
11. 如图，在矩形中，，，将三角形沿直线翻折得到三角形，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 存在某个位置，使得三棱锥的外接球半径大于
B. 存在某个位置，使得异面直线与的所成的角为
C. 点到平面的距离的最大值为
D. 直线与平面所成角的正弦值最大为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若，则实数的值为___________.
13 求值：__________.
14. 已知正四棱锥的所有棱长均为2，以点为球心，2为半径的球与该四棱锥的所有表面的交线总长为__________.
四、解答题：本大题共5小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在平面直角坐标系中，以轴为始边锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为.
（1）求；
（2）求的值.
16. 在底面为正三角形的三棱柱中，已知点，分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）若.求证：平面.
17. 在锐角中，其内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求的值；
（2）求最小值.
18. 类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数，，.
（1）当时，解关于的方程：；
（2）当时，
①若，求的最小值；
②若存在实部不为0的虚数和实数，使得成立，求的取值范围.
19. 在三棱台中，为正三角形，，且，点为的中点，平面平面.
（1）若，证明：平面平面；
（2）当时，
①设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值；
②若点在棱上，满足.问：在棱上是否存在点，使得过点，，三点的平面将三棱台分为两个多面体，且体积相等？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试
数学试卷 答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】ABC
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】0
【13题答案】
【答案】1
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本大题共5小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）略 （2）略
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）①，②
【19题答案】
【答案】（1）证明略；
（2）①；②存在，
