民办尚德实验学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），B＝（0，3），则A∩B＝ ．
2．（4分）函数f（x）＝的定义域是 ．
3．（4分）若f（x）＝x2+x，则＝ ．
4．（4分）关于x的方程|2x﹣3|+|﹣x+2|＝|x﹣1|的解集为 ．
5．（4分）设lg2＝a，lg3＝b，则log512＝ ．（用a，b表示）
6．（4分）已知，且且x1≠x2，则x1 x2＝ ．
7．（5分）设，则满足y＜0的x的取值范围为 ．
8．（5分）已知曲线上一点，则点P处的切线方程是 ．
9．（5分）已知f（x）＝x3+2023x，若实数a，b∈（0，+∞）且，则的最小值是 ．
10．（5分）采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，若要使爆破体积最大，则炸药包埋的深度为 ．
11．（5分）已知函数与g（x）＝x2﹣2ax+4（a＞0），若对任意的x1∈（0，1），存在x2∈[0，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是 ．
12．（5分）已知函数有三个不同的零点x1，x2，x3，其中x1＜x2＜x3，则的值为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）
13．（4分）设a，b∈R，则“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
14．（4分）下列求导计算正确的是（ ）
A．（xex）′＝ex
B．
C．[（2x+1）﹣1]′＝﹣（2x+1）﹣2
D．（x+cosx）′＝1+sinx
15．（5分）已知函数f（x），其导函数f′（x）的图象如图所示，则（ ）
A．f（x）有2个极值点
B．f（x）在x＝1处取得极小值
C．f（x）有极大值，没有极小值
D．f（x）在（﹣∞，1）上单调递减
16．（5分）设非空集合S＝{x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S．给出以下三个命题：①若m＝1，则S＝{1}；②若，则；③若，则．其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．
17．（15分）已知f（x）＝lnx+x2﹣3x．求：
（1）函数y＝f（x）的单调区间及极值；
（2）函数y＝f（x）在区间上的最大值与最小值．
18．（15分）已知f（x）＝ax+，a∈R．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集；
（2）若f（x）在x∈[1，2]时有零点，求a的取值范围．
19．（15分）随着环保意识的增强，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于60km/h）测试发现：①汽车每小时耗电量P（单位：KWh）与速度v（单位：km/h）的关系满足P（v）＝0.002v2﹣0.04v+5（60≤v≤120）；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大．现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路（最低限速60km/h，最高限速120km/h）驶到距离为500km的B地，出发前汽车电池存量为75KWh，汽车到达B地后至少要保留5KWh的保障电量．（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）．
（1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由；
（2）若途径服务区充电桩功率为15kw（充电量＝充电功率×时间），求到达B地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）．
20．（15分）已知函数．（b＞0且b≠1）
（1）若a＝b＝2，求函数的值域；
（2）若a＝0，是否存在正数b，使得函数是偶函数，请说明理由．
（3）若a＞0，b＝4，且函数在[﹣1，+∞）上是严格增函数，求实数a的取值范围．
21．（18分）对于在某个区间[a，+∞）上有意义的函数f（x），如果存在一次函数g（x）＝kx+b使得对于任意的x∈[a，+∞），有|f（x）﹣g（x）|≤1恒成立，则称函数g（x）是函数f（x）在区间[a，+∞）上的弱渐近函数．
（1）判断g（x）＝x是否是函数在区间[1，+∞）上的弱渐近函数，并说明理由．
（2）若函数g（x）＝3x+1是函数在区间[4，+∞）上的弱渐近函数，求实数m的取值范围；
（3）是否存在函数g（x）＝kx，使得g（x）是函数在区间[1，+∞）上的弱渐近函数？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），B＝（0，3），则A∩B＝ （0，2） ．
【解答】解：A＝（﹣1，2），B＝（0，3），
则A∩B＝（0，2）．
故答案为：（0，2）．
2．（4分）函数f（x）＝的定义域是 [﹣2，1] ．
【解答】解：要使原函数有意义，则3﹣|2x+1|≥0，即|2x+1|≤3，
∴﹣3≤2x+1≤3，解得﹣2≤x≤1．
∴函数f（x）＝的定义域是[﹣2，1]．
故答案为：[﹣2，1]．
3．（4分）若f（x）＝x2+x，则＝ 3 ．
【解答】解：f（x）＝x2+x，
则f'（x）＝2x+1，
故＝f'（1）＝2+1＝3．
故答案为：3．
4．（4分）关于x的方程|2x﹣3|+|﹣x+2|＝|x﹣1|的解集为 ．
【解答】解：易知方程中三个绝对值对应的零点分别为：1，，2，则：
①x≤1时，原方程可化为3﹣2x+2﹣x＝1﹣x，解得x＝2，不符合题意，舍去；
②时，原方程可化为3﹣2x+2﹣x＝x﹣1，解得x＝，符合题意；
③时，原方程可化为2x﹣3+2﹣x＝x﹣1，即0＝0恒成立，故符合题意；
④x＞2时，原方程可化为2x﹣3+x﹣2＝x﹣1，解得x＝2，此时不符合题意，
综上可知，原方程的解集为{x|}．
故答案为：[]．
5．（4分）设lg2＝a，lg3＝b，则log512＝ ．（用a，b表示）
【解答】解：log512＝＝．
故答案为：．
6．（4分）已知，且且x1≠x2，则x1 x2＝ 1 ．
【解答】解：依题意n2﹣4＞0，故x1，x2是x2+nx+1＝0的两根，故x1 x2＝1．
故答案为：1．
7．（5分）设，则满足y＜0的x的取值范围为 {x|x＞1} ．
【解答】解：由题意可得y＝﹣x3＜0，可得，
解得x＞1，
故答案为：{x|x＞1}．
8．（5分）已知曲线上一点，则点P处的切线方程是 ．
【解答】解：由曲线求得y′＝x2，把x＝2代入y′中求得切线的斜率k＝4，又切点为P（2，）
则切线方程为y﹣＝4（x﹣2），化简得y＝4x﹣
故答案为：y＝4x﹣
9．（5分）已知f（x）＝x3+2023x，若实数a，b∈（0，+∞）且，则的最小值是 ．
【解答】解：易知f（﹣x）＝﹣x3﹣2023x，且f（x）+f（﹣x）＝0，f（x）＝﹣f（﹣x），故f（x）是奇函数，
因为f（x）在R上单调递增，
若，
则，化简得3a+b＝1，
则，
当且仅当，即时取等，则的最小值是．
故答案为：．
10．（5分）采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，若要使爆破体积最大，则炸药包埋的深度为 ．
【解答】解：∵r2+h2＝R2，
又圆锥漏斗形状的爆破体积V＝，
∴V2＝≤＝，
当且仅当r2＝2h2，又r2+h2＝R2，即3h2＝R2，
即时，等号成立，
∴爆破体积最大时，炸药包埋的深度为．
故答案为：．
11．（5分）已知函数与g（x）＝x2﹣2ax+4（a＞0），若对任意的x1∈（0，1），存在x2∈[0，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是 [，+∞） ．
【解答】解：因为当x∈（0，1）时，∈（，1）．
令A＝（，1），B为y＝g（x）在[0，2]上的值域，
由题意可得A B，
因为g（x）＝x2﹣2ax+4（a＞0），
开口向上，对称轴为x＝a＞0，
当0＜a＜2时，g（x）min＝g（a）＝4﹣a2，
由4﹣a2≤，解得：≤a＜2，
此时g（x）max＝g（0）＝4＞1；
当a≥2时，函数y＝g（x）在[0，2]上单调递减，
所以g（x）max＝g（0）＝4＞1，
g（x）min＝g（2）＝8﹣4a，
由8﹣4a≤，解得a≥，
所以a≥2；
综上，a的取值范围为：[，+∞）．
故答案为：[，+∞）．
12．（5分）已知函数有三个不同的零点x1，x2，x3，其中x1＜x2＜x3，则的值为 1 ．
【解答】解：函数，
设f（x）＝0，t＝，
可得3t2+（a2﹣1）t+1﹣a2＝0，
又t′＝，可得x＜1时，t′＞0，函数t递增，x＞1时，t′＜0，函数t递减，
即有x＝1时，函数t取得最大值，且为，
且x＞0时，t＞0，x＜0时，t＜0，
则方程3t2+（a2﹣1）t+1﹣a2＝0有两个不等的实根，一个正的，一个负的，
可得t1+t2＝，t1t2＝，t1＜0，t2＞0，
t1＝，t2＝＝，
则＝（1﹣t1）2（1﹣t2）2＝[1+t1t2﹣（t1+t2）]2＝（1+﹣）2＝1．
故答案为：1．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）
13．（4分）设a，b∈R，则“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵a＞1且b＞1，
∴ab＞1，
若已知ab＞1，可取a＝，b＝8，也满足已知，但不满足a＞1且b＞1．
∴“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分不必要条件，
故选：A．
14．（4分）下列求导计算正确的是（ ）
A．（xex）′＝ex
B．
C．[（2x+1）﹣1]′＝﹣（2x+1）﹣2
D．（x+cosx）′＝1+sinx
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，（xex）′＝（x）′ex+x（ex）′＝ex+xex，A错误；
对于B，（）′＝＝，B正确；
对于C，[（2x+1）﹣1]′＝（）′＝＝﹣2（2x+1）﹣2，C错误；
对于D，（x+cosx）′＝1﹣sinx，D错误．
故选：B．
15．（5分）已知函数f（x），其导函数f′（x）的图象如图所示，则（ ）
A．f（x）有2个极值点
B．f（x）在x＝1处取得极小值
C．f（x）有极大值，没有极小值
D．f（x）在（﹣∞，1）上单调递减
【解答】解：由题意及图得，
f（x）在（﹣∞，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减，
∴f（x）有一个极大值，没有极小值，
∴A，B，D错误，C正确，
故选：C．
16．（5分）设非空集合S＝{x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S．给出以下三个命题：①若m＝1，则S＝{1}；②若，则；③若，则．其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【解答】解：非空集合S＝{x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S．
对于①若m＝1，可得x＝1，则S＝{1}；12∈S，∴①对；
对于②若，满足x∈S时，有x2∈S，则．，∴②对；
对于③若，x2∈，可得≤x≤，要使x∈S，则．∴③对．
故选：C．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．
17．（15分）已知f（x）＝lnx+x2﹣3x．求：
（1）函数y＝f（x）的单调区间及极值；
（2）函数y＝f（x）在区间上的最大值与最小值．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，
令f′（x）＞0，得或x＞1，令f′（x）＜0，得，
∴函数f（x）的单调增区间为和（1，+∞），函数f（x）的单调减区间为，
当时，函数取得极大值，当x＝1时，函数取到极小值，
∴函数f（x）极大值为＝，极小值为f（1）＝﹣2．
（2）由（1）可知f（x）在[，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在（1，4]上单调递增，
＝，f（1）＝﹣2．
又f（）＝﹣2ln2﹣≈﹣2×0.693﹣＝﹣2.0735＜﹣2，f（4）＝2ln2+4，
∴函数y＝f（x）在区间上的最大值为2ln2+4，最小值为﹣2ln2﹣．
18．（15分）已知f（x）＝ax+，a∈R．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集；
（2）若f（x）在x∈[1，2]时有零点，求a的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）＝ax+（a∈R）．
当a＝1时，f（x）＝x+．
所以：f（x）+1＜f（x+1）转换为：x++1，
即：，
解得：﹣2＜x＜﹣1．
故：{x|﹣2＜x＜﹣1}．
（2）函数f（x）＝ax+在x∈[1，2]时，f（x）有零点，
即函数在该区间上有解，
即：，
即求函数g（x）在x∈[1，2]上的值域，
由于：x（x+1）在x∈[1，2]上单调递减，
故：x（x+1）∈[2，6]，
所以：，
故：
19．（15分）随着环保意识的增强，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于60km/h）测试发现：①汽车每小时耗电量P（单位：KWh）与速度v（单位：km/h）的关系满足P（v）＝0.002v2﹣0.04v+5（60≤v≤120）；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大．现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路（最低限速60km/h，最高限速120km/h）驶到距离为500km的B地，出发前汽车电池存量为75KWh，汽车到达B地后至少要保留5KWh的保障电量．（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）．
（1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由；
（2）若途径服务区充电桩功率为15kw（充电量＝充电功率×时间），求到达B地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）．
【解答】解：（1）设匀速行驶速度为v，耗电量为f（v），
则，
由对勾函数性质可知函数f（v）在区间[60，120]单调递增，
∴，即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，
所以该车不能在不充电的情况下到达B地；
（2）设匀速行驶速度为v，总时间为t，行驶时间与充电时间分别为t1，t2，
若能到达B地，则初始电量+充电电量﹣消耗电量≥保障电量，
即75+15t2﹣f（v）≥5，
解得，
∴，
当且仅当，即v＝100时取到等号，
所以该汽车到达B地的最少用时为h．
20．（15分）已知函数．（b＞0且b≠1）
（1）若a＝b＝2，求函数的值域；
（2）若a＝0，是否存在正数b，使得函数是偶函数，请说明理由．
（3）若a＞0，b＝4，且函数在[﹣1，+∞）上是严格增函数，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）若a＝b＝2可得函数，由指数函数值域易知2x+2∈（2，+∞），所以，因此可得，即该函数的值域为．
（2）若a＝0，则函数，显然定义域为R，
假设存在正数b，使得函数是偶函数，即满足，
又易知，即可得，即bx＝4x，
解得b＝4，
此时为偶函数，符合题意，
所以存在正数b＝4，使得函数是偶函数．
（3）若a＞0，b＝4，则，
取 x1，x2∈[﹣1，+∞），且x1＜x2
则，
若函数在[﹣1，+∞）上是严格增函数，则可知y1﹣y2＜0，
由于a＞0，所以，
又易知，所以在[﹣1，+∞）上恒成立即可，
即，因此求得即可，
因此可不予考虑，只需考虑时成立即可；
当，易知，显然为减函数，所以；当且仅当x1＝x2＝﹣1时，等号才成立，显然取不到等号，
因此．
即实数a的取值范围为．
21．（18分）对于在某个区间[a，+∞）上有意义的函数f（x），如果存在一次函数g（x）＝kx+b使得对于任意的x∈[a，+∞），有|f（x）﹣g（x）|≤1恒成立，则称函数g（x）是函数f（x）在区间[a，+∞）上的弱渐近函数．
（1）判断g（x）＝x是否是函数在区间[1，+∞）上的弱渐近函数，并说明理由．
（2）若函数g（x）＝3x+1是函数在区间[4，+∞）上的弱渐近函数，求实数m的取值范围；
（3）是否存在函数g（x）＝kx，使得g（x）是函数在区间[1，+∞）上的弱渐近函数？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵g（x）＝x，，x≥1，
∴|f（x）﹣g（x）|＝|﹣x|＝||＝，
又x≥1，∴，∴，
∴，
∴|f（x）﹣g（x）|≤1恒成立，
∴g（x）＝x是函数在区间[1，+∞）上的弱渐近函数；
（2）∵函数g（x）＝3x+1是函数在区间[4，+∞）上的弱渐近函数，
∴ x∈[4，+∞），|3x+﹣（3x+1）|≤1，
∴ x∈[4，+∞），||≤1，
∴ x∈[4，+∞），﹣1≤≤1，
∴ x∈[4，+∞），0≤≤2，
∴ x∈[4，+∞），0≤m≤2x，
∴0≤m≤（2x）min，x∈[4，+∞），
∴0≤m≤8，
∴实数m的取值范围为[0，8]；
（3）若存在实数k，满足条件，则根据题意可得：
x∈[1，+∞），|﹣kx|≤1，
∴ x∈[1，+∞），﹣1≤﹣kx≤1，
∴ x∈[1，+∞），﹣1﹣≤﹣kx≤1﹣，
∴ x∈[1，+∞），﹣1≤kx≤1+，
∴ x∈[1，+∞），，
令，由x∈[1，+∞），可得t∈（0，1]，
∴ t∈（0，1]，t﹣t2≤k≤t2+t，
∴，t∈（0，1]，
又h（t）＝，
而m（t）＝t2+t在t∈（0，1]上单调递增，
∴m（t）＝t2+t＞m（0）＝0，
∴k≥且k≤0，∴k无解，
∴不存在实数k满足题意．
