扬中市第二高级中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
姓名
一 单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2．在二项式的展开式中，记各项的系数和为，则被5除所得的余数是 （ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3．已知，，，下列选项正确的是 （ ）
A. B. C. D.
4．某种细胞的存活率y（%）与存放温度x（℃）之间具有线性相关关系，其样本数据如下表所示：
存放温度x/℃ 20 15 10 5 0 5 10
存活率y/% 6 14 26 33 43 60 63
计算得，，，，并求得经验回归方程为，但实验人员发现表中数据的对应值60录入有误，更正为.则更正后的经验回归方程为 （ ）
A. B. C. D.
5．在四棱柱中，，，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
6．若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 （ ）
A. -1 B. 1 C. 0 D. e
7．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立. 在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为 （ ）
A. B. C. D.
8．某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“模糊数学”“复变函数”“微分几何”“数值分析”“拓扑学”五门选修课程，要求学院每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有 （ ）
A. 150种 B. 210种 C. 300种 D. 540种
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的有 （ ）
A. 若随机变量，，则
B. 若随机变量，则方差
C. 从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
D. 已如随机变量的分布列为，则
10．已知正方体的棱长为1，点，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面 B. 与平面所成角的余弦值为
C. 二面角的正弦值为 D. 点到平面的距离为
11．已知函数，，则 （ ）
A. 当时，函数的极小值点为1 B. 当时，函数的递减区间为
C. 若在区间上单调递增，则
D. 若方程有三个实数解，则
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12．一个盒子里有2个红1个绿2个黄球，从盒子中随机取球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设取球停止时拿出黄球的个数为随机变量，则____，________.
13．已知可导函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集是____________.
14．已知三棱锥的顶点处有一质点M，点M每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每一个顶点移动的概率都相同，从一个顶点沿一条棱移动到另一个顶点称为移动一次.若质点M的初始位置在点A处，则点M移动2次后仍然在底面ABC上的概率为_____ _____，点M移动n次后仍然在底面ABC上的概率为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知在（﹣）n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．
（1）求展开式中的所有有理项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项．
（3）求n+++…+9n﹣1的值．
16．某学校有两个餐厅，经统计发现，学生在第一天就餐时会随机地选择一个餐厅用餐，此后，如果某同学某天去餐厅，那么该同学下一天还去餐厅的概率为，如果某同学某天去餐厅，那么该同学下一天去餐厅的概率为
（1）记甲、乙、丙3位同学第二天选择餐厅的人数为，求随机变量的分布列和期望；
（2）甲同学第几天去餐厅就餐的可能性最大？并说明理由.
17．已知函数，.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
18．新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展，某企业为了提高新能源汽车品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程，现从该企业生产的该零件中随机抽取100件，测得该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）的样本数据统计如下表.
（1）求样本平均数的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）X近似服从正态分布，其中的近似值为36，用样本平均数作为的近似值，求概率的值；
（2）若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的生产效率的两倍. 若第1条生产线出现废品的概率约为0.015，第2条生产线出现废品的概率约为0.018，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立.现从该企业生产的该零件中随机抽取一件.（i）求该零件为废品的概率； （ii）若在抽取中发现废品，求该废品来自第1条生产线的概率.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，
19．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且.
（1）证明：；
（2）当取何值时，直线与平面所成角最小
（3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.扬中市第二高级中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
姓名
一 单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（ A ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2．在二项式的展开式中，记各项的系数和为，则被5除所得的余数是 （ D ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【详解】令,故系数项的和为,
故
故被5除所得的余数为1. 故选:
3．已知，，，下列选项正确的是 （ B ）
A. B. C. D.
【详解】因为，即，又，，
所以，故A错误；又，故B正确；，故D错误；，故C错误.故选：B
4．某种细胞的存活率y（%）与存放温度x（℃）之间具有线性相关关系，其样本数据如下表所示：
存放温度x/℃ 20 15 10 5 0 5 10
存活率y/% 6 14 26 33 43 60 63
计算得，，，，并求得经验回归方程为，但实验人员发现表中数据的对应值60录入有误，更正为.则更正后的经验回归方程为 （ A ）
A. B. C. D.
【详解】依题意，设更正后的经验回归方程为，更正后，，
，， ，
，所以更正后的经验回归方程为.故选：A
5．在四棱柱中，，，则 （ D ）
A.
B.
C.
D.
【详解】因为，所以，
所以，所以A错误
因为，所以，
所以,故选：D
6．若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 （ C ）
A. -1 B. 1 C. 0 D. e
【详解】的导数为，可得曲线在点处的切线方程为，
的导数为，可得曲线在点处的切线的方程为，
由两条切线重合的条件，可得，且，则，即有，可得，则.故选：C.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于切线方程的分别求解，然后通过切线重合去分析变量之间的关系，其中涉及的指对互化对于计算有一定要求.
7．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立. 在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为 （ A ）
A. B. C. D.
【详解】比三场，甲赢的概率为；比四场，甲第四场赢，甲赢的概率为；
比五场，甲第五场赢，甲赢的概率为；所以甲赢的概率为，
所以甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为，故选：A.
【点睛】方法点睛：条件概率的公式内容为.
8．某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“模糊数学”“复变函数”“微分几何”“数值分析”“拓扑学”五门选修课程，要求学院每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有 （ B ）
A. 150种 B. 210种 C. 300种 D. 540种
【详解】由题意可知三年修完五门课程，且每年至多选三门，则每位同学每年所修课程数可以分为0，2，3或1，1，3或1，2，2．若按1，2，2选修五门课程，则先将五门选修课分成三组，有种不同方式，再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式；若按0，2，3选修四门课程，则先将五门选修课分成三组，有种不同方式，
再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式；若按1，1，3选修四门课程，则先将五门选修课分成三组，有种不同方式，再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式．
所以每位同学的不同选修方式有种．故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的有 （ AD ）
A. 若随机变量，，则
B. 若随机变量，则方差
C. 从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
D. 已如随机变量的分布列为，则
【详解】A．，A正确；
B．，，B错误；
C．至少有一名女生的概率为，C错；
D．，，，D正确．故选：AD．
10．已知正方体的棱长为1，点，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ABD ）
A. 平面 B. 与平面所成角的余弦值为
C. 二面角的正弦值为 D. 点到平面的距离为
【详解】对于AB，以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图：
正方体的边长为1，，，，，，，
，所以，，
因为，所以，即，
因为，所以，即，
又，平面，所以平面，故A正确；
设平面的一个法向量为，，
则，即，不妨令，得，故，
又因为，设直线与平面所成角为，则，所以与平面所成角的余弦值为，故B正确；对于C，如图：
连接交于，连接，
因为，O为BD的中点，
所以，，平面，平面，
所以是二面角的平面角，又，
故，
所以二面角的正弦值为，故C错误；对于D，如图：设点到平面的距离为，因为，
所以，，
因为，所以，
所以，即点到平面的距离为，D正确.
故选：ABD
11．已知函数，，则 （ AB ）
A. 当时，函数的极小值点为1 B. 当时，函数的递减区间为
C. 若在区间上单调递增，则
D. 若方程有三个实数解，则
【详解】对于ABD，当时，，则，令，则或，令，则，所以函数的单调增区间为，减区间为，
所以函数的极小值点为1，故AB正确；方程有三个实数解，即函数的图象有三个交点，又，
当时，且，当时，，
如图，作出函数的大致图象，
由图可知，，故D错误；
对于C，，
若区间上单调递增，
则在区间上恒成立，
即，即，即在区间上恒成立，
又因为，所以，所以，故C错误.故选：AB.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12．一个盒子里有2个红1个绿2个黄球，从盒子中随机取球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设取球停止时拿出黄球的个数为随机变量，则____，________.
【详解】根据题意可知，可取，；
（此时取球情况是：第一次取红球；第一次取绿球，第二次取红球）
；
（此时取球情况是：第一次取黄球，第二次取红球；
第一次取绿球，第二次取黄球，第三次取红球；
第一次取黄球，第二次取绿球，第三次取红球）
.故.故答案为：；.
【点睛】本题考查随机变量分布列的求解，以及随机变量数学期望的求解，属综合基础题.
13．已知可导函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集是____________.
【详解】设，则 ，因为，，所以，可得在上单调递增，不等式，即，即，所以，因为在上单调递增，所以，解得：，所以不等式的解集为：，故答案为：．
14．已知三棱锥的顶点处有一质点M，点M每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每一个顶点移动的概率都相同，从一个顶点沿一条棱移动到另一个顶点称为移动一次.若质点M的初始位置在点A处，则点M移动2次后仍然在底面ABC上的概率为_____ _____，点M移动n次后仍然在底面ABC上的概率为__________.
【详解】（1）由已知可得，质点M移动1次后，在底面ABC上的概率为；
（2）①若质点移动1次后，在点或点，则第2次移动后仍然在底面ABC上的概率为；
②若质点移动1次后，在点，则第2次移动后仍然在底面ABC上的概率为.
所以，点M移动2次后仍然在底面ABC上的概率为.
（3）设点M移动n次后仍然在底面ABC上的概率为，.
①若质点移动次后仍然在底面ABC上，则第n次移动后仍然在底面ABC上的概率为；
②若质点移动次后在点，则第n次移动后仍然在底面ABC上的概率为.
所以，，所以有.又，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以有，，所以，.故答案为：；.
【点睛】思路点睛：每次移动后均有可能落在平面上或点上，设点M移动n次后仍然在底面ABC上的概率为.讨论根据第次的情况，进而得出的关系.变形构造得出等比数列，根据等比数列的通项公式，即可得出答案.
四 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知在（﹣）n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．
（1）求展开式中的所有有理项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项．
（3）求n+++…+9n﹣1的值．
15．解：（1）由第5项的系数与第3项的系数之比是：＝56：3，
解得n＝10．因为通项：Tr+1＝ （﹣2）r ，
当5﹣为整数，r可取0，6，
于是有理项为T1＝x5和T7＝13440．
（2）设第r+1项系数绝对值最大，则．
解得 ，于是r只能为7．所以系数绝对值最大的项为T8＝﹣15360．
（3）n+++…+9n﹣1＝10+9+92 +…+910﹣1
＝＝＝．
16．某学校有两个餐厅，经统计发现，学生在第一天就餐时会随机地选择一个餐厅用餐，此后，如果某同学某天去餐厅，那么该同学下一天还去餐厅的概率为，如果某同学某天去餐厅，那么该同学下一天去餐厅的概率为
（1）记甲、乙、丙3位同学第二天选择餐厅的人数为，求随机变量的分布列和期望；
（2）甲同学第几天去餐厅就餐的可能性最大？并说明理由.
16．解：（1）设一位同学第2天选择去餐厅就餐的概率为，
17．已知函数，.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
17．解：（1）定义域为，
即
解得
所以在单调递增
（2）对任意，不等式恒成立，即恒成立，
分离参数得.
令，则.
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以，
即，
故的取值范围是.
18．新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展，某企业为了提高新能源汽车品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程，现从该企业生产的该零件中随机抽取100件，测得该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）的样本数据统计如下表.
（1）求样本平均数的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）X近似服从正态分布，其中的近似值为36，用样本平均数作为的近似值，求概率的值；
（2）若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的生产效率的两倍. 若第1条生产线出现废品的概率约为0.015，第2条生产线出现废品的概率约为0.018，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立.现从该企业生产的该零件中随机抽取一件.（i）求该零件为废品的概率； （ii）若在抽取中发现废品，求该废品来自第1条生产线的概率.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，
18．解：（1）
由得：
（2）（i）设“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，
“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，
“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，
则由题意可知，
又，
于是
.
（ii）.
19．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且.
（1）证明：；
（2）当取何值时，直线与平面所成角最小
（3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.
19．解：（1）因为，，则，即，
如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，
则，
可得，，
即，，
又因为，可得，
所以无论取何值，.
（2）由（1）可知：，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，可得，
可得，
令，则，
所以当，即时，取得最小值，此时.
（3）假设存在，易知平面的一个法向量为
因为，，
设是平面的一个法向量，则，
令，可得，可得，
则，
化简得，解得或，
因为，可得，
所以存在点使平面与平面所成二面角正弦值为，点为上靠近四等分点.
