南京市鼓楼区2023-2024学年高二下学期期末考试
数学
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知随机变量，且，那么的值为（ ）
A. 0.2 B. 0.32 C. 0.4 D. 0.8
3. 一批零件共有10个，其中有3个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（ ）
A B. C. D.
4. 关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
5. 在的展开式中，含的系数为（ ）
A. 1 B. C. 6 D.
6. “”是“函数在上单调递减”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 从0，1，2，，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中大于130的共有（ ）
A. 520个 B. 631个 C. 632个 D. 647个
8. 三棱锥满足，二面角的大小为，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9. 若，，且，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，A，B为平面外的点，点A，B在平面上的射影分别为点，，点B不在直线上，为平面内的向量，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. 若存在实数，使，则与共线
D. 若M是直线AB上不同于A，B的点，则存在有序实数组，使得
11. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个十位二进制数（例如1010101010），已知出现“0”的概率为，出现“1”的概率为，记，则当程序运行一次时（ ）
A X服从二项分布 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. “，”为真命题，请写出一个满足条件的实数a的值________．
13. 在正方体中，F是BC的中点，点E在棱上，且，则直线与平面所成角的正弦值为________．
14. 初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是________．（用数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1～6月份每月5日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日期 1月5日 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 6月5日
昼夜温差 10 11 13 12 8 6
就诊人数y 23 25 29 26 16 13
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2～5月份的数据（其中，，），求出y关于x的线性回归方程；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，问：该小组所得线性回归方程是否理想？
附：，．
16. 已知函数，．
（1）求的最小值m；
（2）若，，且（m的值同（1）中的m值），求证：．
17. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，是等腰直角三角形，且，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求点C到平面的距离．
18. 某高校有A，B两个餐厅为学生们提供午餐与晚餐服务，张同学、李同学两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
张同学 6天 9天 13天 2天
李同学 6天 6天 6天 12天
假设张同学，李同学选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
（1）计算某天张同学午餐去A餐厅用餐的情况下晚餐去B餐厅用餐的概率；
（2）记X为张同学和李同学两人在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；
（3）假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，已知，且推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率大，求证：．
19. 在展开式中，把，，，，叫做三项式系数．
（1）当时，写出三项式系数，，的值；
（2）类比二项式系数性质，探究，，，的等量关系，并给出证明；
（3）求的值．
南京市鼓楼区2023-2024学年高二下学期期末考试
数学 答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】ABC
【10题答案】
【答案】ABD
【11题答案】
【答案】AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】5（答案不唯一）
【13题答案】
【答案】##
【14题答案】
【答案】36
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）
（2）得到的线性回归方程是理想的
【16题答案】
【答案】（1）
（2）证明略
【17题答案】
【答案】（1）答案略
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）分布列略，
（3）证明略
【19题答案】
【答案】（1）
（2），证明略
（3）
