上海市洋泾中学2023-2024学年高二下学期期末考试
数学试卷
本卷卷面总分150分，考试时间为120分钟.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 已知集合，若，则实数=____
2. 不等式的解集为____．
3. 双曲线的渐近线是_____________.
4. 已知随机变量服从正态分布，若，则_____________.
5. 在的展开式中，常数项为________.(用数字作答)
6. 已知函数，则在点处的切线的倾斜角为___________.
7. 关于的方程的解集为_____________.
8. 将函数的图象绕着轴旋转一周所得的几何容器的容积是_____________.
9. 已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______.
10. 如图，6只小狗恰好在正六边形广场的顶点上玩耍，从中随机选取三只（视作点）连结成线，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是_____________.
11. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围为__________.
12. 已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 若实数，则命题甲“”是命题乙“”的
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
14. 假设是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（ ）．
A. B.
C D.
15. 为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：
x 1 2 3 4 5
y 0.5 0.9 1 1.1 1.5
若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（ ）
A.
B. 当时，y的预测值为2.2
C. 样本数据y的第40百分位数为1
D. 去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变
16. 设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT
②对于任意x，yT，若x
A. 若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B. 若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C. 若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D. 若S有3个元素，则S∪T有4个元素
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.
（1）证明：；
（2）当为线段的中点时，求点到面的距离.
18. 已知椭圆的离心率是，点是椭圆的上顶点，点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点.
（1）求椭圆方程；
（2）设圆，若直线与圆相切，求点坐标；
19. 某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于12的正整数）.已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利3万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率＝次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）.
（1）试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
20. 随着人们收入水平的提高，特色化 差异化农产品的消费需求快速增长，精品农产品获得广大消费者的认可.某精品水果种植大户在水果采摘后，一般先分拣出单个重量不达标的水果，再按重量进行分类装箱.现从同批采摘 分拣后堆积的水果堆中随机抽取了30个水果进行称重（为方便称重，按5克为一级进行分级），统计对应的水果重量，得柱状图如下.
（1）估计该批采摘的水果的单个水果的平均重量（精确到整数位）；
（2）在样本内，从重量不低于80克的水果中，随机选取2个，记其中选取到水果重量不低于90克的个数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率.从采摘的水果堆中随机选取n个水果，若要求其中至少有一个水果的重量不低于80克的概率不低于，求n的最小值.
21. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求的值；
（3）记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值.
上海市洋泾中学2023-2024学年高二下学期期末考试
数学试卷 答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
【1题答案】
【答案】3
【2题答案】
【答案】
【3题答案】
【答案】
【4题答案】
【答案】##
【5题答案】
【答案】
【6题答案】
【答案】
【7题答案】
【答案】
【8题答案】
【答案】##
【9题答案】
【答案】
【10题答案】
【答案】##
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
【13题答案】
【答案】B
【14题答案】
【答案】A
【15题答案】
【答案】D
【16题答案】
【答案】A
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
【17题答案】
【答案】（1）证明略
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）或
【19题答案】
【答案】（1）
（2）答案略
【20题答案】
【答案】（1）75克 （2）分布列略，
（3）5
【21题答案】
【答案】（1）
（2）或
（3）
