深圳技术大学附属中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．若关于的不等式的解集是R，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若函数（且）的图象过第一、三、四象限，则参数需满足（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．如果是第一象限的角，则是第四象限的角
B．角与角终边重合
C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
D．若是第二象限角，则点在第四象限
11．若，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为R B．函数的值域为
C．函数的图象关于轴对称 D．函数在R上为减函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，则___________．
14．已知，则___________（结果用表示）．
15．已知函数若函数仅有一个零点，则实数的值是___________．
16．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
18．（12分）已知幂函数在上单调递增．
（1）求的解析式；
（2）若函数在上有零点，求的取值范围．
19．（12分）已知，且．
（1）求的最大值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
20．（12分）已知函数是定义域上的奇函数，且．
（1）判断并证明函数在上的单调性；
（2）令函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围．
21．（12分）已知指数函数（且）的图象过点．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的值域．
22．（12分）已知是定义在上的奇函数，且当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围．
数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A B D D B A A BD ABD BC AB
13． 14． 15．0 16．
2．A【详解】当且时，则成立，当时，且，或且，所以“且”是“”的充分不必要条件．
3．B【详解】由题意，，
所以的大小关系为．
4．D【详解】的定义域是，关于原点对称，，所以是偶函数，排除B，C；
当时，，易知在上是增函数，排除A．
5．D【详解】因为，所以
7．A【详解】对任意，都有成立，
函数在R上单调递减，
，解得，故的取值范围是．
8．A【详解】令，因为的定义域为R关于原点对称，且，所以是R上的奇函数，注意到幂函数都是R上的增函数，所以是R上的增函数，而，所以，解得，综上所述，的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，利用函数单调性与奇偶性解不等式．
11．BC【详解】对于A，取，但，故A错误；
对于B，若对不等式两边同时平方则，故B正确；对于C，若，则，所以，故C正确；对于D，若，取，则，故D错误．
12．AB【详解】A：因为，所以函数的定义域为R，故A正确；B：，由，所以函数的值域为，故B正确；
C：因为，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，不关于轴对称，故C错误；
D：因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数，因此函数是增函数，故D错误．
14．【详解】
15．0【详解】由函数解析式，在上递减，上递增，且在处连续，所以大致图象如下，由函数仅有一个零点，即与仅有一个交点，由图知：．
16．【详解】令，即对称轴为，且开口朝上，
在区间上单调递减，那么在区间上也是单调递减，
且，故
即，所以实数的取值范围是．
17．【答案】（1）；（2）．
【小问1详解】
由不等式，得，解得，即，
当时，解不等式，得或，
即，
所以．
【小问2详解】
依题意，，由（1）知，
由“”是“”的充分条件，得，
因此，解得，
所以实数的取值范围．
18．（1） （2）
【详解】（1）为幂函数，且在上单调递增，，
解得：．
（2）由（1）得：在上连续且单调递增，
，解得：，
即的取值范围为．
19．（1）；（2）．
【详解】（1）由题设，而，即，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为．
（2）由，
当且仅当时等号成立，故最小值为8，
又恒成立，即，
所以．
20．（1）函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析
（2）
【详解】（1），且是奇函数，，
，解得，
检验：由解析式可知，函数的定义域为，关于原点对称，
且，
所以是奇函数，满足要求；
函数在上单调递减，在上单调递增，
证明如下：任取，且，
则，
，且，
，即，
函数在上单调递减．
同理可证明函数在上单调递增．
（2）函数在上有两个零点，
即方程在上有两个不相等的实数根，
所以在上有两个不相等的实数根，
则，解得，即实数的取值范围为．
21．（1）（2）
【详解】（1）因为函数（且）的图象过点，
则，解得，因此，．
（2），令，
因为，则，
令，
当时，函数单调递减，此时，，
当时，函数单调递增，此时，，
故当时，，
又因为，故，
所以，函数在上的值域为．
22．（1）；（2）．
【详解】解：（1）依题可知，解得，
所以当时，，设，则，
所以，
又是奇函数，，
即，所以当时，，
综上所述，．
（2）当时，，所以在上单调递减，
又是上的奇函数，在上单调递减，
从而在上单调递减，
由，
可得，
又在上单调递减，，
即对任意的恒成立，
记，对称轴为，依题意有，
①当，即时，在上单调递增，
，解得，与矛盾，此时无解；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，
又因为，所以此时；
③当，即时，在上单调递减，
，解得，又因为，所以此时
综上所述，实数的取值范围为．
