高二上学期人教B版(2019)开学摸底考试数学试卷 B卷
【满分：150】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1.已知,则的虚部为( )
A.2i B. C. D.2
2.已知,,则( )
A. B. C. D.
3.已知l,m是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若,,,则
B.若,,则
C.若,,,则
D.若,且l与所成的角和m与所成的角相等,则
4.已知复数，当时，不等式恒成立，则实数t的最大值是( )
A. B. C. D.
5.在中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，且，则的最大值是( )
A. B. C. D.
6.在中,,,,D为BC的中点,点P在斜边BC的中线AD上,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.对于函数,有下列结论：①最小正周期为;②最大值为2;③减区间为;④对称中心为．则上述结论正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑中,平面,,,E是的中点,H是内的动点（含边界）,且平面,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得补部分分，有选错的得0分.
9.复数z满足,则下列说法正确的有( )
A.z的虚部为
B.
C.在复平面上z对应的点在第四象限
D.
10.已知函数的图象关于直线对称,则( )
A.由可得是的整数倍
B.函数为偶函数
C.函数在上为减函数
D.函数在区间上有19个零点
11.如图,正方体的棱长为1,点P在截面内,且,则( )
A.三棱锥的体积为 B.线段PA的长为
C.点P的轨迹长为 D.的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若焦点在x轴上的椭圆的焦距为，则实数m的值为________.
13.已知非零向量，，若，则实数__________.
14.在圆台中,圆的半径是2,母线,圆是的外接圆,,,则三棱锥体积最大值为___________．
四、解答题：本题共5分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知直线过点且与直线垂直.
（1）求直线的方程;
（2）若直线l经过,且过直线与的交点,求直线l的方程.
16.（15分）回答下列问题.
(1)已知,,求的值;
(2)已知,求的值.
17.（15分）已知向量，，且.
（1）求x的值及，的夹角；
（2）若，求k的值.
18.（17分）已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边，且.
（1）求角B的大小；
（2）若，，求的面积.
19.（17分）已知函数的最大值为.
（1）求实数a的值;
（2）若向量,满足,,,设,的夹角为,求的取值范围.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由,
则,的虚部为2.
故选:D.
2.答案：A
解析：因为,,
所以可化为,
因为,所以,所以,
结合,得,,所以,
故选：A.
3.答案：C
解析：若,,,则l与m有可能平行,故A错误;
若,,则m可能在内,故B错误;
若,,则,又,则,故C正确;
若,且与所成的角和m与所成的角相等,则l与m有可能相交,故D错误.
故选:C.
4.答案：B
解析：因为，又，所以，
由时，不等式恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
令，因为时，单调递增，所以，
所以实数t的取值范围是.故选B.
5.答案：D
解析：因为，
由正弦定理得，
所以，
所以，
由余弦定理得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以当时，取得最大值，
此时,，
所以的最大值是.
故选：D.
6.答案：A
解析：以A为坐标原点,,为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,
所以,,因为D为BC的中点,所以,
,设,所以,
所以,可得,,
所以,
因为,所以.
故选：A.
7.答案：B
解析：
.
,①正确;
,时,②错误;
令,
解得,,因此减区间为,③正确;
令,,解得,,此时,故对称中心为,故④错误.
所以,上述结论正确的个数是2个.
故选：B.
8.答案：B
解析：设F,G分别为,的中点,连接,,,如图,
易得,,,
因为平面,平面,所以平面,同理平面,
又因为,平面,,所以平面平面.
因为平面,所以H为线段上的点.
由平面,平面,得,
又,则,由,,平面,得平面,
因为,所以平面,,.
因为,所以,,.
所以
.因为,所以.
9.答案：BC
解析：由,得,
对于A,z的虚部为,所以A错误,
对于B,,所以B正确,
对于C,在复平面上z对应的点在第四象限,所以C正确,
对于D,,所以D错误.
故选:BC
10.答案：BC
解析：由已知,,,又,所以,
.A.当,时,,但不是的整数倍,A错;
B.是偶函数,B正确;
C.时,,由正弦函数性质知它是减函数,C正确;
D.,在上,,或时,,因此有两个零点,而含有10个周期,因此有20个零点,D错误.
故选：BC.
11.答案：ACD
解析：在正方体中,平面,平面平面,
且两平面间的距离为,又的面积三棱锥的体积
A正确;
设的中心为,则,,
,,B错误;
如图,由知,,点P的轨迹
是以为圆心,为半径的圆的一部分,由三段,,
劣弧构成,其长度为圆周长的一半C正确;
,为在方向上的投影,由图可知,当P位于点或的位置时,最小,此时取得最大值,如图所示,建立空间直角坐标系,
则,,,
,D正确.
故选ACD.
12.答案：5
解析：由于椭圆焦距为，所以.由于椭圆的焦点在x轴上，所以，所以，解得.故答案为5.
13.答案：1
解析：由已知，，
则，
又，
所以，
又，即
所以，
故答案为：1.
14.答案：
解析：如图,设圆,半径分别为,,则,
由正弦定理,,解得,
设圆台的高为h,则,
在中,取,,由余弦定理,,
即得,即得,当且仅当时取等号.
因三棱锥的体积为,
即时,三棱锥的体积的最大值为.
故答案为：
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知可设直线的方程为.
又直线过点,所以有,解得,
所以,直线的方程为.
（2）联立直线与的方程,可得,
所以,直线与的交点.又直线l经过,
代入直线的两点式方程可得,,整理可得.
16.答案：(1)
(2)
解析：(2)因为且,所以,则,
又由.
(2)由,
可得,
又由.
17.答案：（1）；；
（2）
解析：（1）因为，，
所以，
又，则，
所以，解得，
则，，故，，，
所以，
又，所以.
（2）因为，，
所以，
，
又，
所以，解得.
经检验，满足题意，故.
18.答案：（1）；
（2）.
解析：（1）在中，，
由正弦定理得，.
又，，
，，，
，.
（2）在中，，，，
由正弦定理得，，
由余弦定理得，解得（负值舍去），
的面积为.
19.答案：（1）
（2）
解析：（1）
,
令,则,
当,即时,
,无解,
当,即时,
,
解得或,因为,所以
当,即时,
,
解得（舍去）
综上;
（2）由（1）可知,
因为,所以,
即,
因为向量,满足,,,
所以,
因为,所以,
所以,所以,
所以的取值范围为.
