第七单元 圆的计算与证明——解答题
专题一 圆和勾股
核心考点一 构造垂径图，得背靠背型共边双勾股
01. 如图, OA, OB, OC都是⊙O的半径,
(1) 求证: ∠AOB=2∠BOC;
(2) 若. 求⊙O的半径.
核心考点二 利用直径构造直角
02. 如图, AB为⊙O的直径, CB是⊙O的切线, D为⊙O外一点, AD交⊙O于点E, 垂足为 C.
(1) 求证:
(2) 若DE=2, BC=6, 求AB的长.
核心考点三 利用切线构造直角，设参与共边双勾股
03. 如图, 在 中， 点O在AC边上，以OA为半径的半圆O交AB于点D, 交AC于点E, 在BC边上取一点F, 连接FD, 使得
(1) 求证: DF为⊙O的切线;
(2) 若 , 求⊙O的半径.
专题二 圆与全等
核心考点一 构造 8字型全等转边
01.如图, AB为圆O的直径, AE为圆O的弦, C为圆O上一点, 垂足为D.
(1) 连接CO, 判断CO与AE的位置关系, 并证明;
(2) 若AE=8, BD=2, 求圆O的半径.
02.如图, ⊙O是 的外接圆，弦BD交AC于点E， 过点O作 于点F, 延长FO交BE于点 G. 若
(1) 求证: 为等边三角形；
(2) 求 AB 的长.
核心考点二 对称型全等与导角
03如图,在⊙O中, 直径AB垂直弦CD于点E,连接AC, AD, BC,过点C作( 于点F, 交线段OB于点G (不与点O, B重合) , 连接OF.
(1) 若 求 GE的长;
(2) 若. 猜想 的度数，并证明你的结论.
专题三 圆与相似
核心考点一 结合角平分线 (或弧的中点) 可构造射影型相似
01.如图, AB是⊙O的直径, CD是⊙O上两点, C是 的中点，过点C作AD的垂线, 垂足是E. 连接AC交BD于点F.
(1) 求证: CE是⊙O 的切线;
(2) 若 求cos∠ABD的值.
核心考点二 切割线与斜射影型相似
02.如图, 在 Rt△ABC中, ∠ABC=90°, O为AB边上一点, 以O为圆心, OB长为半径的⊙O交AB于点E, 交AC于点D, CB=CD.
(1) 求证: AC是⊙O的切线;
(2) 连接DE, 若 求线段AD的长.
核心考点三 斜射影型相似、三角函数转比
03.如图, 已知D为⊙O上一点, 点C在直径BA的延长线上, BE与⊙O相切, 交CD的延长线于点 E, 且BE=DE.
(1) 证明: CE是⊙O的切线;
(2) 若 求 BD的长.
核心考点四 旋转型相似
04.如图, 是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径， 点F在AB上, 连接CF并延长, 交⊙O于点 D, 连接BD, 作 垂足为E.
(1) 求证:
(2) 若AF=2, 求ED的长.
核心考点五 连弧的中点与圆心构“A、X"型相似
05. 如图，AB为⊙O的直径，弦DC的延长线交AB的延长线于点E，
(1) 求证:
(2) 若 求 BE的长.
核心考点六 导角证相似
06. 如图, 以 的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作( 交⊙O于点E, 连接AD, DE, ∠B=∠ADE.
(1) 求证:
(2) 若 求AB 和DE的长.
专题四 圆和三角函数
核心考点一 遇弦作垂，得直角和线段中点
01.如图,在⊙O中,弦AB的长为8, 点C在BO延长线上,且
(1) 求⊙O的半径;
(2) 求 tan∠BAC.
核心考点二 连切点构直角，含直角的斜A 相似与三角函数转比，设参求解
02.如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, D是AB上一点, 且 点 O 在 BC上，以点O为圆心的圆经过C，D两点.
(1) 求证: AB是⊙O的切线;
(2) 若 ⊙O的半径为3, 求AC的长.
核心考点三 作直径构直角，三角函数转比
03.如图, 中， , 以OA 为半径作⊙O, BC切⊙O于点C, 连接AC交 OB 于点 P.
(1) 求证: BP=BC;
(2) 若 且PC=7, 求⊙O的半径.
专题五 直径的构造
核心考点一 直接利用直径
01.如图, AB是⊙O的直径, C是⊙O上一点, ∠ACB的平分线交AB于E, 交⊙O于D, 连接AD, BD.
(1) 求证: AD=BD;
(2) 若 求 的值.
核心考点二 连线利用直径
02.如图, ⊙O半径为2, 弦BC=3, A 是弦BC所对优弧上的一个点, 连接 CO并延长交⊙O 点 M, 连接AM, 过点B作BE⊥AC, 垂足为E.
(1) 求证: BE∥AM;
(2)过点A作AD⊥BC, 分别交BE, BC于点H, D, 求AH的长.
核心考点三 延长直径构直角
03. 如图, ⊙O是 的外接圆， 于点D，BO的延长线交CD于点E.
(1) 求证:
(2) 若 求OE的长.
专题六 垂径图
核心考点一 构造直径转化角并得直角三角形，求三角函数值
01.如图, ⊙O的直径AB⊥弦CD, 垂足为点E, 点P在优弧CAD上(不包含点C和点D) , 连PC, PD, CB,
(1) 求证: AE=CD; (2) 求sin∠CPD.
核心考点二 构造直径转化角并得直角三角形，求三角函数值
02.如图, AB是⊙O直径,弦( 于点E，过点C作 交AB的延长线于点G, 垂足为F, 连接AC.
(1) 求证:
(2) 若 CD=EG=8, 求GF的长.
核心考点三 导角或构造直径转化角，求三角函数值
03. 如图, 在 中， 于D, 点O在AD上, ⊙O与AC, BC分别交于点E, F, 连BE.
(1) 求证:
(2) 若 求 的值.
专题七 弧的中点
01.如图, 在⊙O中, AB为直径, EF为弦, 连接AF, BE交于点P, 且F为 的中点.
(1) 求证: △FBP∽△FAB;
(2) 若 求 sin∠ABE的值.
02.如图, △ABC内接于⊙O, AB=AC, BD为⊙O的直径, 过点A作 于点E，延长BD交AC延长线于点F.
(1) 若AE=4, AB=5, 求⊙O的半径;
(2) 若 BD=2DF, 求 sin∠ACB的值.
03. 如图, 内接于⊙O， D, E分别为 和 的中点，连接DE.
(1) 求证:
(2) 若 求 的值.
专题八 阿基米德折弦图
方法：等腰三角形(弧的中点)结合同弧对的圆周角相等，利用一边一角等作垂或截长补短构全等.图中隐藏了角平分线，故也可构造对称型全等处理.
核心考点一 顶角为90°的等腰三角形与全等构造
01. 如图, AB 是半圆O的直径, C是 的中点，过点C作弦BD的垂线，垂足为E.
(1) 求证: CE=DE;
(2) 若AD=DE=1, 求AB的长.
核心考点二 顶角为 的等腰三角形与全等构造
02如图, 点A, P, B, C是⊙O上的四个点,
(1) 判断. 的形状，并证明；
(2) 若 求
核心考点三 顶角为普通角的等腰三角形与全等构造
03. 如图, 四边形ABCD 内接于⊙O, 垂足为E，
(1) 求证:
(2) 若⊙O的半径为5, 求BE-DE的值.
专题九 婆罗摩笈多
01. 如图, AB, CD是半径为5的⊙O的两条弦, 且AB⊥CD于点G, 点E是AC的中点, 连接EG并延长交BD于点 F.
(1) 求证: GF⊥BD;
(2) 若 求EF的长.
02. 如图, AB为⊙O的直径, 弦CD 与AB 相交于点E, ，过点B的切线与AD的延长线交于点F, 过点E作EG⊥BC交BC于点G, 延长GE交AD于点H.
(1) 求证: AH=HD;
(2) 若 求⊙O的半径.
03如图, AB, CD是⊙O的两条弦, 垂足为点 M，点N为AD的中点，延长NM交CB于点H，若 的面积为15， , 则AD为( )
C. 10 D. 9
专题十 切割线与角平分线
核心考点一 作直径构直角，三角函数转比
01.如图, AB是⊙O的直径, 点E, C在⊙O上, 点C是BE的中点, AE垂直于过点C的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F.
(1) 求证: DC是⊙O的切线;
(2) 若 ①求⊙O的半径； ②求线段DE的长.
核心考点二 勾股与相似结合 (或构造矩形)
02.如图, AB为⊙O的直径, E为⊙O上一点, 点C为 的中点，过点C作( 交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F.
(1) 求证: CD是⊙O的切线;
(2) 若 DE=1, DC=2, 求⊙O的半径长.
核心考点三 结合角平分线可构造斜射影型相似
03.如图, 中， , O为AB上一点, 以O为圆心, OA为半径的⊙O与BC 相切于点 D.
(1) 求证: AD平分.
(2) 连接DE, 若. 求 的值.
专题十一 圆与等腰三角形
核心考点一 圆心在三线上
01. 如图, ⊙O是 的外接圆， , BO的延长线交AC于点D.
(1) 求证:
(2) 若 求tan∠ABD.
核心考点二 腰过圆心
02如图,已知 ,以AB为直径的⊙O交BC于点D,DE是⊙O的切线,且, 垂足为E, 延长CA 交⊙O于点F.
(1) 求证:
(2) 若AE=3, DE=6, 求AF的长.
核心考点三 底过圆心——含特殊角的等腰三角形与构造直径
03如图, 中， 点O在BC上, ⊙O过点A和点B.
(1) 求证: CA 是⊙O的切线;
(2) 点D是圆周上一点， , 求 AD的长.
专题十二 圆与平行四边形
核心考点一 利用平行转化角
01.如图，已知AB是半圆O的直径，C是半圆弧上一点，P是BC的中点， 交AB 延长线于点 D.
(1) 求证: PD 为⊙O的切线;
(2) 若 求 PC的值.
核心考点二 作直径构直角
02. 如图, ⊙O经过平行四边形的顶点A, D, C, 边AB与⊙O 相切于点A, 边BC与⊙O相交于点 H.
(1) 求证:
(2) 若 求sin∠BAH的值.
核心考点三 平行四边形与相似
03.如图, 中, 过A, B, C三点的⊙O交AD于E点, ⊙O与CD相切于 C点.
(1) 求证:
(2) 若 求DE的长.
专题十三 圆和矩形
核心考点一 直接矩形的性质
01.如图, 过矩形ABCD顶点A, B的⊙O与CD相切于点E, 与AD, BC分别相交于点 G, H, 连接EH, AH.
(1) 求证: EH平分∠AHC;
(2) 若AB=6, BH=8, 求EH的长.
核心考点二 切割图中弦切角、圆心角的转化
02.如图, ⊙O与矩形ABCD的BC边相切于点M, 且经过CD 边上的点N,
(1) 求证: CD与⊙O 相切;
(2) ⊙O与AB交于点E, 连接EM. 若 ⊙O的半径为5, 求AD的长.
核心考点三 构造矩形
03.如图, 在 中， , 以AC为直径作⊙O交BC于点D, 过点D作 AB, 垂足为E, 延长BA交⊙O于点F.
(1) 求证: DE是⊙O 的切线;
(2) 若 求AF的长.
专题十四 圆与菱形
01. 如图, ⊙O过菱形ABCD的顶点B, D, 且与AB相切, 直径BF交CD于点E.
(1) 求证: AD与⊙O 相切;
(2) 若 连接 CF, 求 的值.
02. 如图, 在菱形ABCD中, 于H,以DH为直径的⊙O分别交AD, BD于点E, F, 连接EF.
(1) 求证: ①CD是⊙O的切线;(
(2) 若 求
专题十五 圆和正方形
01.如图, ⊙O过正方形 ABCD的顶点A, D, 且与BC相切于点 M, ⊙O分别交AB, CD于E, F两点, 连接MO并延长交AD于点N.
(1) 求证:
(2) 连接BF交⊙O于点 G, 连接EG. 若AD=8, 求EG的长.
02.如图, ⊙O过长方形ABCD的顶点D和BC上一点E, 且与BA相切于点F, ⊙O分别交AD, CD于G, H两点,
(1) 求证: BC是⊙O的切线;
专题十六 圆与内心
核心考点一 鸡爪定理和等腰共边双勾股 (利用半径相等)
01.如图, 以AB 为直径的⊙O经过 的顶点C, AE, BE分别平分 和 AE的延长线交⊙O于点D, 连接BD.
(1) 判断. 的形状，并证明你的结论；
(2) 若 求BC的长.
核心考点二 鸡爪定理和子母型相似
02. 如图, 点I是 的内心，BI的延长线与， 的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E, 连接AD, CD, AI.
(1) 求证:
(2) 若 求 BI的长.
核心考点三 垂径图的构造
03.如图, BC为⊙O的直径, 点A为⊙O上一点, 点E为 的内心，
(1) 若 求 DE的长;
(2) 求 的值.
专题十七 切线与阴影部分面积
核心考点一 切线长定理基本图
01如图, PA, PB与⊙O相切于点A, B, 过点B作 交⊙O于点 D.
(1) 求证: AD=AB;
(2) 若 求△ABP的面积.
核心考点二 底过圆心的等腰三角形与面积
02. 如图, 等腰 中，O为底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.
(1) 求证: AC是⊙O的切线;
(2) 若BC=12, ∠BAC=120°, 求图中阴影部分面积.
核心考点三 多切图与面积
03. 已知AB是⊙O的直径, AM和BN是⊙O的两条切线, DC与⊙O相切于点E,分别交AM, BN于D, C两点.
(1) 如图1, 求证:
(2) 如图2, 连接OE并延长交AM于点F, 连接CF. 若 ，求图中阴影部分的面积.
