山西省忻州市第五中学2021-2022学年上学期八年级数学学业测评
（期末）试卷
一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）若三角形的三边长分别为5、x、15，则x的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．8 D．11
3．（3分）一个多边形所有内角与外角的和为1260°，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．9
4．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
5．（3分）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x为（ ）
A． B．4 C．3 D．不能确定
6．（3分）若点P（3，m）与Q（n，﹣6）关于x轴对称，则m﹣2n＝（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．3
7．（3分）已知ax＝2，ay＝3，则a2x+3y的值等于（ ）
A．108 B．36 C．31 D．27
8．（3分）多项式x2+mx+6可因式分解为（x﹣2）（x﹣3），则m的值为（ ）
A．6 B．±5 C．5 D．﹣5
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（ ）
A．2 B．2 C． D．
10．（3分）学校为创建“书香校园”购买了一批图书，已知购买科普类图书花费1000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书甲均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本，求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（ ）
A．﹣＝100 B．﹣＝100
C．﹣＝100 D．﹣＝100
二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）
11．（3分）计算：x2 x3 x4＝ ．
12．（3分）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 ．
13．（3分）如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ．
14．（3分）若x﹣y＝5，xy＝﹣2，则x2+y2的值为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于E点，如果BC＝10，△BDC的周长为22．那么△ABC的周长是 ．
16．（3分）若关于x的分式方程﹣2＝有增根，则m的值为 ．
17．（3分）若x2﹣2（a﹣3）x+16是关于x的完全平方式，则a的值是 ．
18．（3分）已知a、b、c是三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝ ．
19．（3分）在等边三角形ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，且AD＝BE．连接AE、CD交于点P，则∠APD＝ ．
20．（3分）一个正整数如果能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如27＝62﹣32，63＝82﹣12，故27，63都是“创新数”，下列各数中，定是“创新数”的有 （填序号）
①1
②54
③16
三、解答题（本题共计7小题，共计60分）
21．（8分）计算：
（1）a3 a+（﹣a2）3÷a2
（2）（m+n+2）（m+n﹣2）﹣m（m+4n）．
22．（9分）分解因式：
（1）x3﹣25x
（2）x2﹣2xy+y2﹣4
（3）x2﹣6x﹣27
23．（10分）先化简，再求值：
（1）（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x＝﹣4，y＝；
（2） ﹣（），其中x＝﹣．
24．（8分）解方程：
（1）+1＝
（2）＝﹣2．
25．（6分）如图，DE＝BC，∠AED＝∠C，∠1＝∠2．求证：AE＝AC．
26．（9分）如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm．
求证：（1）AD的长；
（2）△ACE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
27．（10分）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．
（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？
（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？
参考答案
一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
2．（3分）若三角形的三边长分别为5、x、15，则x的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．8 D．11
【解答】解：∵三角形的三边长分别为5，x，15，
∴15﹣5＜x＜15+5，
即10＜x＜20，
故选：D．
3．（3分）一个多边形所有内角与外角的和为1260°，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．9
【解答】解：多边形的内角和是：1260°﹣360°＝900°，
设多边形的边数是n，
则（n﹣2） 180＝900，
解得：n＝7，
故选：B．
4．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【解答】解：∵分式的值为零，
∴，解得x＝1．
故选：B．
5．（3分）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x为（ ）
A． B．4 C．3 D．不能确定
【解答】解：∵△ABC与△DEF全等，
∴3+5+7＝3+3x﹣2+2x﹣1，
解得：x＝3，
故选：C．
6．（3分）若点P（3，m）与Q（n，﹣6）关于x轴对称，则m﹣2n＝（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．3
【解答】解：∵点P（3，m）与Q（n，﹣6）关于x轴对称，
∴n＝3，m＝6，
故m﹣2n＝0．
故选：A．
7．（3分）已知ax＝2，ay＝3，则a2x+3y的值等于（ ）
A．108 B．36 C．31 D．27
【解答】解：a2x+3y＝（ax）2×（ay）3＝22×33＝108，
故选：A．
8．（3分）多项式x2+mx+6可因式分解为（x﹣2）（x﹣3），则m的值为（ ）
A．6 B．±5 C．5 D．﹣5
【解答】解：根据题意得：x2+mx+6＝（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6，
则m的值为﹣5．
故选：D．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（ ）
A．2 B．2 C． D．
【解答】解：作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝2，
∵Q为AB上一动点，
∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2．
故选：A．
10．（3分）学校为创建“书香校园”购买了一批图书，已知购买科普类图书花费1000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书甲均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本，求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（ ）
A．﹣＝100 B．﹣＝100
C．﹣＝100 D．﹣＝100
【解答】解：设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：
﹣＝100．
故选：B．
二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）
11．（3分）计算：x2 x3 x4＝ x9 ．
【解答】解：原式＝x2+3+4
＝x9．
故答案为：x9．
12．（3分）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 90° ．
【解答】解：如图所示：
由题意可得：△ACB≌△ECD，
则∠1＝∠DEC，
∵∠2+∠DEC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
故答案为：90°．
13．（3分）如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 360° ．
【解答】解：如图，连接AD．
∵∠1＝∠E+∠F，∠1＝∠FAD+∠EDA，
∴∠E+∠F＝∠FAD+∠EDA，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F
＝∠BAD+∠ADC+∠B+∠C．
又∵∠BAD+∠ADC+∠B+∠C＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
故答案为：360°．
14．（3分）若x﹣y＝5，xy＝﹣2，则x2+y2的值为 21 ．
【解答】解：∵x﹣y＝5，xy＝﹣2，
∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy
＝52+2×（﹣2）
＝25﹣4
＝21，
故答案为：21．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于E点，如果BC＝10，△BDC的周长为22．那么△ABC的周长是 34 ．
【解答】解：∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，
∴AD＝BD，
∵△BDC的周长为22，
∴BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝22，
∵BC＝10，AB＝AC，
∴AB＝AC＝12，
△ABC周长＝AB+AC+BC＝12+12+10＝34，
故答案为：34．
16．（3分）若关于x的分式方程﹣2＝有增根，则m的值为 3 ．
【解答】解：方程两边都乘x﹣3，
得x﹣2（x﹣3）＝m
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣3＝0，
解得x＝3，
当x＝3时，m＝3
故m的值是3．
故答案为：3．
17．（3分）若x2﹣2（a﹣3）x+16是关于x的完全平方式，则a的值是 7或﹣1 ．
【解答】解：∵x2﹣2（a﹣3）x+16是一个完全平方式，
∴﹣2a+6＝±8，
∴a＝7或﹣1．
故答案为7或﹣1．
18．（3分）已知a、b、c是三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝ 2c ．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
a+c＞b，a﹣b＜c．
∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0．
∴原式＝a﹣b+c﹣（a﹣b﹣c）＝2c．
19．（3分）在等边三角形ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，且AD＝BE．连接AE、CD交于点P，则∠APD＝ 60° ．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠BAC＝∠B＝60°，
在△ACD和△BAE中，
，
∴△ACD≌△BAE（SAS），
∴∠ACD＝∠BAE，
∵∠BAE+∠EAC＝60°，
∴∠ACD+∠EAC＝60°，
∴∠APD＝60°，
故答案为：60°．
20．（3分）一个正整数如果能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如27＝62﹣32，63＝82﹣12，故27，63都是“创新数”，下列各数中，定是“创新数”的有 ③ （填序号）
①1
②54
③16
【解答】解：①∵1＝1×1，
∴，
解得a＝1，b＝0，
不符合题意，
∴1不是“创新数”；
②∵54＝27×2＝18×3＝9×6，
∴，，，
解得a＝，a1＝，a2＝，
∴54不是“创新数”；
③∵16＝8×2，
∴，
解得a＝5，b＝3，
16＝52﹣32＝25﹣9＝16，
∴16是“创新数”；
故答案为：③．
三、解答题（本题共计7小题，共计60分）
21．（8分）计算：
（1）a3 a+（﹣a2）3÷a2
（2）（m+n+2）（m+n﹣2）﹣m（m+4n）．
【解答】解：（1）a3 a+（﹣a2）3÷a2
＝a4+（﹣a6）÷a2
＝a4﹣a4
＝0；
（2）（m+n+2）（m+n﹣2）﹣m（m+4n）
＝（m+n）2﹣4﹣m2﹣4mn
＝m2+2mn+n2﹣4﹣m2﹣4mn
＝﹣2mn+n2﹣4．
22．（9分）分解因式：
（1）x3﹣25x
（2）x2﹣2xy+y2﹣4
（3）x2﹣6x﹣27
【解答】解：（1）x3﹣25x
＝x（x2﹣25）
＝x（x+5）（x﹣5）；
（2）x2﹣2xy+y2﹣4
＝（x2﹣2xy+y2）﹣4
＝（x﹣y）2﹣22
＝（x﹣y+2）（x﹣y﹣2）；
（3）x2﹣6x﹣27
＝（x﹣9）（x+3）．
23．（10分）先化简，再求值：
（1）（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x＝﹣4，y＝；
（2） ﹣（），其中x＝﹣．
【解答】解：（1）（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，
＝x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣3xy﹣4y2
＝﹣7xy，
当x＝﹣4，y＝时，原式＝﹣7×（﹣4）×＝14；
（2） ﹣（）
＝ ﹣
＝﹣
＝
＝，
当x＝﹣时，原式＝＝．
24．（8分）解方程：
（1）+1＝
（2）＝﹣2．
【解答】解：（1）去分母得：4x+2x+6＝7，
移项合并得：6x＝1，
解得：x＝，
经检验是分式方程的解；
（2）去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），
去括号得：1﹣x＝﹣1﹣2x+4，
移项合并得：x＝2，
经检验x＝2是增根，故原方程无解．
25．（6分）如图，DE＝BC，∠AED＝∠C，∠1＝∠2．求证：AE＝AC．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC，
在△ADE和△ABC中，
，
∴△ADE≌△ABC（AAS），
∴AE＝AC，
26．（9分）如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm．
求证：（1）AD的长；
（2）△ACE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
∴AB AC＝BC AD，
∴AD＝＝＝4.8（cm），
即AD的长度为4.8cm；
（2）如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，
∴S△ABC＝AB AC＝×6×8＝24（cm2）．
又∵AE是边BC的中线，
∴BE＝EC，
∴BE AD＝EC AD，即S△ABE＝S△AEC，
∴S△AEC＝S△ABC＝12（cm2）．
∴△AEC的面积是12cm2．
（3）∵AE为BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝8﹣6＝2（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．
27．（10分）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．
（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？
（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？
【解答】解：（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，
根据题意得：＝﹣30，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原分式方程的解．
答：该商店3月份这种商品的售价是40元．
（2）设该商品的进价为y元，
根据题意得：（40﹣y）×＝900，
解得：y＝25，
∴（40×0.9﹣25）×＝990（元）．
答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元．
