2024-2025学年高一数学湘教版必修一单元检测：第2章 一元二次函数、方程和不等式
一、选择题
1．若关于x不等式的解集为且则( )
A.， B.， C.， D.，
2．已知关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3．若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．已知，，，则的最小值为( )
A.4 B.6 C.8 D.12
5．若,则( )
A. B. C. D.
6．分式不等式的解集为( )
A. B.
C.或 D.或
7．已知实数a，b满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．若a、b、c均大于0，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.2
二、多项选择题
9．已知实数a,b满足,则下列结论正确的有( )
A.若,则
B.的最小值为2
C.若,则
D.若,则的最小值为1
10．已知，则( )
A. B. C. D.
11．已知不等式的解集为,则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．若，，且，则的最小值是________.
13．已知a,b为正实数,且,则的最小值为________________.
14．设关于的不等式的解集为，若集合中恰有两个整数解，则实数的取值范围为________.
四、解答题
15．解不等式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
16．解下列不等式
（1）；
（2）；
17．解下列一元二次不等式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
18．已知关于x的不等式.
（1）若对任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对于，不等式恒成立，求实数x的取值范围.
19．解下列不等式
（1）；
（2）；
参考答案
1．答案：B
解析：由已知可得1、2为方程的根，
由韦达定理可得：，解得：
故选：B
2．答案：C
解析：由不等式可得，
当时，原不等式为，恒成立，符合题意；
当时，由恒成立，
可得，解得，
综上，则a的取值范围是.
故选：C.
3．答案：B
解析：由题意，对于都有成立，
，解得：，
即实数m的取值范围是.
故选：B.
4．答案：B
解析：因为，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为6.
故选：B.
5．答案：D
解析：对于A、取,,则,故A错误;对于B、当时,显然错误;
对于C、当时,显然错误;
对于D、若,则;
若,则;
若,则,
若,或,则显然成立,故D正确.
6．答案：D
解析：由分式不等式可转化为且,解得或,
所以不等式的解集为或.
故选：D.
7．答案：C
解析：因为，即，
且，
即，解得，
当且仅当，时，，
当且仅当时，，
所以的取值范围是.
故选：C.
8．答案：C
解析：a、b、c均大于0，
当且仅当时取“=”，
的最大值为.
故选:C
9．答案：ACD
解析：对于选项A,由,,得,解得,A正确.
对于选项B,取,满足,此时,B不正确.
对于选项C,由,得,取,,
则,由,得,则,则,
当且仅当,时,等号成立,从而,C正确.
对于选项D,由,得,
则.
因为
,当且仅当,
即时,等号成立,
所以的最小值为1,D正确.
故选：ACD.
10．答案：BD
解析：对A，当时，，故A错误：
对B，得，则，故B正确；
对C，，，此时，故C错误；
对D，由，所以，
所以两边同除得，选项D正确；
故选：BD.
11．答案：AC
解析：由于不等式的解集为,
所以和是方程的两个实数根,
故且,解得,,
故选：AC.
12．答案：9
解析：因为（当且仅当时，等号成立），
所以，
所以，所以，所以，
所以的最小值为9.
故答案为：9
13．答案：6
解析：由已知条件得,,
当且仅当,即,时取等号.
故答案为：6.
14．答案：
解析：由题意可得当时，，
令，则其图象对称轴为，且，
故关于的不等式解集A中恰有两个的整数解为0，，
则且，解得，
故答案为：.
15．答案：（1）或
（2）
（3）
（4）
解析：（1）不等式可化为，
即，解得或，
原不等式的解集为或.
（2）不等式可化为，
解得，不等式的解集为.
（3）不等式化为，
即，解得，
即或，
原不等式的解集为.
（4）不等式可化为，
即，解得，即或，
原不等式的解集为.
16．答案：（1）或
（2）
解析：（1）因为，
所以方程有两个不等实根，.
又二次函数的图象开口向上，
所以原不等式的解集为或.
（2）因为，
所以方程有两个不等实根，
即，.
又二次函数的图象开口向下，
所以原不等式的解集为.
17．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）或
解析：（1）二次方程有二重根，
则不等式的解集为.
（2）二次方程有二根，，，
则不等式的解集为.
（3）不等式可化为，
由可知，二次方程无根，
则不等式的解集为，
故不等式的解集为.
（4）不等式可化为，
二次方程有二根，，，
则不等式的解集为，
故不等式的解集为.
（5）不等式可化为，
二次方程有二根，，，
则不等式的解集为.
故不等式的解集为.
（6）不等式可化为，
二次方程有二根，，，
则不等式的解集为或.
故不等式的解集为或.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）若对任意实数x，不等式恒成立，即恒成立
则关于x的方程的判别式，
即，解得，所以实数m的取值范围为.
（2）不等式，
可看成关于m的一次不等式，又，
所以，解得且，所以实数x的取值范围是.
19．答案：（1）或
（2）
解析：（1）因为，
所以方程有两个不等实根，.
又二次函数的图象开口向上，
所以原不等式的解集为或.
（2）因为，
所以方程有两个不等实根，，
即，.
又二次函数的图象开口向下，
所以原不等式的解集为.
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