2024-2025学年高一数学湘教版必修一单元检测：第4章 幂函数、指数函数和对数函数
一、选择题
1．( )
A. B.2 C. D.
2．物理学规定音量大小的单位是分贝（），对于一个强度为I的声波，其音量的大小可由如下公式计算：（其中是人耳能听到声音的最低声波强度）.我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于与之间，则声音的声波强度是声音的声波强度的( )
A.倍 B.倍 C.倍 D.倍
3．天上的星光有的较亮，有的较暗，天文学以“星等”区分之，即选择某一特定的星光强度为标准，对于发出星光强度为F的星体，定义其“星等”为，并称该星体为“m等星”，已知天狼星为等星，北极星为2等星，则天狼星的星光强度大约是北极星的( )倍.（已知，）
A.3 B.13 C.23 D.33
4．设，且实数x，y，z满足，则( )
A. B. C. D.
5．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（t的单位：天）的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为( )（）
A.60 B.63 C.66 D.69
6．我们知道二氧化碳是温室性气体，是全球变暖的主要元凶.在室内二氧化碳含量的多少也会对人体健康带来影响.下表是室内二氧化碳浓度与人体生理反应的关系：
室内二氧化碳浓度（单位：） 人体生理反应
不高于 空气清新，呼吸顺畅
空气浑浊，觉得昏昏欲睡
感觉头痛，嗜睡，呆滞，注意力无法集中
大于 可能导致缺氧，造成永久性脑损伤，昏迷甚至死亡
《室内空气质量标准》和《公共场所卫生检验办法》给出了室内二氧化碳浓度的国家标准为：室内二氧化碳浓度不大于（即为），所以室内要经常通风换气，保持二氧化碳浓度水平不高于标准值.经测定，某中学刚下课时，一个教室内二氧化碳浓度为，若开窗通风后二氧化碳浓度与经过时间t（单位：分钟）的关系式为，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要开窗通风时间至少约为（参考数据：，）( )
A.10分钟 B.11分钟 C.12分钟 D.20分钟
7．若，则下列不可能成立的是( )
A. B. C. D.
8．已知实数a，b，c分别满足，，，那么( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( )
A.和 B.和 C.和 D.和
10．若函数，设，，，则，，的大小关系不正确的是( )
A. B.
C. D.
11．若函数是奇函数,下列选项正确的是( )
A.
B.是单调递增函数
C.是单调递减函数
D.不等式的解集为
三、填空题
12．________________.
13．若x，y，，且，，，则n的值为__________.
14．设，，
（1）用含a，b的式子表示，形式为__________.
（2）用含a，b的式子表示，形式为__________.
四、解答题
15．化简：
（1）______；
（2）______.
16．求值.
17．计算：
（1）______；
（2）______.
18．2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站，与神舟十四航天员“会师”太空.近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭除推进剂外的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为300m/s
(1)当总质比为800时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加300m/s，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.
(参考数据：，.)
19．麻城市某社区为鼓励大家节约用电,与供电公司约定两种电费收取方案供用户选择：
方案一：每户每月收取管理费5元,月用电量不超过80度时,每度0.5元;超过80度时,超过部分按每度0.75元收取：
方案二：不收取管理费,每度0.6元.
（1）彭湃家上月比较节约,只用了90度电,分别按照这两种方案,计算应缴多少电费？并比较那种方案更合适.
（2）求方案一的收费（元）与用电量x（度）间的函数关系.若徐格拉底家九月份按方案一缴费60元,问徐格拉底家该月用电多少度？
（3）该月用电量在什么范围内,选择方案一比选择方案二好？
参考答案
1．答案：C
解析：
.
故选：C.
2．答案：C
解析：因为音量大小与强度为I的声波的关系为，
所以，
所以，，
所以，
故选：C.
3．答案：C
解析：设天狼星的星光强度为，北极星的星光强度为，
因为天狼星为等星，北极星为2等星，
所以，
解得，，
所以.
故选：C.
4．答案：B
解析：由，可得，则，即；
同理，，
因为，所以x，y，z均为正数，则，同理可得，，
所以，
故选：B.
5．答案：C
解析：，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
6．答案：A
解析：由题意可知，当时，，可得，则，
由，可得，
故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要开窗通风时间至少约为10分钟.
故选：A.
7．答案：D
解析：设，则有，，
当时，有；
当时，有；
当时，有.
故选：D.
8．答案：A
解析：，，
在同一坐标系内画出函数，，，的图象.
a，b，c就是与，与，与的图象交点横坐标，
由图可知，
故选：A.
9．答案：AC
解析：A：，故A正确；
B：0的负指数幂没有意义，故B错误；
C：，，故C正确；
D：和的值不相等.故D错误.
故选：AC.
10．答案：ABC
解析：因为，，所以，又，所以，因为函数在上单调递增，所以，即A，B，C不正确，D正确，故选ABC.
11．答案：ACD
解析：因为是奇函数,所以;
即,解得,A正确;
因为为增函数,且,所以为减函数,
所以是单调递减函数,B不正确,C正确;
因为是奇函数,所以不等式等价于不等式,
因为是单调递减函数,所以,解得,D正确.
故选：ACD.
12．答案：1
解析：原式
.
故答案为：1.
13．答案：25
解析：因为x，y，，则，
令，
则，，，
，
令，则，
其中，时，由对勾函数性质知，
则，所以.
故答案为：25.
14．答案：；
解析：因为，，
（1）由；
（2）由.
故答案为：；.
15．答案：；
解析：（1）原式；
（2）原式.
16．答案：
解析：原式
.
17．答案：13
解析：（1）原式.
（2）原式.
18．答案：(1)2010（m/s）；
(2)11.
解析：（1）由已知（m/s）；
（2）设材料更新和技术改进前总质比为k，则，，，，，
所以k的最小整数值是11.
19．答案：（1）第一种方案：52.5元;第二种方案：54元.应选择第一种方案.
（2）100度.
（3）该月用电量在50度到100度（不含50度与100度）范围内,选择方案一比选择方案二好.
解析：（1）第一种方案：元,
第二种方案：元,
由,故应选择第一种方案.
（2）当时,;
当时,.
综上,
①当时,令,解得（舍去）.
②当时,令,解得.
答：徐格拉底家该月用电100度.
（3）令,
①当时,令,即,解得,.
②当时,令,即,解得,.
综上可得：.
即该月用电量在50度到100度（不含50度与100度）范围内,选择方案一比选择方案二
好.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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