2024-2025学年高二数学湘教版选择性必修一单元检测：第3章 圆锥曲线与方程
一、选择题
1．已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
2．已知双曲线的一条渐近线与圆交于A,B两点,若,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
3．双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
4．若双曲线的一条渐近线方程为,该双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
5．方程表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．已知椭圆的离心率为，则( )
A. B. C. D.
7．已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过作斜率为的直线l与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8．已知P是椭圆上一点，，是C的两个焦点，，点Q在的平分线上，O为原点，，且.则C的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．渐近线方程为的双曲线方程可以是( )
A. B. C. D.
10．过点且的双曲线的方程是( )
A. B. C. D.
11．设矩形的长是宽的2倍,以该矩形的两个顶点为焦点的双曲线W经过另外两个顶点,则W的离心率的可能取值为( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线于交M、N两点，若，则C的离心率为________.
13．如图,设双曲线的左焦点为F,过F作倾斜角为的直线l与双曲线C的左支交于A,B两点,若,则双曲线C的渐近线方程为______________.
14．设抛物线的焦点为F,准线为l.若l与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B,且为原点,则双曲线的离心率等于__________.
四、解答题
15．已知双曲线C的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知A，B是双曲线C上的两点，且线段的中点为，求直线的方程.
16．已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且椭圆过点
（1）求椭圆的方程.
（2）若直线与椭圆交于A、B两点，求线段的垂直平分线的方程.
17．已知点，在椭圆上.
（1）求椭圆M的方程；
（2）直线l与椭圆M交于C，D两个不同的点(异于A，B)，过C作x轴的垂线分别交直线AB，AD于点P，Q，当P是CQ中点时，证明.直线l过定点.
18．已知椭圆的离心率,且椭圆C经过点.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）过点且斜率不为零的直线与椭圆C交于B,D两点,B关于x轴的对称点为A,求证:直线AD与x轴交于定点Q.
19．已知椭圆上任意一点P到两个焦点距离之和为8,且离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）过点作直线l交椭圆于A,B两点,点M为线段AB的中点,求直线l的方程.
参考答案
1．答案：D
解析：因为双曲线方程为：，
所以渐近线方程为：.
故选：D.
2．答案：D
解析：双曲线的渐近线方程为,
因为,故圆心到的距离为,
故,故,
故离心率为,
故选：D.
3．答案：B
解析：由，
得，，所以，
即双曲线的离心率.
故选：B.
4．答案：C
解析：双曲线的焦点位于x轴,则双曲线的渐近线为,
因为双曲线的一条渐近线方程为,
所以,
所以双曲线的离心率为,
故选：C.
5．答案：D
解析：由题意可知解得.
6．答案：B
解析：由题可知，，，，解得.
7．答案：C
解析：取的中点A，连接，令，则，如图，
因点M，N为双曲线左右两支上的点，
由双曲线定义得，，
则，，
令双曲线的半焦距为c，
直角中，，，
直角中，，
则有，即，
因直线l的斜率为，即，即，
于是有，则，解得，
因此双曲线的离心率.
故选：C.
8．答案：A
解析：如图，设，，延长交于A，
由题意知，O为的中点，故A为中点，
又，即，则，
又点Q在的平分线上，则，故是等腰直角三角形，
因此，
则，
可得，，
又，则，
因此可得，
又在中，，则，
将，代入得，
即，由所以，
所以，.
故选：A.
9．答案：BC
解析：对于A，双曲线的渐近线方程为，故A错误.
对于B，双曲线的渐近线方程为，故B正确.
对于C，双曲线的渐近线方程为，故C正确.
对于D，双曲线的渐近线方程为，故D错误.选BC.
10．答案：AC
解析：因为，所以可设双曲线的方程为或.将点的坐标代入双曲线方程可得，解得，所以双曲线的方程为或.故选AC.
11．答案：AD
解析：（1）如图1,矩形ABCD中,,且A,B为两个焦点,
设O为AB中点,如图以O为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,可设双曲线方程为,
则,
设,将代入双曲线中得,
,变形得,
将代入中得,,
方程两边同时除以得,解得,
当时,解得,负值舍去,
当时,解得舍去,负值也舍去;
（2）如图2,矩形ABCD中,,且,
设O为AB中点,如图以O为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,可设双曲线方程为,
则,将其代入双曲线中得,
,整理得,
将代入中得,,
方程两边同时除以得,解得,
当得,,负值舍去,
当得,舍去,负值舍去,
综上,离心率的可能取值为或.
故选:AD
12．答案：
解析：如图所示，
由题意可得，，
，
，
.
设双曲线C的一条渐近线的倾斜角为θ，则.
又，
，解得，
.
13．答案：
解析：令双曲线的右焦点为,半焦距为c,设,则,
由双曲线定义得,,由直线倾斜角为,
得,由余弦定理得,
即,整理得,于是,,
所以双曲线C的渐近线方程为.
故答案为：.
14．答案：
解析：y2的准线,,
的一条渐近线方程,时,,
,根据对称性,有,.
双曲线的离心率等于.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为双曲线C与双曲线有相同的渐近线，
所以可设其方程为，
将点的坐标代入得，则所求双曲线的标准方程为.
（2）设，，则，
因为
所以，
即有，
所以，
所以直线的方程为，即.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意，
椭圆的离心率为，，，，
椭圆方程为；
（2）设，，
由，得，，
设中点为，则，.
又，的垂直平分线方程为，即.
17．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题知，，得，所以椭圆M的方程为.
（2）由题意知，当轴时，不符合题意，故l的斜率存在，设l的方程为，
联立消去y
得，
则，
即
设，，，，
AB的方程为，令得，
AD的方程为，令得，
由P是CQ中点，得，即，
即，
即，
即，所以得或，
当，此时由，得，符合题意；
当，此时直线l经过点A，与题意不符，舍去.
所以l的方程为，即，
所以l过定点.
18．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由离心率可得,
将点代入椭圆方程可得,又;
解得,
所以椭圆C的方程为
（2）设点,,则,直线PB的方程为,
直线PB与椭圆联立,消去x,得,
则可得,,
易知,得
由题意,直线AD的方程为,
令,所以点Q的横坐标,
所以直线AD与x轴交于定点
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由椭圆的定义知,,,
又椭圆的离心率,,
,
椭圆C的标准方程为.
（2）为椭圆内一点,直线l与椭圆必交于A,B两点,
设,,当时,不合题意,故,
为线段AB的中点,,,
又A,B均在椭圆上,,
两式相减,得,即,
,,即,
直线l的方程为,即.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
