湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024届高三下学期开学摸底考试数学试卷
1．（2024高三下·衡阳开学考）从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中也任取2个数字，能组成无重复数字的四位数的个数为（ ）
A．240 B．216 C．180 D．108
2．（2024高三下·衡阳开学考）已知是等差数列的前n项和，，则（ ）
A．22 B．33 C．40 D．44
3．（2024高三下·衡阳开学考）已知双曲线（，）的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三下·衡阳开学考）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
5．（2024高三下·衡阳开学考）我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象，如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．图象具有对称性，对称轴是直线
B．当或时，函数值y随x值的增大而增大
C．当或时，函数最小值是0
D．当时，函数的最大值是4
6．（2024高三下·衡阳开学考）八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中.给出下列结论，其中正确的结论为（ ）
A．与的夹角为
B．
C．
D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）
7．（2024高三下·衡阳开学考）在中，内角的对边分别为，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三下·衡阳开学考）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三下·衡阳开学考）已知函数，则（ ）
A．的最大值为
B．的图象关于点对称
C．是偶函数
D．不等式的解集是
10．（2024高三下·衡阳开学考）若复数，则下列正确的是（ ）
A．当或时，为实数
B．若为纯虚数，则或
C．若复数对应的点位于第二象限，则
D．若复数z对应的点位于直线上，则或
11．（2024高三下·衡阳开学考）已知函数关于的方程有从小到大排列的四个不同的实数根，若，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最大值为
12．（2024高三下·衡阳开学考）已知多项式，则 .
13．（2024高三下·衡阳开学考）已知底面为正方形的四棱锥的五个顶点在同一个球面上，，，，，则四棱锥外接球的体积为 ．
14．（2024高三下·衡阳开学考）已知函数，其中表示，中的最大值，若函数有3个零点，则实数的取值范围是 .
15．（2024高三下·衡阳开学考）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
16．（2024高三下·衡阳开学考）如图，在多面体中，四边形是边长为4的菱形，与交于点，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）若，点为的中点，求二面角的余弦值.
17．（2024高三下·衡阳开学考）已知椭圆：的右顶点为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左焦点和左顶点分别为和，过点的直线与C交于M，N两点，直线与交于点P，证明：点P在定直线上．
18．（2024高三下·衡阳开学考）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，（）是函数的两个极值点，证明：恒成立.
19．（2024高三下·衡阳开学考）每年6月中旬到7月中旬，长江中下游区域内会出现一段连续阴雨天气，俗称“梅雨期”.依据某地河流“梅雨期”的水文观测点的历史统计数据，所绘制的频率分布直方图如图甲所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图乙所示.
（1）以频率作为概率，试求河流在“梅雨期”水位的第80百分位数并估计该地在今年“梅雨期”发生1级灾害的概率；
（2）该地河流域某企业，在今年“梅雨期”，若没受1，2级灾害影响，利润为1000万元；若受1级灾害影响，则亏损200万元；若受2级灾害影响则亏损2000万元.
现此企业有如下三种应对方案：
方案 防控等级 费用（单位：万元）
方案一 无措施 0
方案二 防控1级灾害 80
方案三 防控2级灾害 200
试问，若仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】从0，2，4中选出的数可能是0，2或0，4，或2，4，分含0与不含0两类进行讨论：
①前面选的是两个数字是2，4，则总数为种；
②前面选的两个数字是0，2或0，4时，总数为；
总数为72+108=180种，
故答案为：C.
【分析】前面的两个数字可能包含0，0不能放最高位，属于特殊元素，故以此进行分类，分成前面两个数字含0与不含两类进行计算即可.
2．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差中项
【解析】【解答】解：解法一： 因为是等差数列，
所以，
则，所以.
解法二： 设等差数列的公差为d，
则由得，，得，
所以.
故选：B.
【分析】根据等差中项的性质（ 如果a， b， c成等差数列，那么必须满足条件 ），结合题中条件可求得，再利用等差数列的前和公式求解即可；也可利用等差数列的通项公式化简条件求解即可.
3．【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线离心率为，所以，可得，
又，即可得；
由题意可得双曲线的渐近线方程为.
故选：C
【分析】由双曲线离心率计算公式可得，再结合双曲线的性质可得，代入双曲线的渐近线方程即可得出结果.
4．【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：对于选项A，若，，则有可能，所以选项A错误；
对于选项B，若，，则直线的方向向量分别为平面法向量，
又，即，所以，所以选项B正确；
对于选项C，若，，则有可能，所以选项C错误；
对于选项D，若，，则有可能，所以选项D错误.
故选：B.
【分析】利用空间直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系判断选项ACD，利用空间向量判断线面位置关系，从而判断选项B，由此得解.
5．【答案】D
【知识点】复合函数的单调性；函数的最大（小）值；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线，故选项A正确；
令可得，所以，所以，，
所以和是函数图象与x轴的交点坐标.又因为对称轴是直线，
所以当或时，函数值y随x值的增大而增大，故选项B正确；
由图象可知点和是函数图象的最低点，则当或时，函数最小值是0，故选项C正确；
由图象可知，当时，函数值y随x值的减小而增大，当时，函数值y随x值的增大而增大，均存在大于顶点纵坐标的函数值，
故当时，函数值4并非最大值，故选项D错误.
故选：D.
【分析】运用函数的对称性判断选项A，利用函数图象的单调性判断选项B，利用函数的最值概念，结合图象逐个选项判断即可.
6．【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为八卦图可知与的夹角为，其大小为，
所以与的夹角为，所以A错误；
因为向量的平行四边形法则可知，所以B错误；
易知，又因为，所以，
而，所以，即C错误；
易知在上的投影向量为，即D正确.
故选：D
【分析】根据向量夹角定义可得选项A错误；利用向量运算法则及模长关系可得B错误，选项选项C错误；再利用投影向量定义计算可得选项D正确.三角形减法法则：，简记为：共起点，连终点，指被减.
7．【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：因为，
由正弦定理得，
所以，
所以，
由余弦定理得，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以当时，取得最大值，
此时，
所以的最大值是．
故选：D．
【分析】利用正弦定理（在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径）、余弦定理进行角化边整理得到，再通过余弦定理消元得到，然后利用基本不等式得出的最小值，从而可以得到的最大值．
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线的方程为，所以，
设，其中如图所示：
则，所以，则，
所以，
所以，
则直线的倾斜角，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，
联立，消去得，
，
设，
则，
所以.
故选：A.
【分析】先根据抛物线的性质和焦半径公式求出点的坐标，进而可求出直线的倾斜角，从而可得直线的倾斜角，即可得出直线的方程，，联立方程，利用韦达定理（若一元二次方程有两个根，则）求出，再根据抛物线的焦点弦公式即可得解.
9．【答案】A,C,D
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：
.，
则的最大值为，故选项A正确.
令，解得，则的图象关于点对称，故选项B错误.
是偶函数，则选项C正确.
，即，即，则，
解得，即不等式的解集是，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】利用三角函数的两角和的正弦公式，二倍角公式，辅助角公式化简函数解析式，根据正弦函数的性质，讨论最大值，对称中心，奇偶性，解正弦不等式.
10．【答案】A,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：对A：当，；当，，故或时，均为实数，A正确；
对B：为纯虚数，则，解得，故B错误；
对C：复数对应的点位于第二象限，则，解得，故C正确；
对D：复数z对应的点位于直线上，则，
即，解得或，对应复数分别为或，故D正确；
故选：ACD.
【分析】根据复数的类型（复数是一种数学概念，形如，其中a和b都是实数， i是虚数单位，满足，复数可以表示为的形式，其中a是实部， b是虚部，当时，复数变为实数；当且时，复数变为纯虚数）、几何意义，结合复数的具体形式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
11．【答案】A,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
在平面直角坐标系内作出函数的图象，
关于的方程有从小到大排列的四个不同的实数根，
等价于与有四个不同交点，则，显然正确.
令，则或，所以或，
所以，当时最小，数形结合有，故B不正确.
运用二次函数对称性，可知
所以，
当且仅当时取等号，故C正确.
根据图象，则无最大值，故D不正确.
故选：AC.
【分析】对于A和B，根据题意画出分段函数的图象，将方程的根的问题转化为与的交点即可，通过观察图象直接判断；对于C和D，可以借助二次函数的对称性，得到运用将未知数减少，转化为函数后用基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）可求出的范围即可解决.
12．【答案】74
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：对于多项式，其展开式的通项为，
令，得，
所以，
对于多项式，其展开式的通项为，
令，得，所以，
所以.
故填：74.
【分析】根据二项展开式的通项分别求出和的展开式的项，进而求得的值.
13．【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；球内接多面体；平面与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解： 由题意知，，又，如图所示：
所以平面，
而平面，则平面平面．
由条件知，所以．
如图，取的中点，连接，交于点，则为正方形的中心，过点作平面的垂线，则点在该垂线上，所以为四棱锥外接球的球心．
由于，
所以四棱锥外接球的体积为．
故填：
【分析】先利用面面垂直的判定定理（如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直）证明平面平面，利用勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）得到；取的中点，连接，交于点，证明出为四棱锥外接球的球心．计算出，直接套公式求出四棱锥外接球的体积
14．【答案】
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数零点存在定理
【解析】【解答】令f(x)=，g(x)=-x3+ax-，当x∈(e，+∞)时，f(x)>0，而h(x)在区间(e，+∞)内无零点；当x=e时，f(e)=0，g(e)=-e3+ae-，当-e3+ae-≤0时，即a≤，x=e为函数h(x)的零点；当x∈(0，e)时，令h(x)=0，则a=，令m(x)=，则m'(x)=2x-=，令m'(x)=0得x=，故m(x)在(0，)单调递减，在区间(，e)上单调递增，m()=，m(e)=.
综上，当a∈时，函数有3个零点.
故答案为：
【分析】根据函数的单调性f(x)=在(0，+∞)单调递增，最多只含有一个零点，而函数g(x)在(0，+∞)最多有2个零点，容易找到f(x)在一个零点x=e，再根据g(x)有两个零点去求a的范围.分离参数a，构造函数，并根据函数的单调性求出a的范围.
15．【答案】解：（1）因为，所以，解得，则，，
，所以，为锐角，故，
所以，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，因为，所以.
【知识点】正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理和已知条件进行角化边，可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.
16．【答案】（1）证明：如图，取中点，连接，
因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面分别为中点，
所以.
因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以平面.
（2）解，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间坐标系，如图所示：
设
设平面的法向量
则即，
则.
设平面的法向量，
设二面角的平面角为为锐角，
所以.
二面角的余弦值.
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）取中点，连接，利用线面垂直的判定定理（若两平面垂直则在一面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面）可得证明平面，则平面；
（2）以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，将二面角的余弦值转化为两个法向量夹角余弦值的问题.
（1）证明：如图，取中点，连接，
因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面分别为中点，
所以.
因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以平面.
（2）如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间坐标系，设
设平面的法向量
则即，
则.
设平面的法向量，
设二面角的平面角为为锐角，
所以.
二面角的余弦值.
17．【答案】（1）解：因为椭圆：的右顶点为，所以，
又因为椭圆的离心率为，所以．
又，则，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）证明：由（1）得，所以直线的方程为，如图所示：
由，可得，
设，，显然，
所以，，
故．
由题意可得，，则直线的方程为，
直线的方程为．
设直线与的交点坐标为，
则，
故
，
解得，故直线与的交点在直线上．
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）由椭圆几何性质可求的值；
（2）联立直线与椭圆方程，设，，消元，列出韦达定理，即可得到直线、的方程，设直线与的交点坐标为，求出，即可得解.
（1）依题意可得：．
又，则，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）得，所以直线的方程为，
由，可得，
设，，显然，
所以，，
故．
由题意可得，，则直线的方程为，
直线的方程为．
设直线与的交点坐标为，
则，
故
，
解得，故直线与的交点在直线上．
18．【答案】解：(1)的定义域为，，
①当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减；
②当时，令，得或，令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
③当时，则，所以在上单调递增；
④当时，令，得或，令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
在时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
（2），则的定义域为，，
若有两个极值点，，（），则方程的判别式，且，，所以，
因为，所以，得，所以，
设，其中，令得，
又，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，即的最大值为，而，∴，
从而恒成立.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)先求导，然后对的情况进行讨论，利用导数判断其单调性（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减）；
（2）原函数由两个极值点，转化为导函数有两个零点，即方程的判别式，列出相关的式子，最后采用构造函数来证明.
19．【答案】（1）解：频率分布直方图中6个小矩形的面积分别是0.1，0.25，0.3，0.2，0.1，0.05，设“梅雨期”水位的第80百分位数为，
因为，
所以，
所以“梅雨期”水位的第80百分位数为.
设该河流“梅雨期”水位小于为事件，
水位在至为事件，
水位大于为事件， 以频率作为概率 ，则
，
，，
设该地发生1级灾害为事件，由条形图可知：
，，，
所以，
，
所以该地在今年“梅雨期”发生1级灾害的概率.
（2）解：由（1）可知“梅雨期”该河流不发生灾害的概率为，发生1级灾害的概率为0.155，
发生2级灾害的概率为，
设第种方案的企业利润为，
若选择方案一，则该企业在“梅雨期”的平均利润（万元），
若选择方案二，则该企业在“梅雨期”的平均利润（万元），
若选择方案三，则该企业在“梅雨期”的平均利润
（万元），
由于，故企业应选择方案二.
【知识点】频率分布直方图；全概率公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图及全概率公式计算可得；
（2）首先求出该河流不发生灾害的概率，发生1级灾害的概率及发生2级灾害的概率，再求出各种方案的平均利润，即可判断.
（1）频率分布直方图中6个小矩形的面积分别是0.1，0.25，0.3，0.2，0.1，0.05，
设“梅雨期”水位的第80百分位数为，
因为，
所以，
所以“梅雨期”水位的第80百分位数为.
设该河流“梅雨期”水位小于为事件，
水位在至为事件，
水位大于为事件，
，
，，
设该地发生1级灾害为事件，由条形图可知：
，，，
所以，
，
所以.
（2）由（1）可知“梅雨期”该河流不发生灾害的概率为，
发生1级灾害的概率为0.155，
发生2级灾害的概率为，
设第种方案的企业利润为，
若选择方案一，则该企业在“梅雨期”的平均利润（万元），
若选择方案二，则该企业在“梅雨期”的平均利润（万元），
若选择方案三，则该企业在“梅雨期”的平均利润
（万元），
由于，故企业应选择方案二.
湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024届高三下学期开学摸底考试数学试卷
1．（2024高三下·衡阳开学考）从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中也任取2个数字，能组成无重复数字的四位数的个数为（ ）
A．240 B．216 C．180 D．108
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】从0，2，4中选出的数可能是0，2或0，4，或2，4，分含0与不含0两类进行讨论：
①前面选的是两个数字是2，4，则总数为种；
②前面选的两个数字是0，2或0，4时，总数为；
总数为72+108=180种，
故答案为：C.
【分析】前面的两个数字可能包含0，0不能放最高位，属于特殊元素，故以此进行分类，分成前面两个数字含0与不含两类进行计算即可.
2．（2024高三下·衡阳开学考）已知是等差数列的前n项和，，则（ ）
A．22 B．33 C．40 D．44
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差中项
【解析】【解答】解：解法一： 因为是等差数列，
所以，
则，所以.
解法二： 设等差数列的公差为d，
则由得，，得，
所以.
故选：B.
【分析】根据等差中项的性质（ 如果a， b， c成等差数列，那么必须满足条件 ），结合题中条件可求得，再利用等差数列的前和公式求解即可；也可利用等差数列的通项公式化简条件求解即可.
3．（2024高三下·衡阳开学考）已知双曲线（，）的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线离心率为，所以，可得，
又，即可得；
由题意可得双曲线的渐近线方程为.
故选：C
【分析】由双曲线离心率计算公式可得，再结合双曲线的性质可得，代入双曲线的渐近线方程即可得出结果.
4．（2024高三下·衡阳开学考）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：对于选项A，若，，则有可能，所以选项A错误；
对于选项B，若，，则直线的方向向量分别为平面法向量，
又，即，所以，所以选项B正确；
对于选项C，若，，则有可能，所以选项C错误；
对于选项D，若，，则有可能，所以选项D错误.
故选：B.
【分析】利用空间直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系判断选项ACD，利用空间向量判断线面位置关系，从而判断选项B，由此得解.
5．（2024高三下·衡阳开学考）我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象，如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．图象具有对称性，对称轴是直线
B．当或时，函数值y随x值的增大而增大
C．当或时，函数最小值是0
D．当时，函数的最大值是4
【答案】D
【知识点】复合函数的单调性；函数的最大（小）值；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线，故选项A正确；
令可得，所以，所以，，
所以和是函数图象与x轴的交点坐标.又因为对称轴是直线，
所以当或时，函数值y随x值的增大而增大，故选项B正确；
由图象可知点和是函数图象的最低点，则当或时，函数最小值是0，故选项C正确；
由图象可知，当时，函数值y随x值的减小而增大，当时，函数值y随x值的增大而增大，均存在大于顶点纵坐标的函数值，
故当时，函数值4并非最大值，故选项D错误.
故选：D.
【分析】运用函数的对称性判断选项A，利用函数图象的单调性判断选项B，利用函数的最值概念，结合图象逐个选项判断即可.
6．（2024高三下·衡阳开学考）八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中.给出下列结论，其中正确的结论为（ ）
A．与的夹角为
B．
C．
D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）
【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为八卦图可知与的夹角为，其大小为，
所以与的夹角为，所以A错误；
因为向量的平行四边形法则可知，所以B错误；
易知，又因为，所以，
而，所以，即C错误；
易知在上的投影向量为，即D正确.
故选：D
【分析】根据向量夹角定义可得选项A错误；利用向量运算法则及模长关系可得B错误，选项选项C错误；再利用投影向量定义计算可得选项D正确.三角形减法法则：，简记为：共起点，连终点，指被减.
7．（2024高三下·衡阳开学考）在中，内角的对边分别为，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：因为，
由正弦定理得，
所以，
所以，
由余弦定理得，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以当时，取得最大值，
此时，
所以的最大值是．
故选：D．
【分析】利用正弦定理（在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径）、余弦定理进行角化边整理得到，再通过余弦定理消元得到，然后利用基本不等式得出的最小值，从而可以得到的最大值．
8．（2024高三下·衡阳开学考）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线的方程为，所以，
设，其中如图所示：
则，所以，则，
所以，
所以，
则直线的倾斜角，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，
联立，消去得，
，
设，
则，
所以.
故选：A.
【分析】先根据抛物线的性质和焦半径公式求出点的坐标，进而可求出直线的倾斜角，从而可得直线的倾斜角，即可得出直线的方程，，联立方程，利用韦达定理（若一元二次方程有两个根，则）求出，再根据抛物线的焦点弦公式即可得解.
9．（2024高三下·衡阳开学考）已知函数，则（ ）
A．的最大值为
B．的图象关于点对称
C．是偶函数
D．不等式的解集是
【答案】A,C,D
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：
.，
则的最大值为，故选项A正确.
令，解得，则的图象关于点对称，故选项B错误.
是偶函数，则选项C正确.
，即，即，则，
解得，即不等式的解集是，故选项D正确.
故选：ACD.
【分析】利用三角函数的两角和的正弦公式，二倍角公式，辅助角公式化简函数解析式，根据正弦函数的性质，讨论最大值，对称中心，奇偶性，解正弦不等式.
10．（2024高三下·衡阳开学考）若复数，则下列正确的是（ ）
A．当或时，为实数
B．若为纯虚数，则或
C．若复数对应的点位于第二象限，则
D．若复数z对应的点位于直线上，则或
【答案】A,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：对A：当，；当，，故或时，均为实数，A正确；
对B：为纯虚数，则，解得，故B错误；
对C：复数对应的点位于第二象限，则，解得，故C正确；
对D：复数z对应的点位于直线上，则，
即，解得或，对应复数分别为或，故D正确；
故选：ACD.
【分析】根据复数的类型（复数是一种数学概念，形如，其中a和b都是实数， i是虚数单位，满足，复数可以表示为的形式，其中a是实部， b是虚部，当时，复数变为实数；当且时，复数变为纯虚数）、几何意义，结合复数的具体形式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
11．（2024高三下·衡阳开学考）已知函数关于的方程有从小到大排列的四个不同的实数根，若，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】A,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
在平面直角坐标系内作出函数的图象，
关于的方程有从小到大排列的四个不同的实数根，
等价于与有四个不同交点，则，显然正确.
令，则或，所以或，
所以，当时最小，数形结合有，故B不正确.
运用二次函数对称性，可知
所以，
当且仅当时取等号，故C正确.
根据图象，则无最大值，故D不正确.
故选：AC.
【分析】对于A和B，根据题意画出分段函数的图象，将方程的根的问题转化为与的交点即可，通过观察图象直接判断；对于C和D，可以借助二次函数的对称性，得到运用将未知数减少，转化为函数后用基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）可求出的范围即可解决.
12．（2024高三下·衡阳开学考）已知多项式，则 .
【答案】74
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：对于多项式，其展开式的通项为，
令，得，
所以，
对于多项式，其展开式的通项为，
令，得，所以，
所以.
故填：74.
【分析】根据二项展开式的通项分别求出和的展开式的项，进而求得的值.
13．（2024高三下·衡阳开学考）已知底面为正方形的四棱锥的五个顶点在同一个球面上，，，，，则四棱锥外接球的体积为 ．
【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；球内接多面体；平面与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解： 由题意知，，又，如图所示：
所以平面，
而平面，则平面平面．
由条件知，所以．
如图，取的中点，连接，交于点，则为正方形的中心，过点作平面的垂线，则点在该垂线上，所以为四棱锥外接球的球心．
由于，
所以四棱锥外接球的体积为．
故填：
【分析】先利用面面垂直的判定定理（如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直）证明平面平面，利用勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）得到；取的中点，连接，交于点，证明出为四棱锥外接球的球心．计算出，直接套公式求出四棱锥外接球的体积
14．（2024高三下·衡阳开学考）已知函数，其中表示，中的最大值，若函数有3个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数零点存在定理
【解析】【解答】令f(x)=，g(x)=-x3+ax-，当x∈(e，+∞)时，f(x)>0，而h(x)在区间(e，+∞)内无零点；当x=e时，f(e)=0，g(e)=-e3+ae-，当-e3+ae-≤0时，即a≤，x=e为函数h(x)的零点；当x∈(0，e)时，令h(x)=0，则a=，令m(x)=，则m'(x)=2x-=，令m'(x)=0得x=，故m(x)在(0，)单调递减，在区间(，e)上单调递增，m()=，m(e)=.
综上，当a∈时，函数有3个零点.
故答案为：
【分析】根据函数的单调性f(x)=在(0，+∞)单调递增，最多只含有一个零点，而函数g(x)在(0，+∞)最多有2个零点，容易找到f(x)在一个零点x=e，再根据g(x)有两个零点去求a的范围.分离参数a，构造函数，并根据函数的单调性求出a的范围.
15．（2024高三下·衡阳开学考）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）因为，所以，解得，则，，
，所以，为锐角，故，
所以，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，因为，所以.
【知识点】正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理和已知条件进行角化边，可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.
16．（2024高三下·衡阳开学考）如图，在多面体中，四边形是边长为4的菱形，与交于点，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）若，点为的中点，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：如图，取中点，连接，
因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面分别为中点，
所以.
因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以平面.
（2）解，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间坐标系，如图所示：
设
设平面的法向量
则即，
则.
设平面的法向量，
设二面角的平面角为为锐角，
所以.
二面角的余弦值.
【知识点】空间直角坐标系；空间中的点的坐标；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）取中点，连接，利用线面垂直的判定定理（若两平面垂直则在一面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面）可得证明平面，则平面；
（2）以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，将二面角的余弦值转化为两个法向量夹角余弦值的问题.
（1）证明：如图，取中点，连接，
因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面分别为中点，
所以.
因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以平面.
（2）如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间坐标系，设
设平面的法向量
则即，
则.
设平面的法向量，
设二面角的平面角为为锐角，
所以.
二面角的余弦值.
17．（2024高三下·衡阳开学考）已知椭圆：的右顶点为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左焦点和左顶点分别为和，过点的直线与C交于M，N两点，直线与交于点P，证明：点P在定直线上．
【答案】（1）解：因为椭圆：的右顶点为，所以，
又因为椭圆的离心率为，所以．
又，则，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）证明：由（1）得，所以直线的方程为，如图所示：
由，可得，
设，，显然，
所以，，
故．
由题意可得，，则直线的方程为，
直线的方程为．
设直线与的交点坐标为，
则，
故
，
解得，故直线与的交点在直线上．
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）由椭圆几何性质可求的值；
（2）联立直线与椭圆方程，设，，消元，列出韦达定理，即可得到直线、的方程，设直线与的交点坐标为，求出，即可得解.
（1）依题意可得：．
又，则，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）得，所以直线的方程为，
由，可得，
设，，显然，
所以，，
故．
由题意可得，，则直线的方程为，
直线的方程为．
设直线与的交点坐标为，
则，
故
，
解得，故直线与的交点在直线上．
18．（2024高三下·衡阳开学考）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，（）是函数的两个极值点，证明：恒成立.
【答案】解：(1)的定义域为，，
①当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减；
②当时，令，得或，令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
③当时，则，所以在上单调递增；
④当时，令，得或，令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
在时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
（2），则的定义域为，，
若有两个极值点，，（），则方程的判别式，且，，所以，
因为，所以，得，所以，
设，其中，令得，
又，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，即的最大值为，而，∴，
从而恒成立.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)先求导，然后对的情况进行讨论，利用导数判断其单调性（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减）；
（2）原函数由两个极值点，转化为导函数有两个零点，即方程的判别式，列出相关的式子，最后采用构造函数来证明.
19．（2024高三下·衡阳开学考）每年6月中旬到7月中旬，长江中下游区域内会出现一段连续阴雨天气，俗称“梅雨期”.依据某地河流“梅雨期”的水文观测点的历史统计数据，所绘制的频率分布直方图如图甲所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图乙所示.
（1）以频率作为概率，试求河流在“梅雨期”水位的第80百分位数并估计该地在今年“梅雨期”发生1级灾害的概率；
（2）该地河流域某企业，在今年“梅雨期”，若没受1，2级灾害影响，利润为1000万元；若受1级灾害影响，则亏损200万元；若受2级灾害影响则亏损2000万元.
现此企业有如下三种应对方案：
方案 防控等级 费用（单位：万元）
方案一 无措施 0
方案二 防控1级灾害 80
方案三 防控2级灾害 200
试问，若仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？并说明理由.
【答案】（1）解：频率分布直方图中6个小矩形的面积分别是0.1，0.25，0.3，0.2，0.1，0.05，设“梅雨期”水位的第80百分位数为，
因为，
所以，
所以“梅雨期”水位的第80百分位数为.
设该河流“梅雨期”水位小于为事件，
水位在至为事件，
水位大于为事件， 以频率作为概率 ，则
，
，，
设该地发生1级灾害为事件，由条形图可知：
，，，
所以，
，
所以该地在今年“梅雨期”发生1级灾害的概率.
（2）解：由（1）可知“梅雨期”该河流不发生灾害的概率为，发生1级灾害的概率为0.155，
发生2级灾害的概率为，
设第种方案的企业利润为，
若选择方案一，则该企业在“梅雨期”的平均利润（万元），
若选择方案二，则该企业在“梅雨期”的平均利润（万元），
若选择方案三，则该企业在“梅雨期”的平均利润
（万元），
由于，故企业应选择方案二.
【知识点】频率分布直方图；全概率公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图及全概率公式计算可得；
（2）首先求出该河流不发生灾害的概率，发生1级灾害的概率及发生2级灾害的概率，再求出各种方案的平均利润，即可判断.
（1）频率分布直方图中6个小矩形的面积分别是0.1，0.25，0.3，0.2，0.1，0.05，
设“梅雨期”水位的第80百分位数为，
因为，
所以，
所以“梅雨期”水位的第80百分位数为.
设该河流“梅雨期”水位小于为事件，
水位在至为事件，
水位大于为事件，
，
，，
设该地发生1级灾害为事件，由条形图可知：
，，，
所以，
，
所以.
（2）由（1）可知“梅雨期”该河流不发生灾害的概率为，
发生1级灾害的概率为0.155，
发生2级灾害的概率为，
设第种方案的企业利润为，
若选择方案一，则该企业在“梅雨期”的平均利润（万元），
若选择方案二，则该企业在“梅雨期”的平均利润（万元），
若选择方案三，则该企业在“梅雨期”的平均利润
（万元），
由于，故企业应选择方案二.
