2023-2024学年辽宁省营口实验中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题3分共30分）
1．（3分）用数学的眼光观察下面的网络图标，其中可以抽象成轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图，在△ABC中，AC边上的高线是（ ）
A．线段DA B．线段BA C．线段BC D．线段BD
3．（3分）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．a10÷a2＝a5
C．a3 a3＝a6 D．（2a2）3＝2a3
5．（3分）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若DF＝6m，DE＝8m，AD＝4m，则BF等于（ ）
A．18m B．16m C．12m D．10m
6．（3分）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB＝α，则∠AIB的大小为（ ）
A．α B．α+90° C．α+90° D．180°+α
7．（3分）如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
8．（3分）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，α，β是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面α反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面α的夹角的度数为x°，光线n与光线k的夹角的度数为y°．则x与y之间的数量关系是（ ）
A．2x+y＝180° B．x+y＝180°
C．x+2y＝180° D．2x+2y＝180°
9．（3分）如图，在等边△ABC中，AD、CE是△ABC的两条中线，AD＝5，P是AD上一个动点，则PB+PE最小值的是（ ）
A．2.5 B．5 C．7.5 D．10
10．（3分）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，F是CB延长线上一点，AF⊥CF，垂足为F．下列结论：①BC＝DE；②AF＝CF；③四边形ABCD的面积等于AC2；④S△BCD＝S△ABF+S△ADE；其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（每题3分共15分）
11．（3分）若一个正多边形的一个内角等于135°，那么这个多边形是正 边形．
12．（3分）已知（x﹣1）（y﹣1）＝8，x+y＝8，则xy＝ ．
13．（3分）已知等腰△ABC中，BD⊥AC，且BD＝AC，则等腰△ABC的顶角度数为 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是 ．
15．（3分）如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝ ．
三、简答题
16．（8分）已知2 8n 16n＝222，32x+3﹣32x+1＝648，求（﹣x）n．
17．（8分）（1）计算：（a2b+2ab﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b）．
（2）计算：（2x﹣1）（2x+1）﹣（4x+1）（x﹣1）．
18．（8分）如图，某市有一块长方形地块用来建造住宅、广场和商厦．住宅用地是长为（3a+2b）米，宽为4a米的长方形，广场是长为3a米，宽为（2a﹣b）米的长方形．
（1）这块用地的总面积是多少平方米？
（2）求出当a＝30，b＝50时商厦的用地面积．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝40°，AE、BF分别为△ABC的角平分线，它们相交于点O．
（1）求∠EOF的度数．
（2）AD是△ABC的高，∠AFB＝80°时，求∠DAE的度数．
20．（9分）萱萱与爸爸妈妈在操场上荡秋千．如图，萱萱坐在秋千上的起始位置A处，起始位置OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她；妈妈用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到秋千起始位置OA的水平距离BF，CG分别为1.8m和2.2m，∠BOC＝90°，
（1）△OCG与△BOF全等吗？请说明理由；
（2）请求出FG的长．
21．（10分）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
22．（12分）如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的角平分线，点F为AE上一点，连接BF，∠BFE＝45°．
（1）求证：BF平分∠ABE；
（2）连接CF交AD于点G，若S△ABF＝S△CBF，求证：∠AFC＝90°；
（3）在（2）的条件下，当BE＝3，AG＝4.5时，求线段AB的长．
23．（12分）数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．
（1）操作发现：如图甲，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝AC，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证△ABD≌△CAE，此时，线段DE、BD、CE的数量关系为： ；
（2）拓展应用：
如图乙，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，已知点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，2）．请利用小华的发现直接写出点A的坐标：
（3）迁移探究：
如图丙，小华又作了一个等腰△ABC，AB＝AC，且∠BAC≠90°，她在直线l上取两点D、E，使得∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，请你帮助小华判断（1）中线段DE、BD、CE的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由．
2023-2024学年辽宁省营口实验中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（每题3分共30分）
1．（3分）用数学的眼光观察下面的网络图标，其中可以抽象成轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
选：A．
2．（3分）如图，在△ABC中，AC边上的高线是（ ）
A．线段DA B．线段BA C．线段BC D．线段BD
选：D．
3．（3分）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
选：A．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．a10÷a2＝a5
C．a3 a3＝a6 D．（2a2）3＝2a3
选：C．
5．（3分）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若DF＝6m，DE＝8m，AD＝4m，则BF等于（ ）
A．18m B．16m C．12m D．10m
选：A．
6．（3分）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB＝α，则∠AIB的大小为（ ）
A．α B．α+90° C．α+90° D．180°+α
选：B．
7．（3分）如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
选：D．
8．（3分）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，α，β是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面α反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面α的夹角的度数为x°，光线n与光线k的夹角的度数为y°．则x与y之间的数量关系是（ ）
A．2x+y＝180° B．x+y＝180°
C．x+2y＝180° D．2x+2y＝180°
选：A．
9．（3分）如图，在等边△ABC中，AD、CE是△ABC的两条中线，AD＝5，P是AD上一个动点，则PB+PE最小值的是（ ）
A．2.5 B．5 C．7.5 D．10
选：B．
10．（3分）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，F是CB延长线上一点，AF⊥CF，垂足为F．下列结论：①BC＝DE；②AF＝CF；③四边形ABCD的面积等于AC2；④S△BCD＝S△ABF+S△ADE；其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
选：C．
二、填空题（每题3分共15分）
11．（3分）若一个正多边形的一个内角等于135°，那么这个多边形是正 八 边形．
12．（3分）已知（x﹣1）（y﹣1）＝8，x+y＝8，则xy＝ 15 ．
13．（3分）已知等腰△ABC中，BD⊥AC，且BD＝AC，则等腰△ABC的顶角度数为 90°或30°或150° ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是 30 ．
15．（3分）如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝ 9 ．
三、简答题
16．（8分）已知2 8n 16n＝222，32x+3﹣32x+1＝648，求（﹣x）n．
【解答】解：∵2 8n 16n＝2 23n 24n＝27n+1，
∵2 8n 16n＝222，
∴7n+1＝22，
∴n＝3，
∵32x+3﹣32x+1＝9 32x+1﹣32x+1＝8 32x+1，
∵32x+3﹣32x+1＝648，
∴32x+1＝81＝34，
∴2x+1＝4，
∴x＝，
∴（﹣x）n＝．
17．（8分）（1）计算：（a2b+2ab﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b）．
（2）计算：（2x﹣1）（2x+1）﹣（4x+1）（x﹣1）．
【解答】解：（1）（a2b+2ab﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b）
＝a2+2a﹣b2﹣a2+b2
＝2a．
（2）（2x﹣1）（2x+1）﹣（4x+1）（x﹣1）
＝4x2﹣1﹣4x2﹣x+4x+1
＝3x．
18．（8分）如图，某市有一块长方形地块用来建造住宅、广场和商厦．住宅用地是长为（3a+2b）米，宽为4a米的长方形，广场是长为3a米，宽为（2a﹣b）米的长方形．
（1）这块用地的总面积是多少平方米？
（2）求出当a＝30，b＝50时商厦的用地面积．
【解答】解：（1）由题意，该块地是长方形，长为：3a+2b+（2a﹣b）＝（5a+b）米，宽为4a（米），
∴这块用地的总面积为：（5a+b）×4a＝（20a2+4ab）平方米．
（2）由题意得：商厦用地的宽为：2a﹣b＝60﹣50＝10（米），
长为：4a﹣3a＝a＝30（米）．
∴商厦的用地面积为：30×10＝300（平方米）．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝40°，AE、BF分别为△ABC的角平分线，它们相交于点O．
（1）求∠EOF的度数．
（2）AD是△ABC的高，∠AFB＝80°时，求∠DAE的度数．
【解答】解：（1）∵∠CAB+∠ABC＝180°﹣∠C，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠EAB＝∠BAC，∠FBA＝∠ABC，
∴∠EAB+∠FBA＝（∠BAC+∠ABC）＝（180°﹣∠C）＝90°﹣∠C，
∴∠AOB＝180°﹣（90°﹣∠C）＝90°+∠C，
∵∠C＝40°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠EOF＝∠AOB＝110°．
（2）
∵AD⊥BC，∠C＝40°，
∴∠CAD＝50°，
∵∠AFB＝80°，
∴∠1＝180°﹣50°﹣80°＝50°，
∴∠DAE＝180°﹣∠1﹣∠AOB＝180°﹣50°﹣110°＝20°．
20．（9分）萱萱与爸爸妈妈在操场上荡秋千．如图，萱萱坐在秋千上的起始位置A处，起始位置OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她；妈妈用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到秋千起始位置OA的水平距离BF，CG分别为1.8m和2.2m，∠BOC＝90°，
（1）△OCG与△BOF全等吗？请说明理由；
（2）请求出FG的长．
【解答】解：（1）△OCG与△BOF全等，理由如下：
由题意可知∠OGC＝∠OFB＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COG+∠BOF＝90°，
∵∠BOF+∠OBF＝90°，
∴∠COG+∠BOF＝∠BOF+∠OBF，
∴∠COG＝∠OBF，
在△OCG和△BOF中，
，
∴△OCG≌△BOF（AAS）；
（2）∵△OCG≌△BOF，
∴CG＝OF，OG＝BF，
∵BF，CG分别为1.8m和2.2m，
∴FG＝OF﹣OG＝CG﹣BF＝2.2﹣1.8＝0.4m，
∴FG的长为0.4m．
21．（10分）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．
∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°
又由条件得AP＝BQ，
在△ABQ和△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．
（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t
①当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；
②当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；
∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．
（3）∠CMQ＝120°不变．
∵在等边三角形中，BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°
∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，
又由条件得BP＝CQ，
在△PBC和△QCA中，
，
∴△PBC≌△QCA（SAS）
∴∠BPC＝∠MQC
又∵∠PCB＝∠MCQ，
∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°
22．（12分）如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的角平分线，点F为AE上一点，连接BF，∠BFE＝45°．
（1）求证：BF平分∠ABE；
（2）连接CF交AD于点G，若S△ABF＝S△CBF，求证：∠AFC＝90°；
（3）在（2）的条件下，当BE＝3，AG＝4.5时，求线段AB的长．
【解答】（1）证明：∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠BAD＝2∠BAF，
∵∠BFE＝45°，
∴∠FBA+∠BAF＝45°，
∴2∠FBA+2∠BAF＝90°，
∵AD为BC边上的高，
∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF＝90°，
∴2∠FBA＝∠EBA+∠FBA，
∴∠EBF＝∠FBA，
∴BF平分∠ABE；
（2）证明：过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N，
∵BF平分∠ABE，FM⊥BC，FN⊥AB，
∴FM＝FN，
∵S△ABF＝S△CBF，
即AB FN＝BC FM，
∴AB＝BC，
在△ABF和△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠AFB＝∠CFB，
∵∠BFE＝45°
∴∠AFB＝135°，
∴∠CFB＝135°，
∴∠CFE＝∠CFB﹣∠BFE＝135°﹣45°＝90°，
∴∠AFC＝90°；
（3）解：∵△ABF≌△CBF，
∴AF＝FC，
∵∠AFC＝∠ADC＝90°，∠AGF＝∠CGD，
∴∠FAG＝∠FCE，
在△AFG和△CFE中，
，
∴△AFG≌△CFE（ASA），
∴AG＝EC＝4.5，
∵BE＝3，
∴BC＝BE+EC＝7.5，
∵△ABF≌△CBF，
∴AB＝BC＝7.5．
23．（12分）数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．
（1）操作发现：如图甲，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝AC，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证△ABD≌△CAE，此时，线段DE、BD、CE的数量关系为： DE＝BD+CE ；
（2）拓展应用：
如图乙，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，已知点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，2）．请利用小华的发现直接写出点A的坐标：
（3）迁移探究：
如图丙，小华又作了一个等腰△ABC，AB＝AC，且∠BAC≠90°，她在直线l上取两点D、E，使得∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，请你帮助小华判断（1）中线段DE、BD、CE的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由．
【解答】解：（1）∵BD⊥AD，CE⊥AE，∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°＝∠BAD+∠CAE，∠BDA＝90°＝∠AEC，
∴∠ABD＝∠CAE，
又∵AB＝CA，∠BDA＝90°＝∠AEC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝BD+CE；
（2）A（﹣4，3）；理由如下：
过A、B作出x轴垂线AD，BE，如图乙，
由（1）可得AD＝CE，ED＝AD+BE，
又∵B（1，2）C（﹣2，0）得BE＝2，OE＝1，CO＝2，
∴AD＝CE＝3，DE＝AD+BE＝5，
∴DO＝DE﹣OE＝4，
∴A（﹣4，3）；
（3）（1）中线段DE、BD、CE的数量关系无变化；
证明：∵∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，
∴∠ABD+∠BAD＝180°﹣∠BDA＝180°﹣∠BAC＝90°＝∠BAD+∠CAE，
∴∠ABD＝∠CAE，
又∵AB＝CA，∠BDA＝∠AEC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝BD+CE．
