云大附中星耀学校2024-2025学年上学期高一入学检测
数学试卷
（考试时间：120分钟 总分：150分）
班级_________ 姓名_________ 学号_________ 成绩_________
诚信誓言：我以我的荣誉起誓，在本次考试中，诚实守信，成绩真实。
学生签名：_________
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．规定用符号表示一个不超过实数的最大整数，例如，．按此规定的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．不透明的袋子中有红，黄，绿三个小球，这三个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，两次摸出的小球的颜色相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．设实数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，矩形中，，，是边的中点，是边上的动点，、分别是、的中点，随着点的运动，线段长（ ）
A．保持不变，长度为 B．保持不变，长度为
C．不断增大 D．先增大，后减小
8．构建几何图形解决代数问题体现了“数形结合”的重要思想，如图，在中，，，延长使，连接，得，所以，类比这个方法，计算的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列条件中可以作为“”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．或
10．已知集合，，若，，则（ ）
A．
B．关于的不等式解集为或
C．
D．集合
11．设正实数，满足，则下列说法中正确的有（ ）
A．有最大值 B．有最大值4
C．有最大值 D．有最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．不等式的解集为_________．
13．若命题“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是_________．
14．已知集合满足，则集合的个数有_________个．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（满分13分）设集合，．
（1）若且，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
16．（满分15分）（1）求值：，其中，
（2）关于的不等式的解集为，求．
17．（满分15分）解答下列各题．
（1）若，求的最小值．
（2）若正数，满足，求的最小值．
18．（满分17分）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．
（1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请证明你的结论．
19．（满分17分）已知．
（1）设，若关于的不等式的解集为，，且的充分不必要条件是，求的取值范围；
（2）方程有两个实数根，，
①若，均大于0，试求的取值范围；
②若，求实数的值．
