8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面
一、选择题
1.下列说法正确的是 ( )
A.桌面是平面
B.一个平面的面积是26 m2
C.空间图形是由点、线、面构成的
D.在空间图形中,原图中的线都要画成实线,后补画的线都画成虚线
2. 如果点A在直线l上,而直线l又在平面α内,那么可以记作 ( )
A.A l,l α B.A l,l∈α
C.A∈l,l∈α D.A∈l,l α
3.[2024·广东佛山高一期中] 下列条件不能确定一个平面的有 ( )
A.一条直线和直线外一点
B.对边相等的四边形
C.两条相交直线
D.两条平行直线
4.四条线段首尾相接,它们最多确定的平面个数是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
5.经过同一条直线上的三个点的平面 ( )
A.有且仅有1个 B.有无数个
C.不存在 D.有且仅有3个
6.下列关于确定平面的几个说法,正确的是 ( )
A.经过一条直线和一个点可以确定一个平面
B.圆心和圆上任意两点可以确定一个平面
C.两两相交的三条直线可以确定一个平面
D.梯形可以确定一个平面
7.已知平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面可能的交线有 ( )
A.1条或2条 B.2条或3条
C.1条或3条 D.1条或2条或3条
8.[2024·福建泉州高一期中] 如图,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K.则下列说法中正确的个数是 ( )
①M,N,K三点共线;②P,N,M,C四点共面; ③BC∥NK.
A.0 B.1 C.2 D.3
9.(多选题)已知α,β为平面,A,B,M为点,a为直线,下列说法正确的是 ( )
A.若A∈a,A∈α,B∈a,B∈α,则a α
B.若α∩β=a,M∈α,M∈β,则M∈a
C.若A∈α,A∈β,则α∩β=A
D.若A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线,则α,β重合
二、填空题
10.点A∈平面α,点A∈平面β,平面α∩平面β=直线l,则点A 直线l(用集合符号表示).
11.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时,只需连接对“脚”的两条线段,看它们是否相交,就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是 .
12.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截正方体所得的截面的面积为S,则当CQ=1时,S= .
三、解答题
13.如图,AB∥CD,AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E.求证:B,E,D三点共线.
14. 如图,设△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内,且AB≠A1B1,AB∥A1B1,BC∥B1C1,CA∥C1A1,求证:AA1,BB1,CC1三线共点.
15.(1)空间任意4点,其中没有任何3点共线,这4个点最多可以确定 个平面.
(2)空间任意5点,其中有4点共面,没有任何3点共线,这5个点最多可以确定 个平面.
16.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点.
(1)在图中作出平面AD1E和底面ABCD的交线,并说明理由;
(2)平面AD1E将正方体分成两部分,求这两部分的体积之比.
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面
1.C [解析] 由平面的概念和空间图形的组成和画法可知C正确.
2.D [解析] 用符号表示为A∈l,l α.故选D.
3.B [解析] 对于选项A,经过直线与直线外一点有且只有一个平面.对于选项B,在对边相等的四边形中,对边有可能异面,不能确定一个平面.对于选项C,经过两条相交直线有且只有一个平面.对于选项D,经过两条平行直线有且只有一个平面.故选B.
4.A [解析] 如图,当A,B,C,D不共面时,确定的平面最多,共4个,即平面ABC,平面ABD,平面ACD,平面BCD.
5.B [解析] 不在同一条直线上的三个点可以确定一个平面,在同一条直线上的三个点所在的平面,就是以这条直线为轴,任意旋转角度所得的平面,所以有无数个平面.故选B.
6.D [解析] 一条直线和直线外的一点确定一个平面,故A不正确.圆心和圆上两点共线时,圆心和圆上两点确定无数个平面,故B不正确.由平面的基本性质及推论可知,两两相交的三条直线可以确定的平面的个数为1或3.如图①,a∩b=P,故直线a与b确定一个平面α,若c在平面α内,则直线a,b,c确定一个平面;如图②,a∩b=P,故直线a与b确定一个平面α,若c不在平面α内,则直线a,b,c确定三个平面.故C错误.因为梯形的一组对边平行,所以由“两条平行直线确定一个平面”知,梯形可以确定一个平面,故D正确.故选D.
7.D [解析] 当α过β与γ的交线时,这三个平面有1条交线;当β与γ没有交线,α与β和γ各有一条交线时,这三个平面共有2条交线;当β∩γ=b,α∩β=a,α∩γ=c且a,b,c不重合时,这三个平面共有3条交线.故选D.
8.B [解析] 因为M∈PQ,直线PQ 平面PQR,M∈BC,直线BC 平面BCD,所以M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,所以M在平面PQR与平面BCD的交线上,同理可证,N,K也在平面PQR与平面BCD的交线上,所以M,N,K三点共线,所以①正确;因为N 平面PCM,所以②错误;因为BC∩NK=M,所以③错误.故选B.
9.ABD [解析] A∈a,A∈α,B∈a,B∈α,由基本事实2可得a α,故A正确;若M∈α,M∈β,则M在α与β的交线上,又α∩β=a,∴M∈a,故B正确;若A∈α,A∈β,则α∩β=a且A∈a或α,β重合,故C错误;若A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线,由基本事实1可得,α,β重合,故D正确.故选ABD.
10.∈ [解析] 因为点A∈平面α,点A∈平面β,所以A在两平面的交线上,又平面α∩平面β=直线l,所以点A∈直线l.
11.两条相交直线确定一个平面 [解析] 由于连接对“脚”的两条线段,看它们是否相交,就知道它们是否合格,所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.
12. [解析] 当CQ=1时,Q与C1重合,取A1D1的中点M,连接AP,PC1,C1M,MA,AC1,PM,则截面为四边形APC1M,由正方体的对称性知四边形APC1M是菱形,其边长为=,易知AC1=,则PM=2=,故S=××=.
13.证明:∵AB∥CD,∴AB,CD可确定一个平面,设为平面β,∴AC在平面β内,即E在平面β内.
又AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E,∴B,D,E为平面α与平面β的公共点,根据基本事实3可得,B,D,E三点共线.
14.证明:∵AB≠A1B1,AB∥A1B1,∴四边形AA1B1B为梯形,∴AA1与BB1相交,设其交点为S,
则S∈AA1,S∈BB1.
∵BB1 平面BCC1B1,∴S∈平面BCC1B1.
同理可证,S∈平面ACC1A1,
∴点S在平面BCC1B1与平面ACC1A1的交线上,
即S∈CC1,∴AA1,BB1,CC1三线共点.
15.(1)4 (2)7 [解析] (1)当这4个点为三棱锥的4个顶点时,可以确定的平面最多,此时可以确定4个平面.
(2)当这5个点为四棱锥的5个顶点时,可以确定的平面最多,此时可以确定7个平面.
16.解:(1)如图,在正方形DCC1D1中,直线D1E与直线DC相交,设D1E∩DC=F,连接AF, 则AF就是平面AD1E和底面ABCD的交线.理由如下:
∵F∈DC,DC 平面ABCD,∴F∈平面ABCD.
∵F∈D1E,D1E 平面AD1E,∴F∈平面AD1E.
又A∈平面AD1E,A∈平面ABCD,∴平面AD1E∩平面ABCD=AF.
(2)设BC∩AF=G,连接GE,由E为CC1 的中点,得G为BC的中点,∴EG∥AD1,则平面AD1E将正方体分成的两部分中,一部分是三棱台CGE-DAD1.
设正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2,在△FDD1中,易得CF=DC=2,则=-V三棱锥F-CGE==××FD=,∴另一部分几何体的体积为23-=,∴两部分的体积之比为7∶17.
