(共57张PPT)
第一章
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5.1
正弦函数的图象
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.
2.掌握“五点(画图)法”画正弦曲线的步骤和方法，能用“五点(画图)法”作出简单的正弦曲线.
3.会利用正弦函数图象求定义域.
学习目标
将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏
斗，再挂在架子上，就做成了一个简
易单摆(如图(1)所示).在漏斗下方放一
块纸板，板的中间画一条直线作为坐
标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫作“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.图(2)就是某个简谐运动的图象.
导 语
一、正弦函数的图象
二、利用正弦函数图象求定义域
课时对点练
三、“五点(画图)法”作正弦函数的图象
随堂演练
内容索引
一
正弦函数的图象
我们根据正弦函数的定义，求出x=0…，2π对应的函数值，借助单位圆，可以画出正弦函数在区间[0，2π]上的图象吗？
问题1
提示 在区间[0，2π]上取一系列的x值，例如0…，2π，并借助单位圆获得对应的正弦函数值(如图(1))，列表.
x 0
sin x 0 1
利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点，结合对函数y=sin x性质的了解，用光滑曲线顺次连接，就可以得到函数y=sin x在区间[0，2π]上的图象(如图(2)).
x π 2π
sin x 0 - - -1 - - 0
由诱导公式sin(x+2kπ)=sin x，k∈Z，把函数y=sin x，x∈[0，2π]上的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，能不能得到正弦函数在定义域R上的图象？
问题2
提示 将函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y=sin x，x∈R的图象(如图(3)).
1.定义
正弦函数的图象称作 ，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
2.图象
正弦曲线
二
利用正弦函数图象求定义域
求函数f(x)=lg sin x+的定义域.
例 1
由题意，得x满足不等式组
即作出y=sin x，-4≤x≤4的图象，
如图所示.
结合图象可得x∈[-4，-π)∪(0，π).
即f(x)的定义域为[-4，-π)∪(0，π).
本例条件改为求函数y=lg的定义域.
要使函数式有意义，自变量x应满足sin x->0，
即sin x>
在同一直角坐标系下，作出函数y=sin x，x∈[0，2π]以及直线y=的图象.
由函数的图象知，sin .
所以根据图象可知sin x>.
又x∈R，故该函数的定义域为.
延伸探究
反
思
感
悟
(1)利用正弦函数图象解决与正弦函数有关的定义域问题，先根据定义域的求法列出不等式(组)，再求解；涉及解三角不等式时，一般需借助图象求解.
(2)利用正弦函数图象解形如sin x>a(或
②确定sin x=a时x的值；
③确定sin x>a(或
函数y=的定义域为
___________________________________________________.
跟踪训练 1
为使函数有意义，
需满足.
由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，
可得函数的定义域为
.
三
“五点(画图)法”作正弦函数的图象
提示 有，利用特殊角的三角函数值.
(0，0)(2π，0).
借助单位圆作图虽然精确，但太麻烦，有没有快捷画y=sin x，x∈[0，2π]图象的方法？你认为图象上哪些点是关键点？
问题3
“五点(画图)法”作正弦函数y=sin x，x∈[0，2π]图象的步骤
(1)列表
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
(2)描点
画正弦函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象，五个关键点是________________
___________________________.
(0，0)
(2π，0)
(3)连线
用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图.
利用“五点(画图)法”作出函数y=1-sin x(0≤x≤2π)的简图.
例 2
取值列表：
描点连线，如图所示.
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
1-sin x 1 0 1 2 1
反
思
感
悟
作正弦曲线要理解几何法作图，掌握“五点(画图)法”作图.“五点”即y=sin x的图象在[0，2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点(画图)法”是作简图的常用方法.
用“五点(画图)法”画出函数y=+sin x，x∈[0，2π]的简图.
跟踪训练 2
(1)取值列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
+sin x -
(2)描点、连线，如图所示.
1.知识清单：
(1)正弦函数的图象.
(2)函数图象的应用.
(3)“五点(画图)法”作图.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：五点的选取.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.函数y=sin(-x)，x∈[0，2π]的简图是
y=sin(-x)=-sin x，y=-sin x与y=sin x的图象关于x轴对称，故选B.
√
2.用“五点(画图)法”画函数y=1+sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是
A.0 B.2π
C.0，π，2π，3π，4π D.0
1
2
3
4
√
所描出的五点的横坐标与函数y=sin x的五点的横坐标相同，
即02π，故选B.
3.在同一平面直角坐标系内，函数y=sin x，x∈[0，2π]与y=sin x，x∈[2π，4π]的图象
A.重合 B.形状相同，位置不同
C.关于y轴对称 D.形状不同，位置不同
1
2
3
4
√
根据正弦曲线的作法可知函数y=sin x，x∈[0，2π]与y=sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同.
4.函数y=的定义域为 .
1
2
3
4
由题意知，自变量x应满足2sin x-1≥0，
即sin x≥
又x∈R，
故y=
课时对点练
五
答案
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 AD B AD C A C ［-1，0］
题号 8
答案 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
题号 11 12 13
答案 BD C C
题号 14 15
答案 4π
9.
列表：
描点、连线得出y=1+2sin x，
x∈［0，2π］的图象如图所示.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
1+2sin x 1 3 1 -1 1
10.
首先作出y=sin x在［0，2π］上的图象，如图所示，
作直线y=，根据特殊角的正弦值，
可知该直线与y=sin x，x∈［0，2π］的图象的交点横坐标为；
作直线y=，该直线与y=sin x，x∈
［0，2π］的图象的交点横坐标为.
观察图象可知，在［0，2π］上，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
当
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
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14
15
16
16.
在同一直角坐标系中作出y=sin x，x∈的图象与y=的图象，
由图象可知，当≤<1，
即-1
则a的取值范围为(-1，1-］.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.(多选)用“五点(画图)法”画y=3sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列哪个点不是关键点
A. B.
C.(π，0) D.(2π，3)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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15
16
基础巩固
√
答案
√
五个关键点的横坐标依次是02π.代入计算得B，C是关键点.
2.若点M在函数y=sin x-2的图象上，则m等于
A.-2 B.1
C.-1 D.2
1
2
3
4
5
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13
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15
16
√
由题意知，-m=sin -2，
∴-m=1-2=-1，∴m=1.
答案
3.(多选)对于正弦函数的图象，下列四个说法中正确的是
A.关于原点对称 B.关于x轴对称
C.关于y轴对称 D.有无数条对称轴
√
1
2
3
4
5
6
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11
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14
15
16
由正弦曲线知，A，D正确.
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.在[0，2π]上，不等式sin x<-的解集是
A.(0，π) B.
C. D.
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
画出y=sin x，x∈[0，2π]的图象大致
如图所示.
当sin x=-
可知不等式sin x<-.
答案
5.函数y=2-sin x，x∈[0，2π]的简图是
1
2
3
4
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6
7
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15
16
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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15
16
列表：
观察各图象发现A项
符合.
答案
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
y=2-sin x 2 1 2 3 2
6.函数y=1+sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y=交点的个数是
A.0 B.1
C.2 D.3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
16
√
答案
由函数y=1+sin x，x∈[0，2π]的图象(如图所示)，
可知其与直线y=有2个交点.
1
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16
7.若存在m，使得sin x=2m+1，x∈R，则m的取值范围是 .
因为sin x∈[-1，1]，所以-1≤2m+1≤1，
故-1≤m≤0.
答案
[-1，0]
1
2
3
4
5
6
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16
8.已知函数f(x)=2sin x+1，若f(x)的图象过点则m= ；若f(x)<0，
则x的取值集合为 .
当x=+1=3，∴m=3.
f(x)<0，即sin x<-
作出y=sin x在[0，2π]上的图象，如图所示.
由图知x的取值集合为.
答案
3
9.用“五点(画图)法”作出函数y=1+2sin x，x∈[0，2π]的图象.
1
2
3
4
5
6
7
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13
14
15
16
列表：
描点、连线得出y=1+2sin x，x
∈[0，2π]的图象如图所示.
答案
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
1+2sin x 1 3 1 -1 1
1
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16
10.利用正弦曲线，求满足的x的取值范围.
答案
1
2
3
4
5
6
7
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9
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11
12
13
14
15
16
首先作出y=sin x在[0，2π]上的图象，
如图所示，
作直线y=根据特殊角的正弦值，
可知该直线与y=sin x，x∈[0，2π]的图象的交点横坐标为；
作直线y=.
答案
1
2
3
4
5
6
7
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13
14
15
16
观察图象可知，在[0，2π]上，
当时，
不等式成立.
所以
.
答案
11.(多选)函数y=sin x-1，x∈[0，2π]的图象与直线y=a有一个交点，则a的值为
A.-1 B.0
C.1 D.-2
1
2
3
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15
16
√
综合运用
答案
√
画出y=sin x-1的图象.如图.
依题意a=0或a=-2.
12.与图中曲线(部分)对应的函数解析式是
A.y=|sin x|
B.y=sin |x|
C.y=-sin |x|
D.y=-|sin x|
1
2
3
4
5
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16
√
答案
注意图象所对的函数值的正负，可排除选项A，D.
当x∈(0，π)时，sin |x|>0，而图中显然小于零，因此排除选项B.故选C.
13.(2024·新课标全国Ⅰ)当x∈[0，2π]时，曲线y=sin x与y=2sin 的交点个数为
A.3 B.4
C.6 D.8
1
2
3
4
5
6
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√
答案
1
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15
16
因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π，
函数y=2sin
所以在x∈[0，2π]上函数y=2sin 有三
个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，
由图可知，两函数图象有6个交点.
答案
1
2
3
4
5
6
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16
14.已知函数f(x)=的解集是
.
在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y=
.
答案
15.已知函数y=2sin x的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为 .
1
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16
拓广探究
答案
4π
数形结合，如图所示，y=2sin x，x∈
y=0，y=2围成的
矩形面积，即S=×2=4π.
1
2
3
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16
16.若方程sin x=上有两个实数根，求a的取值范围.
答案
1
2
3
4
5
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11
12
13
14
15
16
在同一直角坐标系中作出y=sin x，x∈
的图象，
由图象可知，当<1，
即-1
即若方程sin x=上有两个实数根，
则a的取值范围为(-1，1-].
答案5.1正弦函数的图象
［学习目标］ 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点(画图)法”画正弦曲线的步骤和方法，能用“五点(画图)法”作出简单的正弦曲线.3.会利用正弦函数图象求定义域.
一、正弦函数的图象
问题1 我们根据正弦函数的定义，求出x=0，，…，2π对应的函数值，借助单位圆，可以画出正弦函数在区间［0，2π］上的图象吗？
问题2 由诱导公式sin(x+2kπ)=sin x，k∈Z，把函数y=sin x，x∈［0，2π］上的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，能不能得到正弦函数在定义域R上的图象？
知识梳理
1.定义
正弦函数的图象称作 ，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
2.图象
二、利用正弦函数图象求定义域
例1 求函数f(x)=lg sin x+的定义域.
延伸探究 本例条件改为求函数y=lg的定义域.
反思感悟 利用正弦函数图象求定义域
(1)利用正弦函数图象解决与正弦函数有关的定义域问题，先根据定义域的求法列出不等式(组)，再求解；涉及解三角不等式时，一般需借助图象求解.
(2)利用正弦函数图象解形如sin x>a(或
②确定sin x=a时x的值；
③确定sin x>a(或
三、“五点(画图)法”作正弦函数的图象
问题3 借助单位圆作图虽然精确，但太麻烦，有没有快捷画y=sin x，x∈［0，2π］图象的方法？你认为图象上哪些点是关键点？
知识梳理
“五点(画图)法”作正弦函数y=sin x，x∈［0，2π］图象的步骤
(1)列表
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
(2)描点
画正弦函数y=sin x，x∈［0，2π］的图象，五个关键点是 .
(3)连线
用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图.
例2 利用“五点(画图)法”作出函数y=1-sin x(0≤x≤2π)的简图.
反思感悟 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握“五点(画图)法”作图.“五点”即y=sin x的图象在［0，2π］内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点(画图)法”是作简图的常用方法.
跟踪训练2 用“五点(画图)法”画出函数y=+sin x，x∈［0，2π］的简图.
1.知识清单：
(1)正弦函数的图象.
(2)函数图象的应用.
(3)“五点(画图)法”作图.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：五点的选取.
1.函数y=sin(-x)，x∈［0，2π］的简图是( )
2.用“五点(画图)法”画函数y=1+sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是( )
A.0，，π B.0，，π，，2π
C.0，π，2π，3π，4π D.0，
3.在同一平面直角坐标系内，函数y=sin x，x∈［0，2π］与y=sin x，x∈［2π，4π］的图象( )
A.重合 B.形状相同，位置不同
C.关于y轴对称 D.形状不同，位置不同
4.函数y=的定义域为 .
答案精析
问题1 在区间［0，2π］上取一系列的x值，例如0，，，，…，2π，并借助单位圆获得对应的正弦函数值(如图(1))，列表.
x 0
sin x 0 1
x π 2π
sin x 0 - - -1 - - 0
利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点，结合对函数y=sin x性质的了解，用光滑曲线顺次连接，就可以得到函数y=sin x在区间［0，2π］上的图象(如图(2)).
问题2 将函数y=sin x，x∈［0，2π］的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y=sin x，x∈R的图象(如图(3)).
知识梳理
1.正弦曲线
例1 解 由题意，得x满足不等式组即
作出y=sin x，-4≤x≤4的图象，如图所示.
结合图象可得x∈［-4，-π)∪(0，π).
即f(x)的定义域为［-4，-π)∪(0，π).
延伸探究 解要使函数式有意义，自变量x应满足sin x->0，
即sin x>，在同一直角坐标系下，作出函数y=sin x，x∈［0，2π］以及直线y=的图象.
由函数的图象知，
sin =sin =.
所以根据图象可知sin x>的解集为.
又x∈R，故该函数的定义域为
.
跟踪训练1
解析 为使函数有意义，
需满足
即0
问题3 有，利用特殊角的三角函数值.
(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
知识梳理
(2)(0，0)，，(π，0)，，
(2π，0)
例2 解 取值列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
1-sin x 1 0 1 2 1
描点连线，如图所示.
跟踪训练2 解 (1)取值列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
+sin x -
(2)描点、连线，如图所示.
随堂演练
1.B 2.B 3.B
4.作业7 正弦函数的图象
(分值：100分)
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分
1.(多选)用“五点(画图)法”画y=3sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( )
A. B.
C.(π，0) D.(2π，3)
2.若点M在函数y=sin x-2的图象上，则m等于( )
A.-2 B.1
C.-1 D.2
3.(多选)对于正弦函数的图象，下列四个说法中正确的是( )
A.关于原点对称 B.关于x轴对称
C.关于y轴对称 D.有无数条对称轴
4.在[0，2π]上，不等式sin x<-的解集是( )
A.(0，π) B.
C. D.
5.函数y=2-sin x，x∈[0，2π]的简图是( )
6.函数y=1+sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y=交点的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
7.(5分)若存在m，使得sin x=2m+1，x∈R，则m的取值范围是 .
8.(5分)已知函数f(x)=2sin x+1，若f(x)的图象过点则m= ；若f(x)<0，则x的取值集合为 .
9.(10分)用“五点(画图)法”作出函数y=1+2sin x，x∈[0，2π]的图象.
10.(10分)利用正弦曲线，求满足的x的取值范围.
11.(多选)函数y=sin x-1，x∈[0，2π]的图象与直线y=a有一个交点，则a的值为( )
A.-1 B.0
C.1 D.-2
12.与图中曲线(部分)对应的函数解析式是( )
A.y=|sin x|
B.y=sin |x|
C.y=-sin |x|
D.y=-|sin x|
13.(2024·新课标全国Ⅰ)当x∈[0，2π]时，曲线y=sin x与y=2sin 的交点个数为( )
A.3 B.4
C.6 D.8
14.(5分)已知函数f(x)=的解集是 .
15.(5分)已知函数y=2sin x的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为 .
16.(12分)若方程sin x=上有两个实数根，求a的取值范围.
答案精析
1.AD 2.B 3.AD 4.C 5.A
6.C ［由函数y=1+sin x，x∈［0，2π］的图象(如图所示)，
可知其与直线y=有2个交点.］
7.［-1，0］
8.3
9.解 列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
1+2sin x 1 3 1 -1 1
描点、连线得出y=1+2sin x，
x∈［0，2π］的图象如图所示.
10.解 首先作出y=sin x在［0，2π］上的图象，如图所示，
作直线y=，根据特殊角的正弦值，
可知该直线与y=sin x，x∈［0，2π］的图象的交点横坐标为和；
作直线y=，该直线与y=sin x，x∈［0，2π］的图象的交点横坐标为
和.
观察图象可知，在［0，2π］上，
当
依题意a=0或a=-2.］
12.C ［注意图象所对的函数值的正负，可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin|x|>0，而图中显然小于零，因此排除选项B.故选C.］
13.C ［因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π，
函数y=2sin的最小正周期为T=，
所以在x∈［0，2π］上函数y=
2sin有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，
由图可知，两函数图象有6个交点.］
14.
解析 在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y=的图象(图略)，由图可得不等式f(x)>的解集为.
15.4π
解析 数形结合，如图所示，y=2sin x，x∈的图象与直线y=2围成的封闭平面图形的面积相当于由x=，x=，y=0，y=2围成的矩形面积，
即S=×2=4π.
16.解 在同一直角坐标系中作出y=sin x，x∈的图象与y=的图象，
由图象可知，当≤<1，
即-1
