河北省石家庄市辛集中学 2024-2025学年高一上学期1月段考数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
8
1.cos =( )
3
1 √ 3 1 √ 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
2.下列函数既是奇函数又在区间[0, ]内单调递增的是( )
3
1 1
A. ( ) = B. ( ) = 2 C. ( ) = sin| | D. ( ) = sin
2
2
3.函数 ( ) = ln( + 1) 的零点所在的大致区间是( )
A. (3,4) B. (2,3) C. (1,2) D. (0,1)
4.已知 = 0.8， = 2， = sin( )，则 ， ， 的大小关系是( )
5
A. < < B. < < C. < < D. < <
1
5.已知sin(2 + ) = ，则cos( 2 ) =( )
6 3 3
1 2 2 7
A. B. C. D.
3 9 9 9
1 2
6.已知 ， ∈ (0, +∞)，函数 ( ) = 2 + 的图象经过点(4,1)，则 + 的最小值为( )
A. 6 2√ 2 B. 6 C. 4 + 2√ 2 D. 8
7.已知函数 ( ) = 2(
2 + 6)在(1,2)上单调递减，则实数 的取值范围为( )
A. [4,5] B. [4,5)
C. ( ∞, 4) D. [ ∞, 4] ∪ [5, +∞)
7
8.已知定义在 上的偶函数 ( )满足在区间(0,1)内单调递增.若 = cos , = cos , = cos( )，则 ( )，
6 8 5
( )， ( )的大小关系为( )
A. ( ) < ( ) < ( ) B. ( ) < ( ) < ( )
C. ( ) < ( ) < ( ) D. ( ) < ( ) < ( )
9.若函数 ( ) = sin( + )在区间[0, ]上单调递增，则 的取值范围是( )
3 6
1
A. (0,1) B. ( , 1] C. (0,1] D. [1, +∞)
2
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( ) ( )
10.定义：如果函数 = ( )在定义域内给定区间[ , ]上存在 0( < 0 < )，满足 ( 0) = ，则称
函数 = ( )是[ , ]上的“平均值函数”， 0是它的一个均值点，如 =
2是[ 1,1]上的平均值函数，0就
是它的均值点，现有函数 ( ) = 3 + 是[ 1,1]上的平均值函数，则实数 的取值范围是( )
3 3 3 3
A. ( 3, ] B. ( 3, ) C. [ 3, ] D. ( ∞, ]
4 4 4 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
11.下列说法正确的是( )
35
A. tan( )的值是√ 3
3
4
B. 若角 的终边上一点 的坐标为( 3,4)，则 =
5
C. 经过4小时时针转了120°
D. 若角 与 终边关于 轴对称，则 + = + 2 , ∈
2
12.设 ， ， 为△ 的三个内角，则不管三角形的形状如何变化，值为常数的表达式有( )
A. sin( + ) + B. cos( + ) +
+ 2 + C. tan tan D. sin + sin2
2 2 2 2
13.已知函数 ( ) = ( 22 + 2 + 1)， ∈ ，则下列说法正确的是( )
3
A. 若 = 0，则不等式 ( ) < 1的解集为{ | < }
2
1+√ 5
B. 若函数 ( )的定义域为 ，则实数 的取值范围是( , +∞)
2
C. 若函数 ( )的值域为[ 1, +∞)，则实数 = 2
D. 若函数 ( )在区间[2, +∞)上为增函数，则实数 的取值范围是[0, +∞)
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
sin( + ) sin( )
14.化简： 23 = ______．
2 ( ) cos(5 ) tan(3 )
2
+3
15.若角 的终边经过点( 1,1)，则 的值为______．
6 2
16.设函数 ( ) = ln(3 + 2 2)，则 ( )的单调递减区间为______．
2
2( +4) + ( )
17.已知 ( )是定义在 上的奇函数，设函数 ( ) = 2 的最大值为 ，最小值为 ，则 + = +16
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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18.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 + + 3， ( ) = 2 ．
(Ⅰ)若方程 ( ) = 0的根为 1和 ，求 和 的值；
(Ⅱ)若函数 ( )在区间[1,2]上的最小值，与函数 ( )在区间[1,2]上的最小值相同，求 的值；
(Ⅲ)若函数 ( )的图象总在函数 ( )图象的上方，求 的取值范围．
19.(本小题12分)
3
已知函数 ( ) = √ 3sin( ) + 1, ∈ ．
2 3
(1)求函数 ( )的单调递增区间；
2
(2)当 ∈ [0, ]时，求函数 ( )的值域．
3
20.(本小题12分)
1
已知函数 ( ) = (log2 2)(log4 ) 2
(1)当 ∈ [2,4]时．求该函数的值域；
(2)若 ( ) ≥ 4 对于 ∈ [4,16]恒成立，求 的取值范围．
21.(本小题12分)
某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点
的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在
圆的半径为 米，圆心角为 (弧度)．
(1)求 关于 的函数关系式；
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/
米．设花坛的面积与装饰总费用的比为 ，求 关于 的函数关系式，并求出 为何值时， 取得最大值？
22.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 4 2 2 + 的定义域是[ 1, +∞)，且 ( ) = ( ) + ( )．
(1)求函数 = ( )的定义域和值域；
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(2)若函数 = ( )对定义域内任意的实数 1， 2， 3， 4，都有 ( 1) > ( 2) + ( 3) + ( 4)恒成立，
求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
1
14.【答案】
2
1
15.【答案】
4
16.【答案】(1,3)
17.【答案】2
18.【答案】解：(Ⅰ)若 ( ) = 2 + + 3 = 0的根为 1和 ，
1 + =
则{ ，解得 = 3， = 4；
1 × = 3
(Ⅱ)当∈ [1,2]时， ( )在[1,2]上单调递增，
故当 = 1时，函数取得最小值为 (1) = 2，
所以 ( ) = 2 + + 3在[1,2]上的最小值为2，
1 5
当 ≥ 2，即 ≤ 4时， ( )
2
= (2) = 7 + 2 = 2，即 = (舍)，
2
1
当 ≥ 1，即 ≤ 2时， ( ) = (1) = 4 + = 2，即 = 2， 2
1 1 2
当1 < < 2，即 4 < < 2时， ( )
2
= ( ) = 3 = 2，解得 = 2或 = 2(都舍)，
2 4
综上， = 2；
(Ⅲ)若函数 ( )的图象总在函数 ( )图象的上方，
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则 2 + + 3 > 2 恒成立，即 2 + ( 2) + 3 > 0恒成立，
所以 = ( 2)2 12 < 0，解得2 2√ 3 < < 2 + 2√ 3，
故 的范围为{ |2 2√ 3 < < 2 + 2√ 3}.
3
19.【答案】解：(1) ( ) = √ 3sin( ) + 1, ∈ ，
2 3
3
令2 ≤ ≤ 2 + ( ∈ )，
2 2 3 2
4 4 5
解得 ≤ ≤ + ( ∈ )，
3 9 3 9
4 4 5
故函数 ( )的单调递增区间为[ , + ]( ∈ )；
3 9 3 9
2 3 2
(2)当 ∈ [0, ]时， ∈ [ , ]，
3 2 3 3 3
3 √ 3
∴ sin( ) ∈ [ , 1]，
2 3 2
1
∴函数 ( )的值域为[ , √ 3 + 1]．
2
1 1
20.【答案】解：(1) ( ) = (log2 2)(log4 ) = (2 4 2)( 4 ), 2 2
1
令 = 4 ,当 ∈ [2,4]时, ∈ [ , 1]， 2
1 3 1 1 1
此时， = (2 2)( ) = 2 2 3 + 1 = 2( )2 ，∵ ∈ [ , 1]，∴ ∈ [ , 0]，
2 4 8 2 8
1
所以函数的值域为[ , 0]．
8
(2) ( ) ≥ 4 对于 ∈ [4,16]恒成立，
1
即2 2 3 + 1 ≥ 对 ∈ [1,2]恒成立，∴ ≤ 2 + 3 对 ∈ [1,2]恒成立，
1
易知 ( ) = 2 + 3 在 ∈ [1,2]上单调递增，∴ ( ) = (1) = 0，∴ ≤ 0．
即 的取值范围是( ∞, 0].
21.【答案】解：(1)由题意，30 = + 10 + 2(10 )，
10+2
∴ = (0 < < 10)；
10+
1 1
(2)花坛的面积为 10 10 = (100 2) = (10 )(5 + )；
2 2 2
装饰总费用为 9 + 10 9 + 2(10 ) 4 = 9 + 90 + 8(10 ) = 170 + 10 ，
(10 )(5+ )
∴花坛的面积与装饰总费用的比为 = ．
170+10
令17 + = ，
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39 1 324 3 12
则 = ( + ) ≤ ，当且仅当 = 18时取等号，此时 = 1， = ，
10 10 10 11
3
∴当 = 1时， 取得最大值 ．
10
≥ 1
22.【答案】解：(1)由{ ，解得 1 ≤ ≤ 1，
≥ 1
所以函数 = ( )的定义域为[ 1,1]，
又 = ( ) = ( ) + ( ) = 4 + 4 2(2 + 2 ) + 2 ，
令 = 2 + 2 ，则4 + 4 = (2 + 2 )2 2 = 2 2
5
所以函数 = 2 + 2 在[ 1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，所以 ∈ [2, ]，
2
而 = ( ) = 2 2 2 + 2 = ( 1)2 + 2 3，
所以当 = 2时，即 = 0时， ( ) = 2 2
5 3
当 = 时，即 = 1或1时， ( ) = 2 ， 2 4
3
所以函数 = ( )的值域为[2 2,2 ]．
4
(2)由任意实数 1， 2， 3， 4，都有 ( 1) > ( 2) + ( 3) + ( 4)恒成立，
问题转换为[ ( 1)] > [3 ( )] ，
9
①当 = 0时，0 > 恒成立；
4
3
②当 > 0时，由[ ( 1)] > [3 ( )] ，得 (2 2) > 3(2 )， 4
9 8 √ 46 8+√ 46
即2 2 8 + > 0，即8 2 32 + 9 > 0，解得0 < < 或 > ；
4 4 4
3 3
③当 < 0时，由[ ( 1)] > [3 ( )] ，得 (2 ) > 3(2 )，解得 < 0， 4 4
8 √ 46 8+√ 46
所以实数 的取值范围为{ | < 或 > }.
4 4
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