中考数学人教版《二次函数》知识点专项能力训练
一、单选题
1．二次函数（为常数），当时，的最大值为，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．将抛物线沿轴翻折，则变换后抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
3．如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图像是（ ）
A． B．C． D．
4．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②；③一元二次方程有两个不相等的实数根：④．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．③④
5．如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，已知它的对称轴为直线，小丽同学得出了以下结论：①；②；③；④．其中正确的序号为( )
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
6．约定：当时，代数式的值记为；当时，代数式的值记为．若，且，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
7．已知二次函数，当时函数值有最小值，且函数图象向右平移3个单位后经过坐标原点，则的值为（ ）
A． B．或 C．或1 D．1
8．抛物线的对称轴为，与轴的一个交点坐标为，与y轴交于点，其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A． B．当时，
C． D．关于的方程有两个不等的实数根
9．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”． 已知点，，，分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为
D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，直线与交于点，则不等式的解集为 ．
12．已知二次函数的图象经过点、，那么该二次函数图象的对称轴为直线 ．
13．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ．
14．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是，那么原抛物线的顶点的横坐标是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点是二次函数的图象的顶点，点，的坐标分别为，，将沿轴向下平移使点到点，再绕点逆时针旋转，若此时点，的对应点，恰好落在抛物线上，则的值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，这条抛物线的对称轴与轴交于点，以为边作菱形，若菱形的顶点，在这条抛物线上，则的值为 ．
17．如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，点B为y轴上一点，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，若点C恰好落在抛物线上，则点C的坐标为 ．
18．如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②当时，；③；④．其中正确的是 ．（只填写序号）
19．二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图，若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．
20．如图，点，，，分别在菱形的四条边上，，连接，，，，得到四边形，．设四边形的面积为，的长为，若关于的函数图象如图所示，则的长为 ．
三、解答题
21．已知二次函数．
(1)该二次函数的顶点坐标为____________；
(2)求这条抛物线与x轴和y轴的交点坐标，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象，并求出以这些交点为顶点所构成的图形的面积．
22．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C．
(1)求C点的坐标；
(2)连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标．
23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)点P是直线下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，的面积最大？求此时点P的坐标及面积的最大值．
24．已知：二次函数．
(1)当时，
①求这个二次函数的解析式及其对称轴；
②已知点与分别在该拋物线对称轴两侧的图象上，且，求m的取值范围；
(2)将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数图象在的范围内有最大值为，求k的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点．A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形面积的最大值．
26．如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长；
(2)求出下边缘抛物线落地点B的坐标；
27．如图，抛物线交轴于，两点在左边），交轴于点，点是第二象限内抛物线上任意一点，其横坐标为．
(1)直接写出点，，的坐标；
(2)如图1，连接，过点作直线轴，交于点．当线段的长度最大时，求点的坐标；
(3)如图2，连接，，过点作直线，交轴于点．若平分线段，求直线的解析式．
28．如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设四边形的面积为，求的最大值；
(3)如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1-10 DDBCA BCCDC
11．
12．
13．
14．2
15．
16．
17．或
18．②③
19．
20．
21．（1）解：，
∴抛物线的顶点坐标为；
故答案为：；
（2）当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
当时，，
解得，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，
如图，
这条抛物线与x轴和y轴的交点所组成的三角形的面积．
22．（1）解：将代入抛物线解析可得：
解得：．
∴，
当时，，
∴C点的坐标为；
（2）设与轴的交点为，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得：，令，则，
解得：，，
∴，
∴，
在中，，解得：，
∴，
设直线的解析式为，
将代入可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，
解得：（不合题意，舍去）或，
当时，，
∴D点的坐标为：
23．（1）解：由题意，将和分别代入中，得
，解得，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：对于，当时，，
∴，
设直线的函数表达式为，
将代入，得，解得，
∴直线的函数表达式为，
过作y轴的平行线交于H，如图，
设，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为54，此时点P坐标为．
24．（1）解：①当时，
二次函数的解析式为，
配方可得：，
对称轴是直线；
②点与分别在该抛物线的图象上，
，，
，
，
解得：，
点与分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，
，
，
．
（2）解：二次函数的解析式为，配方可得：，
将二次函数图象向右平移个单位长度，
平移后的二次函数的解析式为，
若，
①当时，
由对称性可得，当时，y有最大值，
把代入，得，
解得：，，
，
；
②当时，
由对称性可得，当时，y有最大值，
把代入，得，
解得：，，
，
；
若，
当时，在的范围内y的最大值是，而不是，
不符合题意，舍去．
综上，k的值为或．
25．（1）解：将两点坐标代入，
得，
解得，
；
（2）解：设，
将，代入，
，
解得
故，
，
对称轴，
设点，
由题意可知，点和点关于对称，
当点在上时，的周长最小，
此时点，
；
（3）解：过点作轴的平行线与交于点，与交于点，设点的横坐标为，则，，
由（2）得，
则点的坐标为，
，
，
当时，四边形的面积最大，
此时点的坐标为，四边形的面积最大为．
26．（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又抛物线过点，
，
，
上边缘抛物线的函数解析式为，
当时，，
解得，（舍去），
喷出水的最大射程为；
（2）解：由（1）知点
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
点的坐标为．
27．（1）解：在中，令得，
令得，
解得或，
；
（2）解：设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
直线的解析式为，
点在第二象限的抛物线上，点在直线上，
，，，
，
当时，最大，
此时点的坐标为；
（3）解：设直线的解析式为，将代入得，
解得，
直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，将代入得，
，
，
直线的解析式为，
，
线段的中点坐标为，
平分线段，
线段的中点在直线上，
将代入得，
解得：，，（舍去）
直线的解析式为
28．（1）解：将，代入，得：
，
，
；
（2）解：过点P作轴于点N，如图所示，
令，则，
∴，
∴，
∵P为第四象限内抛物线上一点，设点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∵
∴当时，S有最大值，．
（3）解：如图，
∵轴，轴，
∴，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
．
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