专题九 平面直角坐标系与函数（综合测试）——中考数学一轮复习备考合集
【满分：120】
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.铜仁市少数民族众多,如图是带有苗族元素的刺绣花,它是一个轴对称图形,将其放置在平面直角坐标系中,如果图中点A的坐标为,其关于y轴对称的点B的坐标为,则的值为( )
A. B. C.5 D.1
2.向一个容器内均匀地注入水,液面升高的高度y与注水时间x满足如图所示的图象,则符合图象条件的容器为( )
A. B.
C. D.
3.在函数中，自变量x的取值范围是( )
A. B. C.且 D.且
4.已知,,那么点关于y轴的对称点Q在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.是一种新型的半导体陶瓷材料，它有一个根据需要设定的温度，称为“居里点温度”，低于这个温度时，其电阻值随温度的升高而减小，高于这个温度时，电阻值则随温度的升高而增大用材料制成的电热器具有发热控温双重功能，应用十分广泛.如图1是某款家用电灭蚊器，它的发热部分就使用了发热材料，其电阻值随温度变化的关系图象如图2所示，下列说法不正确的是( )
A.由图2可知，该发热材料的“居里点温度”是
B.当时，该发热材料的电阻值为
C.当时，
D.发热部分的电阻值随温度的升高而增大
6.如图,将正方形先向右平移,使点B与原点O重合,再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转,得到四边形,则点A的对应点的坐标是( )
A. B. C. D.
7.如图，关于x的函数y的图象与x轴有且仅有三个交点，分别是，，，对此，小华认为：
①当时，；
②当时，y有最小值；
③点在函数y的图象上，符合要求的点P只有1个；
④将函数y的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.
其中正确的结论有( )
A.①②③ B.②③④ C.②④ D.③④
8.在平面直角标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”，现有以下结论：
①第一象限内有无数个“吉祥点”；
②第三象限内不存在“吉样点”；
③已知点，，若点P是“吉祥点”且在坐标轴上，则点P到直线的距离为8；
④已知点，，若点Q是第一象限内的“吉祥点”三角形的面积记为S，则.其中正确的是( )
A.①② B.①②③ C.③④ D.①②④
9.如图，在平面直角坐标系中，，，，如果在梯形内有一点，使得，，那么的值为( ).
A. B. C. D.
10.在平面直接坐标系中，点，，，轴，点Q的纵坐标为m.则以下说法错误的是( )
A.当，点B是线段的中点
B.当，点P一定在线段上
C.存在唯一一个m的值，使得
D.存在唯一一个m的值，使得
11.如图1,点D在边上,点E是上的一动点,点F是的中点,连接,设,,图2是点E运动时y随x变化的关系图像,其中点H是函数图像的最低点,则n的值为( )
A.24 B.26 C.28 D.30
12.如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点B，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点B的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点B的坐标为，则点的坐标为( ).
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则点在第______象限．
14.如图1,在中,动点P从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止.设点P的运动路程为x,线段的长度为y,图2是y与x的函数关系的大致图象,其中点F为曲线的最低点,则的高的长为_______.
15.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，……，根据这个规律探索可得第2021个点的坐标是___.
16.小华和小兰两家相距2400米，他们相约到两家之间的剧院看戏，两人同时从家出发匀速前行，出发15分钟后，小华发现忘带门票，立即以原来速度的倍返回家中，取完东西后仍以返回时的速度去见小兰；而小兰在出发30分钟时到达剧院，等待10分钟后未见小华，于是仍以原来的速度，从剧院出发前往小华家，途中两人相遇.假设小华掉头、取票时间均忽略不计.两人之间的距离y（米）与小华出发时间x（分钟）之间的关系如图所示，则当两人相遇时，小兰距离剧院有_____米.
17.如图，在平面直角坐标系中，点B坐标，连接OB，将OB绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为_________.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）如图,三个顶点的坐标分别为,,.
(1)请写出关于x轴对称的的各顶点坐标；
(2)请画出关于y轴对称的；
(3)在x轴上求作一点P,使点P到A、B两点的距离和最小,请标出点______.
19.（8分）阅读下列材料
材料一：我们知道,求数轴上两点之间的距离,可借助这两个点所表示的数来求.
例如：如图1,数轴上点A表示的数是,点B表示的数是,则点A,B之间的距离为.
问题：如何求在平面直角坐标系中任意两点之间的距离？
探究：如图2,,是平面直角坐标系中任意两点,过A,B两点分别向x轴、y轴作垂线,过A垂直于y轴的直线与过B垂直于x轴的直线相交于点C.在中,,,,.
.
结论：平面直角坐标系中任意两点,之间的距离公式为：.
材料二：如图,在平面直角坐标系中,以点为圆心,以r为半径的圆上有任一点,由材料一：及“圆上任一点到定点(圆心)的距离都等于定长(半径)”可得：.整理得：.
我们称此等式为以点为圆心,以r为半径的圆的方程.
根据上面的信息,回答问题：
(1)填空：以点为圆心,以3为半径的圆的方程是______；
(2)求点,之间的距离；
(3)判断是否是表示圆的方程？如果是,求出圆的圆心坐标与半径；如果不是,请说明理由.
20.（8分）阅读与思考
在函数的学习过程中,我们利用描点法画出函数的图象,并借助图象研究该函数的性质,最后运用函数解决问题.现我们对函数(x的取值范围为任意实数)进行探究.
(1)请将下面的表格补充完整.
X … 0 1 2 3 …
… 4 ___ 2 1 0 ___ 2 …
(2)请根据上表中的数据,在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象,并填写：当时,y的值随x值的增大而_________.
(3)请在如图所示的平面直角坐标系中画出正比例函数的图象,并直接写出不等式的解集.
21.（10分）问题背景：某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米.已知底面造价为k千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米.
(1)设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得：水池底面另一边长为米，可得y与x的函数关系式为：.
(2)若底面造价为1千元，则得y与x的函数关系式为.
问题初探：某数学兴趣小组提出：一次函数的图像可以由正比例函数的图像向上(下)平移个单位得到：受此启发，给定一个函数：为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，对进行如下图象探索：
列表如下
x 1 2 3 4
y m 3 n
(3)请直接写出m，n的值：
(4)请在平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象.
(5)请结合函数的图象，写出当________，y有最小值为______；
学以致用
根据以上信息，若底面造价为3千元，请回答以下问题：
(6)y与x的函数关系式为.
(7)当水池底边长分别为米时，水池总造价的最低费用为千元；
(8)若该农户预算不超过5.5千元，请直接写出x的值应控制在什么范围
22.（12分）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图（1））.制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧的A处固定一个金属吊钩，作为秤砣；
第二步：取一个质量为的金属物体作为秤砣.
（1）图（1）中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量.当重物的质量变化时，OB的长度随之变化.设重物的质量为，的长为.写出y关于x的函数表达式；若，求x的取值范围.
（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图（2）.设重物的质量为，的长为，写出y关于x的函数表达式，完成下表，画出该函数的图象.
… 0.25 0.5 1 2 4 …
… ______ ______ ______ ______ ______ …
23.（13分）对于平面直角坐标系中的点A和点P，若将点P绕点A逆时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”，图1为点P关于点A的“垂链点”Q的示意图.
（1）已知点A的坐标为，点P关于点A的“垂链点”为点Q；
①若点P的坐标为，则点Q的坐标为_______________；
②若点Q的坐标为，则点P的坐标为__________；
（2）如图2，已知点C的坐标为，点D在直线上，若点D关于点C的“垂链点”在坐标轴上，试求出点D的坐标；
（3）如图3，已知图形G是端点为和的线段，图形H是以点O为中心，各边分别与坐标轴平行的边长为6的正方形，点M为图形G上的动点，点N为图形H上的动点，若存在点，使得点M关于点T的“垂链点”恰为点N，请直接写出t的取值范围.
答案以及解析
1.答案：D
解析：∵点A的坐标为,其关于y轴对称的点B的坐标为,
∴,,
∴.
故选：D.
2.答案：B
解析：由图象可知有两个阶段,相比较而言,后一个阶段,用时较少,高度增加较快,那么上面的物体应较细.
所以符合图象条件的容器为B.
故选：B.
3.答案：D
解析：由题意得：且，
解得：且，
故选：D.
4.答案：C
解析：,
,,
点位于第四象限,
点关于y轴的对称点在第三象限.
故选：C.
5.答案：D
解析：A、由图2可知，该发热材料的“居里点温度”是，说法正确，不符合题意；
B、由题图2可知，当时，该PTC发热材料的电阻值为，说法正确，不符合题意；
C、由题图2可知，当，说法正确，不符合题意；
D、当高于时，发热部分的电阻值随温度的升高而增大，故说法错误，符合题意，
故选：D.
6.答案：A
解析：由正方形ABCD先向右平移,使点与原点重合,
得,
由再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转
得.
故选:A.
7.答案：C
解析：由函数图象可得：
当时，或；故①错误；
当时，y有最小值；故②正确；
点在直线上，直线与函数图象有3个交点，故③错误；
将函数y的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点，故④正确；
故选：C.
8.答案：D
解析：由横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”，
则①第一象限内有无数个“吉祥点”，故说法①正确；
②第三象限的横、纵坐标都为负数，
第三象限内不存在“吉样点”，故说法②正确；
③，，
轴，
点P是“吉祥点”且在坐标轴上，
点或，
则P到直线的距离为2或8，故说法③错误；
④，，
轴，，
点Q是第一象限内的“吉祥点”，
设，则有：，
根据题意可知：，
则：，故说法④正确；
综上可知，说法①②④正确；
故选：D.
9.答案：D
解析：如图，过点D作于点E，
梯形的面积为：，
，
，即，
，
解得，
，
，
，
，
解得，
，
故选D.
10.答案：D
解析：点，，，
当，则，，，
，即点B是线段的中点，故A选项正确；
点，，，
当，则，则点P在A点的右侧，
又，即点P在店B的左侧，
当，点P一定在线段上，故B选项正确；
轴，点Q的纵坐标为m，
，
，，
当时，
则（无解）或
解得：，故C选项正确；
当时，则或
解得：或，故D选项错误，符合题意，
故选：D.
11.答案：C
解析：如图,
取中点P,取中点Q,连接,,
由图2可知,当时,,
∴当时,,即当E与B重合时,,
∵此时E与B重合,F为的中点,即F为的中点,
∴,
同理当E与D重合时,即时,,
∵P,Q分别为,的中点,
∴为的中位线,
∴,,
同理可证是的中位线,
∴,,
∴点F在上,
∴当时,的值最小,即此时的y值最小,
过点A作于,连接并延长交于,由图2可知,
∴,,
∴,
∴,
∴点E与点D重合时,取得最大值n,
∴,
故选：C.
12.答案：C
解析：轴，点B的坐标为，
，则点A的纵坐标为3，代入，
得：，则点A的坐标为.
，，
，
由旋转可知，，，，
，，
，
.
设点的坐标为，
则，
解得或（舍去），则，
点的坐标为.
故选C.
13.答案：四
解析：
,
点N在第四象限,
故答案为：四
14.答案：/
解析：如图过点A作于点Q,当点P与Q重合时,在图2中F点表示当时,点P到达点Q,此时当P在上运动时,最小,
∴,,
在中,,
∴
∵,
∴,
故答案为：.
15.答案：
解析：把第一个点作为第一列，和作为第二列，
依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，
第n列有n个数.则n列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上.
因为，则第2021个数一定在第64列，由下到上是第5个数.
因而第2021个点的坐标是.
故答案为：.
16.答案：120
解析：由题意得，
小华从发现没带门票到返回家中拿到票所用时间为10分钟，
当小华拿到门票时，小兰用25分钟走了（米），
小兰的速度：（米分），
小兰家与剧院的距离为（米），
小华家与剧院的距离为（米）；
又他们从家出发15分钟后，两人相距1200米，
，即，
解得，（米分），
小华后来的速度为（米分）；
设小华再次从家出发到两人相遇所用时间为分，
则，
解得，，
两人相遇时，小兰与剧院的距离为（米）.
故答案为：120.
17.答案：
解析：如图，过点B作轴于点A，过点作轴于点C，
将OB绕点O逆时针旋转，得到，
，，
，
，
，
又，
，
，，
.
故答案为：.
18.答案：(1),,
(2)图见解析
(3)
解析：(1)∵与关于轴对称,,,
∴,,；
(2)如图,点,,分别为点A,B,C的对应点,
连接,,,
则即为所作；
(3)如图,作点A关于x轴的对称点,连接,与x轴交于点P,连接,
∴,
此时点P到A、B两点的距离和最小,则点P即为所作,且点P的坐标为.
故答案为：.
19.答案：(1)
(2)
(3)是,圆心坐标为,圆的半径为
解析：(1)根据题意,得以点为圆心,以3为半径的圆的方程是,
故答案为：.
(2)根据题意,得.
(3)是,
∵,
∴,
故是圆的方程,
且圆心坐标为,圆的半径为.
20.答案：(1)见解析
(2)图见解析,增大
(3)图见解析,解集为
解析：(1)由题意,填表得,
X … 0 1 2 3 …
… 4 3 2 1 0 1 2 …
(2)根据题意,画图象,如图；
由图象可知,当时,y的值随x值的增大而增大.
故答案为：增大；
(3)如图,画出直线的图象,
由图象可知,
当时,,
当时,,
不等式的解集为.
21.答案：(1)，
(2)
(3)，
(4)见解析
(5)1，3
(6)
(7)1，5
(8)
解析：(1)水池底面一边长为x米，底面积为1平方米，
水池的另一边长米；
底面造价为k千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，
.
故答案为：，；
(2)底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，
.
故答案为：；
(3)当时，；
当时，；
(4)
(5)由图象可得，当时，y最小.
故答案为：1，3；
(6)底面造价为3千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，
.
故答案为：；
(7)由函数平移的性质可得：函数是由函数向上平移2个单位得到的，
函数的最低点的坐标为，
函数的最低点的坐标为.
故答案为：1，5；
(8)
该农户预算不超过5.5千元，函数是由函数向上平移2个单位得到的，
找到函数图象上纵坐标不超过3.5千元的点对应的x的值即可.
.
22.答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）阻力×阻力臂=动力×动力臂，
重物重力秤砣重力.
，重物的质量为，的长为，秤砣的质量为，
，.
，随x的增大而增大.
当时，；当时，，
.
（2）阻力×阻力臂=动力×动力臂，
秤砣的重力重物的重力.
，重物的质量为，的长为，秤砣的质量为，
，.
当时，；
当时，；
当时，；当时，；
当时，.
故答案为4，2，1，，.
作函数图象如图：
23.答案：（1）①
②
（2）或
（3）或
解析：（1）点A的坐标为，即点A是原点，根据旋转性质得：①点②点，
故答案为，
（2）①当点D在第一象限时，点D关于点C的“垂链点”在x轴上，
轴，
故点；
②当点D在第二象限时，如下图，设点，点，
点D的“垂链点”在y轴上，
过点D作轴于点H，
，，
，
，，
，
则，即，解得：，
故点，
综上，点或，
（3）图形G所在的直线表达式为：，
设点，其中，
当N落在正方形的右边的一条边上，
①当T在x轴上方时，如下图：
分别过M、N作y轴的垂线交于点、，
同理可证：M，
，即，，
而，且，
则；
②当T在x轴下方时，
当时，点M关于点T的“垂链点”恰好为N在正方形的边上，
故；
当点T在下方时，且，
同理可得：，解得：且，不符合题意舍去；
当N点落在正方形的上面的一条边上时，同理可得：，而，且，
解得：，
综上，t的取值范围是：或.
