”
1×［， L
2 才lH"l
则当n→＋ω时，P＝ ，
故甲获胜的概率为；
18.解： (1) 因为点M,N 是圆。与椭圆 C 的公共点 t
所以 r = l,b = 1
又M,N和椭圆的一个焦点是等腰直角三角形的三个顶点．
所以 c=l a=.fi.,
所以椭圆 C 的方程为专＋卢1
(2) (i）因为过点λ4 的直线 l 交圆。和椭圆C 分别于 A,B 两点，
所以直线的斜率存在 ， 则可设直线l的方程为y ＝ 批＋ l(k 手0),
ly=kχ ＋ l
I 4 -4k -
2
由才 x2 ' ，得（
2k +1
2k2 + l)x2 + kx = 0 ，贝lj可得B（ 一 ， 一τ一一－－－；；－ ）
｜τ ＋y'' = l 2旷＋ 1 2k'- + 1
[y = kx+I -2k -k2 +l 同理，由｛ 空 ，解空 得A（一「一 ， 一了一一）I x" + y" = 1 k'- + 1 k'- + 1
又已知点λ1(0,1),
一一 -4
则 ＝（一一－一k
-2k2
一一一一一+ 1
一一 -2 - 2 一 ＝（ k －－－－：，k + 1MB 1). MA 一一 一一气 一 1)2k2 ’ 2 2 +1 2k2 +1 k +1 k + 1
－一 － -4k -2k
因为 3lv1B = 4MA => 3× 一－－－－－－：：；－ ＝4× 一2k'- －－－－：：；－1 k'-+ + 1
因为k-:t=O，，所以k = ±l,'
所以直线l的方程为y=x+l 或y=-x+l
（让）解法一 ：根据题意可知 NAl_MA 设仙 ＝ k 则 n ＝士
8
由 m= %n 得出 mk=-%
-4
可得 k -2k
2
+ 1 - 4m
由 -2m
2
+ 1
（i） B（ 一， 一一－－－－；－－－－；－ 了一），同理得P（一τ一一 ， 一－－－－－－；－－－一一）2k + 1 ie + 1 2m甸 ’+ 1 三m ＋l
由对称性可得PB经过Y轴上一定点T(O,t）） 由P,B,T三点共线可得：
-2k2 + 1 -2m2 + I
ι ＝凡，从而t ＝ t 写＋I
玄古
2k2 +I 2m2 + I
. t(2k2 2 整理可得． + 1) +2 k -1 ＝t 2( m
2 + 1) +2 m2 -1
k m
化简可得： t-( 3k +m)- 3k-m= t(-3m +k)- 3m-k
川忡2)=0叫 -:t;kt=-1
所以直线 m 过定点（0才
） I 3 设P(x1> y1 ),B(x2 ,A ，则 ＝一s × 一 lliMPB x1 -2 2 x2 I,
显然PB斜率存在 ， 设kPB =S
y=sx-2
由 得协旷却亏＝ 0
亏＋ 2 y =l
｜川， I＝乓
二ts-+古，1
令 J石 ＝q(q注../6)
q ../6时什单调递增 q=-.J6, 即s=O时有最大值%../6,
综上：当时率为0时三角形M町积有最大值%../6.
9
解法二：根据题意可知 NA 上拙，凡 ＝ k 贝加
3
由m一－－n f寻出 mk=-I.’
2 2
方程（y-1 一 批）（y-1 -mx) = 0表示直线λ4P,A侣 ，
上式可化为 (y-1)2 -(k +m)x(y-l）＋ 切配2 =0 （＊）
由手 y2 =1 得 x2 = 2(1-y2 ) ， 代入（＊）式则有
(y-1)2 一 （k+m)x(y-1)+ 2km(l-y2 ) = 0,
即 (y-l)[(y 一 1） 一 （k+m)x-2km(I+y)]=O
则点 P,B 的坐标满足方程（y-1） 一 （k+m)x-2切1(1 + y) = 0,
又过点 M 的直线唯一 旦时＝－%
所以直线PB 方程为 （4y+2)-(k+m)x=O,
｛ 1令 x－nu m川h直线PB过足 川占 ／，‘、nυ－、‘，／
2
下同解法一 ．
19. (1）数列 Y 可以为3,1,0,2 2,1,3,0 3,0,2,1 1,3,2,0. （写对两个即可）
(2) ( i ）由数列Z和X可以构成数表1
。 I n 1 I 2 I
X I I 乓｜ χ Xo x, 1 "
因为X和Z 关于 S 封闭 ， 所以鸟和 Ji-x,j 取遍 0,1,2,. - －判
所以艺（i －矿＝Ix 2 ＝艺；
2
i
因为艺（i-x} ＝ 艺（;2 -2ix, + x/ ) ＝艺i2 -2艺叫＋艺x,.2
以2驴专 n(n+l)(2n+l) 2 = 6
所以邱）＝艺j － ＝室主 ＝巴
同 n(n+l) n(n+l) 6
（且）交换数表1中的两行 ， 记该过程为第一次操作 ， 得到数表2
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