13.1.1 棱柱、棱锥和棱台
［学习目标］ 1.通过观察实例，概括出棱柱、棱锥、棱台的定义.2.掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征及相关概念.3.能说出棱柱、棱锥、棱台的性质，并会画简单的棱柱、棱锥、棱台.4.掌握多面体的侧面展开图的性质.
一、棱柱的结构特征
问题1 仔细观察下面的空间图形，你能发现它们可以怎样形成？
知识梳理
棱柱的结构特征
类别 定义 图形及表示 相关概念 命名
棱柱 一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF—A'B'C'D'E'F' 底面：平移起止位置的两个面； 侧面：多边形的边平移所形成的面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与底面的公共顶点 底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
例1 (1)(多选)下列关于棱柱的说法正确的是( )
A.所有的面都是平行四边形
B.每一个面都不是三角形
C.两底面平行，并且各侧棱也平行
D.被平面截成的两部分可以都是棱柱
(2)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的空间图形还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
反思感悟 棱柱结构的辨析方法
(1)扣定义：判定一个空间图形是不是棱柱的关键是棱柱的定义.
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是平行四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
(2)举反例：通过举反例，如与常见空间图形或实物模型、图片等不吻合，给予排除.
跟踪训练1 下列说法正确的是( )
A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形
二、棱锥、棱台的结构特征
问题2 与问题1中的图形对比，下列空间图形是由问题1中的空间图形发生了怎样的变化得到的？
问题3 如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分又是什么样的空间图形？
知识梳理
1.棱锥的结构特征
类别 定义 图形及表示 相关概念 命名
棱锥 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥 如图可记作：棱锥S—ABCD 底面：多边形面； 侧面：有一个公共顶点的各个三角形面； 侧棱：相邻侧面的 ； 顶点：由棱柱的一个底面收缩而成 按底面多边形的 分：三棱锥、四棱锥……
2.棱台的结构特征
类别 定义 图形及表示 相关概念 命名
棱台 用一个 的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台 如图可记作： 棱台ABCD—A'B'C'D' 上底面：原棱锥的 ； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 由三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台……
例2 (1)(多选)下列说法中，正确的是( )
A.棱锥的各个侧面都是三角形
B.三棱锥的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C.棱锥的侧棱平行
D.有一个面是多边形，其余各面是三角形的空间图形是棱锥
(2)有下列四种叙述：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
④棱台的侧棱延长后必交于一点.
其中正确的有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
跟踪训练2 下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是 .
三、棱柱、棱锥、棱台的画法
例3 画出一个三棱柱和一个四棱台.
反思感悟 在平面几何图形中，虚线表示作的辅助线，但在空间图形中，虚线表示被遮挡的线.在空间图形中作辅助线时，被遮挡的线作成虚线，看得见的线仍作成实线.作图时要使用铅笔、直尺等，力求准确.
跟踪训练3 画出分别满足下列条件的空间图形.
(1)使它是一个四棱柱；
(2)使它是由两个三棱锥组成的空间图形；
(3)使它是五棱锥.
四、多面体的侧面展开图
知识梳理
多面体
定义 由若干个 围成的空间图形
图形
相关概念 面：围成多面体的各个 ； 棱：相邻两个面的 ； 顶点：若干个面的公共顶点
例4 某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)( )
跟踪训练4 如图是三个空间图形的表面展开图，请问各是什么空间图形？
1.知识清单：
(1)棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
(2)棱柱、棱锥、棱台的画法.
(3)多面体的侧面展开图.
2.方法归纳：举反例法、定义法.
3.常见误区：棱台的结构特征认识不清.
1.如图所示的空间图形中，不是棱锥的为( )
2.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个空间图形为( )
A.四棱柱 B.四棱锥
C.三棱柱 D.三棱锥
3.(多选)下列说法不正确的是( )
A.棱台的两个底面相似
B.棱台的侧棱长都相等
C.棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台
D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
4.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为 cm.
答案精析
问题1 图中空间图形分别由平行四边形、三角形、五边形、六边形沿某一方向平移得到.
例1 (1)CD
(2)解 ①是棱柱，且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.
②是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.
跟踪训练1 D
问题2 由各棱柱的一个底面收缩为一个点得到(图中空间图形为棱锥).
问题3 棱台.
知识梳理
1.公共边 边数
2.平行于棱锥底面 截面
例2 (1)AB (2)B
跟踪训练2 ①②
例3 解 (1)画三棱柱可分三步完成：
第一步，画上底面——画一个三角形；
第二步，画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段；
第三步，画下底面——顺次连接这些线段的另一个端点(如图所示，被遮挡的线要画成虚线).
(2)画四棱台可分三步完成：
第一步，画一个四棱锥；
第二步，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段；
第三步，将多余的线段擦去(如图所示，被遮挡的线要画成虚线).
跟踪训练3 解 如图所示：图1是一个四棱柱，图2是一个由两个三棱锥组成的空间图形，图3是一个五棱锥.
知识梳理
平面多边形 多边形 公共边
例4 A
跟踪训练4 解 在图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；在图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；在图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点.把表面展开图还原为原空间图形，如图所示：
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台.
随堂演练
1.A 2.B 3.BCD 4.12(共84张PPT)
第13章
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13.1.1
棱柱、棱锥和棱台
1.通过观察实例，概括出棱柱、棱锥、棱台的定义.
2.掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征及相关概念.
3.能说出棱柱、棱锥、棱台的性质，并会画简单的棱柱、棱锥、棱台.
4.掌握多面体的侧面展开图的性质.
学习目标
导 语
观察所给的图片，这些图片你都不陌生吧.小到精巧的家居装饰，大到宏伟的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美.
如果我们只考虑这些物体的形状和大小，那么抽象出来的就是空间图形，本节我们就开始研究这些空间图形.
内容索引
一、棱柱的结构特征
二、棱锥、棱台的结构特征
随堂演练
三、棱柱、棱锥、棱台的画法
四、多面体的侧面展开图
课时对点练
棱柱的结构特征
一
提示 图中空间图形分别由平行四边形、三角形、五边形、六边形沿某一方向平移得到.
仔细观察下面的空间图形，你能发现它们可以怎样形成？
问题1
棱柱的结构特征
类别 定义 图形及表示 相关概念 命名
棱柱 一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF— A'B'C'D'E'F' 底面：平移起止位置的两个面； 侧面：多边形的边平移所形成的面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与底面的公共顶点 底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
棱柱必须同时满足三个条件：①有两个面互相平行；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两个四边形的公共边互相平行.
注 意 点
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(1)(多选)下列关于棱柱的说法正确的是
A.所有的面都是平行四边形
B.每一个面都不是三角形
C.两底面平行，并且各侧棱也平行
D.被平面截成的两部分可以都是棱柱
例 1
√
√
A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形.
B错误，棱柱的底面可以是三角形.
C正确，由棱柱的定义易知.
D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.
(2)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
是棱柱，且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的空间图形还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.
反
思
感
悟
(1)扣定义：判定一个空间图形是不是棱柱的关键是棱柱的定义.
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是平行四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
(2)举反例：通过举反例，如与常见空间图形或实物模型、图片等不吻合，给予排除.
棱柱结构的辨析方法
下列说法正确的是
A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形
跟踪训练 1
√
选项A，B都不正确，反例如图所示.
选项C也不正确，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体.
根据棱柱的定义知选项D正确.
二
棱锥、棱台的结构特征
提示 由各棱柱的一个底面收缩为一个点得到(图中空间图形为棱锥).
与问题1中的图形对比，下列空间图形是由问题1中的空间图形发生了怎样的变化得到的？
问题2
提示 棱台.
如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分又是什么样的空间图形？
问题3
1.棱锥的结构特征
类别 定义 图形及表示 相关概念 命名
棱锥 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥 如图可记作：棱锥S—ABCD 底面：多边形面； 侧面：有一个公共顶点的各个三角形面； 侧棱：相邻侧面的_______； 顶点：由棱柱的一个底面收缩而成 按底面多边形的 分：三棱锥、四棱锥……
公共边
边数
棱锥必须同时满足两个条件：①有一个面是多边形；②其余各面都是三角形，且有一个公共顶点.
注 意 点
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类别 定义 图形及表示 相关概念 命名
棱台 用一个______ ________的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台 如图可记作： 棱台ABCD—A'B'C'D' 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……
截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台……
2.棱台的结构特征
平行于
棱锥底面
棱台必须同时满足两个条件：①两底面互相平行；②各条侧棱的延长线相交于一点.
注 意 点
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(1)(多选)下列说法中，正确的是
A.棱锥的各个侧面都是三角形
B.三棱锥的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C.棱锥的侧棱平行
D.有一个面是多边形，其余各面是三角形的空间图形是棱锥
例 2
√
√
由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；
三棱锥就是由四个三角形所围成的空间图形，因此三棱锥的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；
棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错误；
棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，故D错误.
(2)有下列四种叙述：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
④棱台的侧棱延长后必交于一点.
其中正确的有
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
√
①中的平面不一定平行于底面，故①错误；
由棱台的定义知，④正确；
②③可用反例去验证，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错误.
反
思
感
悟
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确的说法.
(2)直接法
判断棱锥、棱台的方法
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是 .
跟踪训练 2
①②
①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥；
③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
棱柱、棱锥、棱台的画法
三
画出一个三棱柱和一个四棱台.
例 3
(1)画三棱柱可分三步完成：
第一步，画上底面——画一个三角形；
第二步，画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段；
第三步，画下底面——顺次连接这些线段的另一个端点(如图所示，被遮挡的线要画成虚线).
(2)画四棱台可分三步完成：
第一步，画一个四棱锥；
第二步，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段；
第三步，将多余的线段擦去(如图所示，被遮挡的线要画成虚线).
反
思
感
悟
在平面几何图形中，虚线表示作的辅助线，但在空间图形中，虚线表示被遮挡的线.在空间图形中作辅助线时，被遮挡的线作成虚线，看得见的线仍作成实线.作图时要使用铅笔、直尺等，力求准确.
画出分别满足下列条件的空间图形.
(1)使它是一个四棱柱；
(2)使它是由两个三棱锥组成的空间图形；
(3)使它是五棱锥.
跟踪训练 3
如图所示：图1是一个四棱柱，
图2是一个由两个三棱锥组成的空间图形，
图3是一个五棱锥.
多面体的侧面展开图
四
定义 由若干个 围成的空间图形
图形
相关概念 面：围成多面体的各个 ；
棱：相邻两个面的 ；
顶点：若干个面的公共顶点
多面体
平面多边形
多边形
公共边
若没有特别说明，多面体指的都是凸多面体(即把一个多面体的任意一个面延展为平面，其余各面都在这个平面的同一侧).
注 意 点
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某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)
例 4
√
其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻.相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻.
反
思
感
悟
多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状，借助展开图，培养直观想象素养.
如图是三个空间图形的表面展开图，请问各是什么空间图形？
跟踪训练 4
在图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；在图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；在图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点.把表面展开图还原为原空间图形，如图所示：
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台.
1.知识清单：
(1)棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
(2)棱柱、棱锥、棱台的画法.
(3)多面体的侧面展开图.
2.方法归纳：举反例法、定义法.
3.常见误区：棱台的结构特征认识不清.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.如图所示的空间图形中，不是棱锥的为
√
结合棱锥的定义可知，A不符合其定义.
2.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个空间图形为
A.四棱柱 B.四棱锥
C.三棱柱 D.三棱锥
√
1
2
3
4
根据棱锥的定义可知该空间图形是四棱锥.
3.(多选)下列说法不正确的是
A.棱台的两个底面相似
B.棱台的侧棱长都相等
C.棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台
D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
√
1
2
3
4
√
√
由棱台的定义知A正确，B，C不正确；
棱柱的侧棱都相等且互相平行，且侧面都是平行四边形，但侧面并不一定全等，D不正确.
1
2
3
4
1
2
3
4
4.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为
cm.
12
棱柱有10个顶点，
则该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，且侧棱长都相等，
故侧棱长为=12(cm).
课时对点练
五
答案
对一对
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C C B B C BC 5 6 9
题号 8 11 12 13 14 15
答案 8 ACD D C 4 4
9.
因为这个几何体中没有两个互相平行的面，
所以这个几何体不是棱柱.
如图，在AA1上取点E，使AE=2，在BB1上取点F，使BF=2，连接C1E，EF，C1F，则过点C1，E，F的截面将原几何体分成两部分，其中一部分是三棱柱ABC-EFC1，其侧棱长为2；另一部分是四棱锥C1-EA1B1F，即截去的几何体是四棱锥.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.
(1)如图①所示，三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).
(2)如图②所示，三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).
(3)如图③所示，三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
(1)如图折起后的几何体是三棱锥.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.
(2)S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2，
S△DEF=4a2-2a2-a2=a2.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.下列关于棱柱的说法中，错误的是
A.三棱柱的底面为三角形
B.一个棱柱至少有五个面
C.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
√
基础巩固
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
显然A正确；
底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；
底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C错误；
D正确.
11
12
13
14
15
16
答案
2.下列几何体中是四棱锥的是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
√
由棱锥的结构特征：一个面是多边形，其余的面是有一个公共顶点的三角形，可知只有选项B和C中的图形是棱锥，其中B为三棱锥，C为四棱锥.
3.观察如图所示的四个空间图形，其中判断不正确的是
A.①是棱柱 B.②不是棱锥
C.③不是棱锥 D.④是棱台
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，③不是棱锥，④是棱台，故B错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4.如图所示，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余的部分是
A.三棱锥
B.四棱锥
C.三棱柱
D.组合体
√
11
12
13
14
15
16
答案
剩余的部分是四棱锥A'-BCC'B'.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5.如果一个棱锥的各条棱长都相等，那么这个棱锥可能是
A.八棱锥 B.七棱锥
C.五棱锥 D.六棱锥
√
11
12
13
14
15
16
答案
由题意可知，若每个侧面均为等边三角形，则每个侧面的顶角为60°，如果是六棱锥，因为6×60°=360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥，又因为各条棱长都相等，所以更不能构成七棱锥、八棱锥.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6.(多选)如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是
√
√
11
12
13
14
15
16
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A图还原后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；
B图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；
C图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；
D图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面；
综上，可得还原成正方体后，其中两个完全一样的是BC.
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7.一个棱台至少有 个面，面数最少的棱台有 个顶点，有 条棱.
三棱台的面数、顶点数、棱数最少.
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8.五棱台ABCDE-A1B1C1D1E1，若AB=2A1B1且上底面A1B1C1D1E1的面积为2，则下底面的面积为 .
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由棱台的定义知，上、下底面相似，
∴==4，
∴ S五边形ABCDE=4 =4×2=8.
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答案
9.如图，四边形AA1B1B为矩形，AA1=3，CC1=2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱；若不是棱柱，作出一个过点C1的截面，截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的名称.
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答案
因为这个几何体中没有两个互相平行的面，
所以这个几何体不是棱柱.
如图，在AA1上取点E，使AE=2，在BB1上取点F，使BF=2，连接C1E，EF，C1F，则过点C1，E，F的截面将原几何体分成两部分，其中一部分是三棱柱ABC-EFC1，其侧棱长为2；另一部分是四棱锥C1-EA1B1F，即截去的几何体是四棱锥.
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10.试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个顶点，连接后构成以下空间图形，并且用适当的符号表示出来.
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答案
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
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如图①所示，三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).
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(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；
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如图②所示，三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).
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(3)三棱柱.
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答案
如图③所示，三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).
11.(多选)如图，对该几何体描述正确的是
A.这是一个六面体
B.这是一个四棱台
C.这是一个四棱柱
D.此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到
√
综合运用
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答案
A正确，该几何体有六个面，属于六面体；
B错误，C正确，如果把几何体正面和背面作为底面就会发现是一个四棱柱；
D正确，如图所示.
12.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为1∶4，截去的棱锥的顶点到底面的距离为3，则棱台的上、下底面的距离为
A.12 B.9
C.6 D.3
√
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答案
设原棱锥的高为h，由题意得=，
解得h=6，因而棱台的高为3.
13. 如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是
A.A1B1=2，AB=3，B1C1=3，BC=4
B.A1B1=1，AB=2，B1C1=1.5，BC=3，A1C1=2，AC=3
C.A1B1=1，AB=2，B1C1=1.5，BC=3，A1C1=2，AC=4
D.AB=A1B1，BC=B1C1，CA=C1A1
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答案
√
选项A中，≠，故A不符合题意；
选项B中，≠，故B不符合题意；
选项C中，==，故C符合题意；
选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不可能是三棱台.
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答案
14.从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：
(1)矩形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点.
其中正确结论的个数为 .
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答案
如图所示，四边形ABCD为矩形，故(1)满足条件；
四面体D-A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，
故(2)满足条件；
四面体D-B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，
故(3)满足条件；
四面体C-B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故(4)满足条件；
故正确的结论有4个.
15.如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VB=VC=4，∠AVB=∠AVC=∠BVC=
30°，过点A作截面AEF，则△AEF周长的最小值为 .
拓广探究
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答案
将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.
∵∠AVB=∠A1VC
=∠BVC=30°，
∴∠AVA1=90°.
又VA=VA1=4，∴AA1=4.
∴△AEF周长的最小值为4.
16.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
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答案
如图折起后的几何体是三棱锥.
(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？
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答案
S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2，
S△DEF=4a2-2a2-a2=a2.13.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球
［学习目标］ 1.认识圆柱、圆锥、圆台的结构特征.2.认识柱、锥、台、球及其复杂的空间图形的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
一、旋转体的结构特征
问题 如图，观察实物图.
(1)这三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？
(2)这三个实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？
(3)如何形成这三个几何体的曲面？
知识梳理
1.圆柱、圆锥、圆台的概念
分类 定义 图形及表示
圆柱 将 绕着它的一边所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆柱.这条直线叫作轴； 于轴的边旋转而成的圆面叫作底面； 于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面；无论旋转到什么位置， 于轴的边都叫作母线 我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，如图可表示为
圆锥 将 绕着它的一直角边所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆锥 我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥，如图可表示为
圆台 将 绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆台 我们用表示圆台轴的字母表示圆台，如图可表示为
2.球
球 定义 相关概念 图形及表示
球 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫作球体，简称球 球心：半圆的 ； 半径：半圆的 ； 直径：半圆的 如图可记作：球O
3.旋转面与旋转体
一般地，一条平面曲线绕它所在平面内的 旋转所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的空间图形称为 .圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体.
例1 下列命题正确的是 (只填序号).
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；
⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；
⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.
反思感悟 (1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成.
②明确旋转轴是哪条直线.
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
跟踪训练1 (多选)下列说法正确的是( )
A.圆柱的母线与它的轴可以不平行
B.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形
C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D.圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的
二、简单的组合体
例2 如图(1)、图(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体分别是由哪些简单几何体组成的？
跟踪训练2 (1)指出图中三个几何体的构成.
(2)如图所示的空间图形的组成是( )
A.棱柱、棱台 B.棱柱、棱锥
C.棱锥、棱台 D.棱柱、棱柱
(3)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( )
A.一个圆台、两个圆锥
B.两个圆柱、一个圆锥
C.两个圆台、一个圆柱
D.一个圆柱、两个圆锥
三、旋转体的有关计算
例3 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径.
跟踪训练3 (1)如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O'O的母线长.
(2)如图所示，圆柱侧面上有两点B，D，在D处有一只蜘蛛，在B处有一只苍蝇，蜘蛛沿怎样的路线行走才能以最短的路程抓住苍蝇？最短路程是多少？
1.知识清单：
(1)圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.
(2)简单组合体的结构特征.
(3)旋转体的有关计算.
2.方法归纳：分类讨论、转化与化归.
3.常见误区：同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的.
1.(多选)下列说法中不正确的是( )
A.将正方形旋转不可能形成圆柱
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线
2.下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是( )
3.下面空间图形的截面一定是圆面的是( )
A.圆台 B.球
C.圆柱 D.圆锥
4.两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱的底面积为 cm2.
答案精析
问题 (1)它们不是由平面多边形围成的.
(2)可以由某些平面图形旋转而成.
(3)上述几何体可由半圆、直角梯形、直角三角形以适当的一边所在的直线为轴旋转而成.
知识梳理
1.矩形 垂直 不垂直 不垂直
圆柱OO' 直角三角形 圆锥SO 直角梯形 圆台OO'
2.圆心 半径 直径
3.一条定直线 旋转体
例1 ④⑥
跟踪训练1 BD
例2 解 旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.
跟踪训练2 (1)解 图①中的几何体由一个圆锥和一个四棱柱组合而成，其中上面是圆锥，下面是四棱柱.
图②中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱所成的，其中四棱柱内接于圆锥.
图③中的几何体由一个球挖去一个三棱锥所成的，其中三棱锥内接于球.
(2)B (3)D
例3 解 如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，则π=8π，
∴=8，
又∵R2=，
∴=8-5=3，
即(d1-d2)(d1+d2)=3，
又d1-d2=1，
∴
∴R==3，
即球的半径等于3.
跟踪训练3 (1)解 设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.过轴SO作截面，如图所示.
则△SO'A'∽△SOA，SA'=3 cm.
所以.
解得l=9，即圆台的母线长为9 cm.
(2)解 如图，设圆柱的母线长为l，底面圆半径为r，将圆柱的侧面沿母线AB展开即得矩形AA'B'B，其中D，C分别为AA'，BB'的中点.
在矩形ADCB中，AB=CD=l，
AD=BC=×2πr=πr，连接BD，
则BD=.
可知蜘蛛沿着DB爬行时路程最短，最短路程为.
随堂演练
1.ABD 2.B 3.B 4.16π或9π(共80张PPT)
第13章
<<<
13.1.2
圆柱、圆锥、圆台和球
1.认识圆柱、圆锥、圆台的结构特征.
2.认识柱、锥、台、球及其复杂的空间图形的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
学习目标
导 语
你到过孔子六艺城吗？在孔子六艺城中有一个地方是数学爱好者必去的，那就是“数厅”，如图，以圆柱体为底托，巨型球体悬其之上，形成了国内少有的圆形建筑物，甚为壮观，你知道其中隐含的数学知识吗？
内容索引
一、旋转体的结构特征
二、简单的组合体
课时对点练
三、旋转体的有关计算
随堂演练
旋转体的结构特征
一
提示 它们不是由平面多边形围成的.
如图，观察实物图.
问题
(1)这三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？
提示 可以由某些平面图形旋转而成.
(2)这三个实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？
问题
提示 上述几何体可由半圆、直角梯形、直角三角形以适当的一边所在的直线为轴旋转而成.
(3)如何形成这三个几何体的曲面？
问题
分类 定义 图形及表示
圆柱 将 绕着它的一边所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆柱.这条直线叫作轴；______于轴的边旋转而成的圆面叫作底面；_______于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面；无论旋转到什么位置，_______于轴的边都叫作母线
我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，如图可表示为__________
1.圆柱、圆锥、圆台的概念
矩形
垂直
不垂直
不垂直
圆柱OO'
分类 定义 图形及表示
圆锥 将 绕着它的一直角边所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆锥
我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥，如图可表示为________
直角三角形
圆锥SO
分类 定义 图形及表示
圆台 将 绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆台
我们用表示圆台轴的字母表示圆台，如图可表示为__________
直角梯形
圆台OO'
(1)它们的相同点是：它们都是由平面图形旋转得到的.
(2)不同点是：圆柱和圆台有两个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆面，圆台的两个底面是半径不相等的圆面，圆锥只有一个底面.
(3)当底面发生变化时，它们能相互转化，即圆台的上底面扩大，使上下底面全等，就是圆柱；圆台的上底面缩为一个点就是圆锥.
注 意 点
<<<
2.球
球 定义 相关概念 图形及表示
球 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫作球体，简称球 球心：半圆的 ； 半径：半圆的 ； 直径：半圆的_____
如图可记作：球O
圆心
半径
直径
3.旋转面与旋转体
一般地，一条平面曲线绕它所在平面内的 旋转所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的空间图形称为 .圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体.
一条定直线
旋转体
下列命题正确的是 (只填序号).
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；
⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；
⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.
例 1
④⑥
①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥，故①错误；
②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台，故②错误；
③它们的底面为圆面，故③错误；
④正确；
作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故⑤错误；
根据球的半径定义，知⑥正确.
反
思
感
悟
(1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成.
②明确旋转轴是哪条直线.
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
(多选)下列说法正确的是
A.圆柱的母线与它的轴可以不平行
B.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线
都可以构成直角三角形
C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D.圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的
跟踪训练 1
√
√
二
简单的组合体
如图(1)、图(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体分别是由哪些简单几何体组成的？
例 2
旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.
反
思
感
悟
(1)判定实物图是由哪些简单空间图形组成的问题时，首先要熟练掌握简单空间图形的结构特征；其次要善于将复杂的空间图形“分割”为几个简单的空间图形.
(2)复杂的空间图形是由简单空间图形拼接或截去一部分构成的.要仔细观察空间图形的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证.
判断复杂空间图形构成的方法
(1)指出图中三个几何体的构成.
跟踪训练 2
图①中的几何体由一个圆锥和一
个四棱柱组合而成，其中上面是
圆锥，下面是四棱柱.
图②中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱所成的，其中四棱柱内接于圆锥.
图③中的几何体由一个球挖去一个三棱锥所成的，其中三棱锥内接于球.
(2)如图所示的空间图形的组成是
A.棱柱、棱台 B.棱柱、棱锥
C.棱锥、棱台 D.棱柱、棱柱
√
(3)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括
A.一个圆台、两个圆锥
B.两个圆柱、一个圆锥
C.两个圆台、一个圆柱
D.一个圆柱、两个圆锥
√
图①是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为轴旋转一周所得的几何体为一个组合体，如图②，包括一个圆柱、两个圆锥.
旋转体的有关计算
三
已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径.
例 3
如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，
则π=5π，π=8π，
∴=5，=8，
又∵R2=+=+，
∴-=8-5=3，
即(d1-d2)(d1+d2)=3，
又d1-d2=1，
∴
∴R===3，
即球的半径等于3.
反
思
感
悟
(1)用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解.
(2)利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.
(1)如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O'O的母线长.
跟踪训练 3
设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.过轴SO作截面，如图所示.
则△SO'A'∽△SOA，SA'=3 cm.
所以=.
所以==.
解得l=9，即圆台的母线长为9 cm.
(2)如图所示，圆柱侧面上有两点B，D，在D处有一只蜘蛛，在B处有一只苍蝇，蜘蛛沿怎样的路线行走才能以最短的路程抓住苍蝇？最短路程是多少？
如图，设圆柱的母线长为l，底面圆半径为r，将圆柱的侧面沿母线AB展开即得矩形AA'B'B，其中D，C分别为AA'，BB'的中点.
在矩形ADCB中，AB=CD=l，
AD=BC=×2πr=πr，连接BD，
则BD==.
可知蜘蛛沿着DB爬行时路程最短，最短路程为.
1.知识清单：
(1)圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.
(2)简单组合体的结构特征.
(3)旋转体的有关计算.
2.方法归纳：分类讨论、转化与化归.
3.常见误区：同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.(多选)下列说法中不正确的是
A.将正方形旋转不可能形成圆柱
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线
√
√
√
1
2
3
4
将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；
B中没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以B错误；
通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误.
2.下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是
√
1
2
3
4
由题意知，该几何体是组合体，上、下各一圆锥，显然B正确.
3.下面空间图形的截面一定是圆面的是
A.圆台 B.球
C.圆柱 D.圆锥
√
1
2
3
4
截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的空间图形只有球.
1
2
3
4
4.两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱的底面积为 cm2.
16π或9π
当以3 cm长的一边所在的直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为4 cm，底面积为16π cm2；
当以4 cm长的一边所在的直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为3 cm，底面积为9π cm2.
课时对点练
五
答案
对一对
1
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16
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D ACD B B D ABC ①④
题号 11 12 13 14 15
答案 A AD 26 3 cm 20 cm C
9.
设圆台上、下底面半径分别为r，R，母线长为l，高为h.
由题意，得2πr=·2πR，
即R=3r. ①
(2r+2R)·h=392，
即(R+r)h=392. ②
又母线与底面的夹角为45°，
答案
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9.
则h=R-r=l. ③
联立①②③，得R=21，r=7，h=14，l=14.
故圆台的高为14，母线长为14，上底面半径为7，下底面半径为21.
答案
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10.
作出圆锥的一个轴截面如图所示：其中AB，AC为母线，BC为底面直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线.
设正方体的棱长为x，
则DG=EF=x，DE=GF=x.
依题意，得△ABC∽△ADE，
∴，
即此正方体的棱长为.
答案
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16.
将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图形为扇形，且弧AA'的长度L就是圆O的周长，
∴L=2πr=2π.
∴∠ASM=×360°=90°.
(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM的长度，其值为AM=(0≤x≤4).
f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4).
答案
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16.
(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，
在△SAM中，∵S△SAM=AM·SR，
∴SR=(0≤x≤4)即绳子最短时，
顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4).
答案
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16.
(3)∵f(x)=x2+16(0≤x≤4)是增函数，
∴f(x)的最大值为f(4)=32.
答案
1
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10
1.下列几何体中不是旋转体的是
√
基础巩固
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16
答案
2.(多选)下列命题中正确的是
A.过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径
B.母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等
C.圆台中所有平行于底面的截面都是圆面
D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形
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答案
√
母线长相等的不同圆锥其底面圆半径不一定相等，故轴截面的面积不一定相等.
√
√
3.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的空间图形形状为
A.一个球体
B.一个球体中间挖去一个圆柱
C.一个圆柱
D.一个球体中间挖去一个长方体
√
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答案
圆面绕着直径所在的轴旋转形成球，矩形绕着轴旋转形成圆柱.故选B.
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10
4.用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面的面积为
A.8 B.
C. D.
√
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答案
1
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答案
当围成的圆柱底面周长为4，高为2时，
设圆柱底面圆的半径为r，则2πr=4，
所以r=，所以轴截面是长为2，宽为的矩形，
所以轴截面的面积为2×=.
同理，当围成的圆柱底面周长为2，高为4时，轴截面的面积也为.
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5.上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为
A.4 B.3
C.2 D.2
√
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16
答案
圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2=h2+(R-r)2，
由题意知l=5，R=7，r=6，求得h=2，
即两底面之间的距离为2.
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6.(多选)一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面可能的图形是
√
√
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答案
√
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答案
当截面平行于正方体的一个侧面时得C；
当截面过正方体的体对角线时得B；
当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得A；
但无论如何都得不出D.
7.观察下列四个空间图形，其中可看作是由两个棱柱组合而成的是 .
(填序号)
①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成.
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答案
①④
8.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面
半径为 .(用Q表示)
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设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r.
∴4r2=Q，解得r=，
∴此圆柱的底面半径为.
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答案
9.圆台的上底面周长是下底面周长的，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，求此圆台的高、母线长及两底面的半径.
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答案
设圆台上、下底面半径分别为r，R，母线长为l，高为h.
由题意，得2πr=·2πR，即R=3r. ①
(2r+2R)·h=392，即(R+r)h=392. ②
又母线与底面的夹角为45°，
则h=R-r=l. ③
联立①②③，得R=21，r=7，h=14，l=14.
故圆台的高为14，母线长为14，上底面半径为7，下底面半径为21.
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10.已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长.
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答案
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作出圆锥的一个轴截面如图所示：其中AB，AC为母线，BC为底面直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线.
设正方体的棱长为x，
则DG=EF=x，DE=GF=x.
依题意，得△ABC∽△ADE，
∴=，∴x=，
即此正方体的棱长为.
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答案
11.如果圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是
A.等边三角形
B.等腰直角三角形
C.顶角为30°的等腰三角形
D.其他等腰三角形
√
综合运用
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答案
因为圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，所以圆锥的底面圆的直径为，所以此圆锥的轴截面是等边三角形.
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答案
12.(多选)如图所示的空间图形是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的复杂空间图形，现用一个竖直的平面去截这个复杂空间图形，则截面图形可能是
√
√
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答案
一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的空间图形被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分.
13.有这样一个古算题：“今有木长二丈四尺，围之五尺，葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”这个问题中，葛藤长的最小值为 尺.
(注：1丈等于10尺)
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答案
26
如图，在Rt△ABC中，BC(即圆木的高)长24尺，AB=5×2=10(尺)，
因此葛藤长的最小值为=26(尺).
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答案
14.一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.则圆台的高为 ；截得此圆台的圆锥的母线长为 .
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答案
3 cm
20 cm
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答案
如图，作圆台的轴截面，则截面为等腰梯形ABCD，O1，O分别为AD，BC的中点，作AM⊥BC于点M.连接O1O.
由已知可得上底半径O1A=2 cm，
下底半径OB=5 cm，
且腰长AB=12 cm，
∴AM==3 (cm)，
即圆台的高为3 cm.
如图，延长BA，OO1交于点S，
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答案
设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，
则由△SAO1∽△SBO，
得==，
解得l=20 cm，
∴截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
15.一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对棱的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的
拓广探究
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答案
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答案
易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A，D；
等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B；
而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是C.
16.如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r=1，母线长l=4，M为母线SA上的一个点，且SM=x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：
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答案
(1)绳子的最短长度的平方f(x)；
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答案
将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图形为扇形，且弧AA'的长度L就是圆O的周长，
∴L=2πr=2π.
∴∠ASM=·360°=×360°=90°.
由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM的长度，其值为AM=(0≤x≤4).
f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4).
(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；
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答案
绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，
在△SAM中，
∵S△SAM=SA·SM=AM·SR，
∴SR==(0≤x≤4)即绳子最短时，
顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4).
(3)f(x)的最大值.
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答案
∵f(x)=x2+16(0≤x≤4)是增函数，
∴f(x)的最大值为f(4)=32.13.1.3 直观图的斜二测画法
［学习目标］ 1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及复杂空间图形的直观图.
一、水平放置的平面图形的直观图的画法
问题1 在画板上画水平放置的平面图形时，其中的直角一定画成直角吗？如果图形中有平行的线，画成平行吗？
知识梳理
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
例1 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
跟踪训练1 如图，已知正五边形ABCDE，试画出其直观图.
二、空间图形的直观图的画法
问题2 结合水平放置的平面图形画法，你能给出正方体的画法吗？
知识梳理
用斜二测画法画空间图形的直观图的步骤
(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz= ，且∠yOz= .
(2)画直观图时把它们画成对应的x'轴、y'轴和z'轴，它们相交于点O'，并使∠x'O'y'=45°(或135°)，∠x'O'z'=90°，x'轴和y'轴所确定的平面表示水平面.
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成 于x'轴、y'轴或z'轴的线段.
(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的 .
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.
跟踪训练2 画出底面是边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图.
三、直观图的还原与计算
例3 (1)如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，其中A'B'，A'C'所在直线分别与x'轴，y'轴平行，且A'B'=A'C'，那么△ABC是( )
A.等腰三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
(2)已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为( )
A. B.a2
C. D.a2
反思感悟 由直观图还原为平面图形的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由此可得，直观图面积是原图形面积的倍.
跟踪训练3 如图，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=6 cm，O'C'=2 cm，C'D'=2 cm，则原图形是 ，其面积为 .
1.知识清单：
(1)水平放置的平面图形的直观图的画法.
(2)空间图形的直观图的画法.
(3)直观图的还原与计算.
2.方法归纳：转化思想.
3.常见误区：同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.
1.(多选)关于斜二测画法所得到的直观图，下列说法正确的是( )
A.三角形的直观图是三角形
B.平行四边形的直观图是平行四边形
C.正方形的直观图是正方形
D.菱形的直观图是菱形
2.(多选)下列命题中正确的有( )
A.水平放置的角的直观图一定是角
B.相等的角在直观图中仍然相等
C.相等的线段在直观图中仍然相等
D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
3.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x'O'y'平面上，则圆柱的高应画成( )
A.平行于z'轴且大小为10 cm
B.平行于z'轴且大小为5 cm
C.与z'轴成45°且大小为10 cm
D.与z'轴成45°且大小为5 cm
4.如图，平行四边形O'P'Q'R'是四边形OPQR的直观图，若O'P'=3，O'R'=1，则原四边形OPQR的周长为 .
答案精析
问题1 为了直观，直角不一定画成直角，平行的线一般还保持平行.
知识梳理
45° 135° 水平面 x'轴或y'轴 线段 保持原长度不变 一半
例1 解 画法：(1)如图所示，取AB所在的直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'=45°.
(2)以O'为中点在x'轴上取A'B'=AB，在y'轴上取O'E'=OE，以E'为中点画C'D'∥x'轴，并使C'D'=CD.
(3)连接B'C'，D'A'，所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
跟踪训练1 解 画法：
(1)在图(1)中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.
(2)在图(2)中画相应的x'轴与y'轴，两轴相交于点O'，使∠x'O'y'=45°.
(3)在图(2)中的x'轴上取O'B'=OB，O'G'=OG，O'C'=OC，O'H'=OH，y'轴上取O'E'=GA，
H'D'=HD.
(4)连接A'B'，A'E'，E'D'，D'C'，并擦去辅助线G'A'，H'D'，x'轴与y'轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图(3)).
问题2 正方体可以看作底面沿竖直方向平移得到，故画正方体可以先画出一个底面，再确定竖直方向的棱即可.
知识梳理
(1)90° 90° (3)平行 (4)一半
例2 解 (1)画轴.如图，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.
(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN=4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ= cm.
分别过点M和N作y轴的平行线，
过点P和Q作x轴的平行线，
设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，
并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'.
(4)成图.顺次连接A'，B'，C'，D'(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.
跟踪训练2 解 (1)画轴.画x轴、y轴、z轴，∠xOy=45°(或135°)，∠xOz=90°，如图①.
(2)画底面.以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD，使AB=1.2 cm，EF=0.6 cm.
(3)画顶点，在Oz轴上截取OP，使OP=1.5 cm.
(4)成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.
例3 (1)D (2)D
跟踪训练3 菱形 24 cm2
随堂演练
1.AB 2.AD 3.A 4.10(共75张PPT)
第13章
<<<
13.1.3
直观图的斜二测画法
1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及复杂空间图形的直观图.
学习目标
导 语
美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上要画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系，就要用到今天将要学习的直观图的画法.
内容索引
一、水平放置的平面图形的直观图的画法
二、空间图形的直观图的画法
课时对点练
三、直观图的还原与计算
随堂演练
水平放置的平面图形的直观图的画法
一
在画板上画水平放置的平面图形时，其中的直角一定画成直角吗？如果图形中有平行的线，画成平行吗？
问题1
提示 为了直观，直角不一定画成直角，平行的线一般还保持平行.
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
45°
135°
水平面
x'轴或y'轴
线段
保持原长度不变
一半
(1)在已知图形中建立直角坐标系时，尽量利用原图形的对称性和垂直关系，且使尽量多的点、线段落在坐标轴上或与坐标轴平行.
(2)简记口诀：九十度，画一半；横不变，纵减半，平行关系不改变，画出图形更直观.
注 意 点
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画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
例 1
画法：(1)如图所示，取AB所在的直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'=45°.
(2)以O'为中点在x'轴上取A'B'=AB，在y'轴上取O'E'=OE，以E'为中点画C'D'∥x'轴，并使C'D'=CD.
(3)连接B'C'，D'A'，所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
反
思
感
悟
在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.
如图，已知正五边形ABCDE，试画出其直观图.
跟踪训练 1
画法：
(1)在图(1)中作AG⊥x轴于点G，
作DH⊥x轴于点H.
(2)在图(2)中画相应的x'轴与y'轴，两轴相交于点O'，使∠x'O'y'=45°.
(3)在图(2)中的x'轴上取O'B'=OB，O'G'=OG，O'C'=OC，O'H'=OH，y'轴上取O'E'=OE，分别过G'和H'作y'轴的平行线，并在相应的平行线上取G'A'=GA，H'D'=HD.
(4)连接A'B'，A'E'，E'D'，D'C'，并擦去辅助线G'A'，H'D'，x'轴与y'轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图(3)).
二
空间图形的直观图的画法
结合水平放置的平面图形画法，你能给出正方体的画法吗？
问题2
提示 正方体可以看作底面沿竖直方向平移得到，故画正方体可以先画出一个底面，再确定竖直方向的棱即可.
用斜二测画法画空间图形的直观图的步骤
(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz= ，且∠yOz= .
(2)画直观图时把它们画成对应的x'轴、y'轴和z'轴，它们相交于点O'，并使∠x'O'y'=45°(或135°)，∠x'O'z'=90°，x'轴和y'轴所确定的平面表示水平面.
90°
90°
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成______于x'轴、y'轴或z'轴的线段.
(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的 .
平行
一半
(1)与平面图形的直观图画法相比，空间图形的直观图画法多了一个z轴，直观图中与之对应的是z'轴.
(2)成图后，要去掉辅助线，并将被遮挡的部分改为虚线.
(3)圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆面，水平放置的圆的直观图应该画成椭圆.
注 意 点
<<<
用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.
例 2
(1)画轴.如图，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.
(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN=4 cm；
在y轴上取线段PQ，使PQ= cm.
分别过点M和N作y轴的平行线，
过点P和Q作x轴的平行线，
设它们的交点分别为A，B，C，D，
四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，
并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'.
(4)成图.顺次连接A'，B'，C'，D'(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.
反
思
感
悟
(1)对于一些常见空间图形(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出.
(2)画空间图形的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向.
(3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致.
空间图形的直观图的画法
画出底面是边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图.
跟踪训练 2
(1)画轴.画x轴、y轴、z轴，
∠xOy=45°(或135°)，∠xOz=90°，
如图①.
(2)画底面.以O为中心，在xOy平面内，
画出正方形的直观图ABCD，使AB=1.2 cm，EF=0.6 cm.
(3)画顶点，在Oz轴上截取OP，使OP=1.5 cm.
(4)成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.
直观图的还原与计算
三
(1)如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，其中A'B'，A'C'所在直线分别与x'轴，y'轴平行，且A'B'=A'C'，那么△ABC是
A.等腰三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
例 3
√
因为水平放置的△ABC的直观图中，∠x'O'y'=45°，A'B'=A'C'，且A'B'∥x'轴，A'C'∥y'轴，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形.
(2)已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
例 3
√
方法一 建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.
如图②所示，建立坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'=45°，
由直观图画法，知A'B'=AB=a，
O'C'=OC=a.
过点C'作C'D'⊥O'x'于点D'，
则C'D'=O'C'=a.
所以△A'B'C'的面积S=A'B'·C'D'=a·a=a2.
方法二 S△ABC=a2，
又S△A'B'C'=S△ABC，
所以S△A'B'C'=×a2=a2.
反
思
感
悟
由直观图还原为平面图形的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由此可得，直观图面积是原图形面积的倍.
如图，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=6 cm，O'C'=2 cm，C'D'=2 cm，则原图形是 ，其面积为 .
跟踪训练 3
菱形
24 cm2
如图，在原图形OABC中，
应有OD=2O'D'=2×2=4(cm)，CD=C'D'=2 cm，
所以OC===6(cm)，
所以OA=OC=BC=AB，
故四边形OABC是菱形.
S四边形OABC=OA×OD=6×4=24(cm2).
或者S菱形OABC===24(cm2).
1.知识清单：
(1)水平放置的平面图形的直观图的画法.
(2)空间图形的直观图的画法.
(3)直观图的还原与计算.
2.方法归纳：转化思想.
3.常见误区：同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.(多选)关于斜二测画法所得到的直观图，下列说法正确的是
A.三角形的直观图是三角形
B.平行四边形的直观图是平行四边形
C.正方形的直观图是正方形
D.菱形的直观图是菱形
√
√
斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形.
2.(多选)下列命题中正确的有
A.水平放置的角的直观图一定是角
B.相等的角在直观图中仍然相等
C.相等的线段在直观图中仍然相等
D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
√
1
2
3
4
√
1
2
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4
A正确；
正方形的直观图为平行四边形，角度不一定相等，B错；
因为平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，所以C错；
平行的性质不会改变，所以D正确.
3.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x'O'y'平面上，则圆柱的高应画成
A.平行于z'轴且大小为10 cm
B.平行于z'轴且大小为5 cm
C.与z'轴成45°且大小为10 cm
D.与z'轴成45°且大小为5 cm
√
1
2
3
4
平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.
1
2
3
4
4. 如图，平行四边形O'P'Q'R'是四边形OPQR的直观图，若O'P'=3，O'R'=1，则原四边形OPQR的周长为 .
10
由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP=3，OR=2，
所以原四边形OPQR的周长为2×(3+2)=10.
课时对点练
五
答案
对一对
1
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题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 AB ACD C A C D 4 0.5 3.6
题号 8 11 12 13 14 15
答案 B A CD 8 D
9.
(1)①以D为原点，AC所在的直线为x轴，DB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图①；
答案
1
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4
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16
9.
②画出对应的x'轴，y'轴，
使∠x'D'y'=45°，
在x'轴上取点A'，C'，使D'A'=DA，D'C'=DC，
在y'轴上取点B'，使D'B'=DB，
连接A'B'，C'B'，
则△A'B'C'即为△ABC的直观图，如图②.
答案
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9.
(2)在图②中，作B'E⊥A'C'，E为垂足，
∵D'B'=DB=6，∠B'D'E=45°，
∴B'E=6×(cm)，
∴S△A'B'C'= (cm2).
答案
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16
10.
(2)画圆柱的两底面.在xOy平面上用椭圆
模板画出底面圆O的直观图，使直径为
3 cm，在z轴上截取OO'，使OO'=3 cm，过O'作Ox的平行线O'x'，Oy的平行线O'y'，利用O'x'与O'y'画出底面圆O'的直观图，使其直径为3 cm.
答案
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16
(1)如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.
10.
(3)画圆锥的顶点.在z轴上画出点P，使PO'等于圆锥的高3 cm.
(4)连接A'A，B'B，PA'，PB'，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②.
答案
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16.
(1)先按照斜二测法画出直四棱柱的直观图A'B'C'D'-ABCD，如图①所示；
(2)以直四棱柱的上底面ABCD为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图ADE-BCF.可得直观图如图②所示.
答案
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16
图① 图②
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1.(多选)在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若角A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中角A'可能为
A.45° B.135°
C.90° D.90°或45°
√
基础巩固
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16
答案
√
因为角A的两边分别平行于x轴、y轴，故角A=90°，在直观图中，按斜二测画法规则知角x'O'y'=45°或135°，即角A'=45°或135°.
2.(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是
A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点
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答案
√
√
√
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，原来相交的仍相交，故A正确.
原来垂直的不一定垂直，故B错误，原来平行的仍平行，故C正确.
原来共点的仍共点，故D正确.
3.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是
√
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答案
根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是C.
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10
4.水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B'O'=C'O'=1，A'O'=，那么原△ABC是一个
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.三边互不相等的三角形
√
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答案
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答案
由△ABC的直观图，
知在原△ABC中，AO⊥BC.
∵A'O'=，∴AO=.
∵B'O'=C'O'=1，
∴BC=2，AB=AC=2，
∴△ABC为等边三角形.
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5.如图所示，梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A'D'=2B'C'=2，A'B'=1，则平面图形ABCD的面积为
A.2 B.2
C.3 D.3
√
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答案
由斜二测画法，知在平面图形ABCD中，AD⊥AB，AD∥BC，AD=2，BC=1，AB=2，
故其面积为×(1+2)×2=3.
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6.如图所示，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是
A.AB B.AD
C.BC D.AC
√
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答案
还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长.
7.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长为 cm，宽为 cm，建筑物的高为 cm.
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答案
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0.5
3.6
由比例可知长方体的长、宽、高分别为4 cm，1 cm，2 cm，四棱锥的高为1.6 cm，
所以长方体的直观图的长、宽、高应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，四棱锥的直观图的高为1.6 cm.
所以直观图中建筑物的高为2+1.6=3.6(cm).
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答案
8.如图，由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰直角三角形A'O'B'，若O'B'=1，则原△AOB的面积是 .
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方法一 由题意得O'B'=B'A'=1，
∠B'O'A'=45°，
∴O'A'=，∴△AOB是以∠AOB为直角的三角形，
且OB=1，OA=2，
∴S△AOB=OB·OA=×1×2=.
方法二 由题图可知S△A'O'B'=，
又∵S△A'O'B'=S△AOB，则S△AOB=.
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答案
9.如图所示，在△ABC中，AC=12 cm，AC边上的高BD=12 cm.
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答案
(1)画出水平放置的△ABC的直观图；
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答案
①以D为原点，AC所在的直线为x轴，DB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图①；
②画出对应的x'轴，y'轴，使∠x'D'y'=45°，
在x'轴上取点A'，C'，
使D'A'=DA，D'C'=DC，
在y'轴上取点B'，使D'B'=DB，
连接A'B'，C'B'，
则△A'B'C'即为△ABC的直观图，如图②.
(2)求直观图的面积.
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答案
在图②中，作B'E⊥A'C'，E为垂足，
∵D'B'=DB=6，∠B'D'E=45°，
∴B'E=6×=3(cm)，
∴S△A'B'C'=×A'C'×B'E=×12×3=18 (cm2).
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10.一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图.
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答案
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10
(1)如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于
点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.
(2)画圆柱的两底面.在xOy平面上用椭圆模
板画出底面圆O的直观图，使直径为3 cm，在z轴上截取OO'，使OO'=3 cm，过O'作Ox的平行线O'x'，Oy的平行线O'y'，利用O'x'与O'y'画出底面圆O'的直观图，使其直径为3 cm.
(3)画圆锥的顶点.在z轴上画出点P，使PO'等于圆锥的高3 cm.
(4)连接A'A，B'B，PA'，PB'，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②.
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答案
11.如图，△A'O'B'是水平放置的△AOB的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知O'为坐标原点，顶点A'，B'均在坐标轴上，且△AOB的面积为12，则O'B'的长度为
A.1 B.2
C.3 D.4
√
综合运用
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答案
如图，画出△A'O'B'的原图△AOB，可知△AOB为直角三角形，
且OA=O'A'=6，
因为OB×OA=12，
所以OB=4，
所以O'B'=OB=2.
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答案
12.如图是利用斜二测画法画出的Rt△ABO的直观图，已知O'B'=4，且△ABO的面积为16，过点A'作A'C'⊥x'轴于点C'，则A'C'的长为
A.2 B.
C.16 D.1
√
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答案
∵A'B'∥y'轴，∴在△ABO中，AB⊥OB，
又OB=O'B'=4，
∴S△ABO=×4×AB=16，
∴AB=8，∴A'B'=4，
∴A'C'=4×=2.
13.(多选)如图所示，用斜二测画法作水平放置的△ABC的直观图，得△A1B1C1，其中A1B1=B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是
A.AB=BC=AC
B.AD⊥BC
C.AB⊥BC
D.AC>AD>AB>BC
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答案
√
√
由直观图可知△ABC为直角三角形，
AB⊥BC，AB=2A1B1，BC=B1C1，D为BC的中点，
如图所示，
又A1B1=B1C1，故AB错误，CD正确.
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答案
14.如图，正方形O'A'B'C'的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 cm.
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答案
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答案
由题意知正方形O'A'B'C'的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，
所以O'B'= cm，对应原图形平行四边形OABC的高OB=2O'B'=
2 cm，如图所示.
所以在原图形中，OA=BC=1 cm，
AB=OC==3(cm)，
故原图形的周长为2×(1+3)=8(cm).
15.如图所示，△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图，B'在x'轴上，A'O'与x'轴垂直，且A'O'=2，则△AOB的边OB上的高为
A.2 B.4
C.2 D.4
拓广探究
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答案
设△AOB的边OB上的高为h，
因为S原图形=2S直观图，
所以×OB×h=2××2×O'B'.
又OB=O'B'，所以h=4.
16.泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征.为延续该市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格.现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的空间图形，请画出其直观图(尺寸自定).
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答案
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答案
(1)先按照斜二测法画出直四棱柱的直观图A'B'C'D'-ABCD，如图①所示；
(2)以直四棱柱的上底面ABCD为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图ADE-BCF.可得直观图如图②所示.
图① 图②作业28 棱柱、棱锥和棱台
(分值：100分)
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分
1.下列关于棱柱的说法中，错误的是( )
A.三棱柱的底面为三角形
B.一个棱柱至少有五个面
C.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
2.下列几何体中是四棱锥的是( )
3.观察如图所示的四个空间图形，其中判断不正确的是( )
A.①是棱柱 B.②不是棱锥
C.③不是棱锥 D.④是棱台
4.如图所示，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余的部分是( )
A.三棱锥
B.四棱锥
C.三棱柱
D.组合体
5.如果一个棱锥的各条棱长都相等，那么这个棱锥可能是( )
A.八棱锥 B.七棱锥
C.五棱锥 D.六棱锥
6.(多选)如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )
7.(5分)一个棱台至少有 个面，面数最少的棱台有 个顶点，有 条棱.
8.(5分)五棱台ABCDE-A1B1C1D1E1，若AB=2A1B1且上底面A1B1C1D1E1的面积为2，则下底面的面积为 .
9.(10分)如图，四边形AA1B1B为矩形，AA1=3，CC1=2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱；若不是棱柱，作出一个过点C1的截面，截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的名称.
10.(11分)试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个顶点，连接后构成以下空间图形，并且用适当的符号表示出来.
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(3分)
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(4分)
(3)三棱柱.(4分)
11.(多选)如图，对该几何体描述正确的是( )
A.这是一个六面体
B.这是一个四棱台
C.这是一个四棱柱
D.此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到
12.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为1∶4，截去的棱锥的顶点到底面的距离为3，则棱台的上、下底面的距离为( )
A.12 B.9
C.6 D.3
13. 如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )
A.A1B1=2，AB=3，B1C1=3，BC=4
B.A1B1=1，AB=2，B1C1=1.5，BC=3，A1C1=2，AC=3
C.A1B1=1，AB=2，B1C1=1.5，BC=3，A1C1=2，AC=4
D.AB=A1B1，BC=B1C1，CA=C1A1
14.(5分)从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：
(1)矩形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点.
其中正确结论的个数为 .
15.(5分)如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VB=VC=4，∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°，过点A作截面AEF，则△AEF周长的最小值为 .
16.(12分)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(6分)
(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？(6分)
答案精析
1.C 2.C 3.B 4.B 5.C 6.BC
7.5 6 9
8.8
解析 由棱台的定义知，上、下底面相似，
∴=4，
∴ S五边形ABCDE=4
=4×2=8.
9.解 因为这个几何体中没有两个互相平行的面，
所以这个几何体不是棱柱.
如图，在AA1上取点E，使AE=2，在BB1上取点F，使BF=2，连接C1E，EF，C1F，则过点C1，E，F的截面将原几何体分成两部分，其中一部分是三棱柱ABC-EFC1，其侧棱长为2；另一部分是四棱锥C1-EA1B1F，即截去的几何体是四棱锥.
10.解 (1)如图①所示，三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).
(2)如图②所示，三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).
(3)如图③所示，三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).
11.ACD 12.D
13.C ［选项A中，，故C符合题意；选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不可能是三棱台.］
14.4
解析 如图所示，四边形ABCD为矩形，故(1)满足条件；四面体D-A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，
故(2)满足条件；
四面体D-B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故(3)满足条件；
四面体C-B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故(4)满足条件；
故正确的结论有4个.
15.4
解析 将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.
∵∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°，
∴∠AVA1=90°.
又VA=VA1=4，∴AA1=4.
∴△AEF周长的最小值为4.
16.解 (1)如图折起后的几何体是三棱锥.
(2)S△PEF=×2a×a=a2，
S△DEF=4a2-2a2-a2.作业29 圆柱、圆锥、圆台和球
(分值：100分)
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分
1.下列几何体中不是旋转体的是( )
2.(多选)下列命题中正确的是( )
A.过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径
B.母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等
C.圆台中所有平行于底面的截面都是圆面
D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形
3. 如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的空间图形形状为( )
A.一个球体
B.一个球体中间挖去一个圆柱
C.一个圆柱
D.一个球体中间挖去一个长方体
4.用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面的面积为( )
A.8 B.
C. D.
5.上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为( )
A.4 B.3
C.2 D.2
6.(多选)一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面可能的图形是( )
7.(5分)观察下列四个空间图形，其中可看作是由两个棱柱组合而成的是 .(填序号)
8.(5分)已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为 .(用Q表示)
9.(10分)圆台的上底面周长是下底面周长的，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，求此圆台的高、母线长及两底面的半径.
10.(10分)已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长.
11.如果圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是( )
A.等边三角形
B.等腰直角三角形
C.顶角为30°的等腰三角形
D.其他等腰三角形
12.(多选)如图所示的空间图形是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的复杂空间图形，现用一个竖直的平面去截这个复杂空间图形，则截面图形可能是( )
13.(5分)有这样一个古算题：“今有木长二丈四尺，围之五尺，葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”这个问题中，葛藤长的最小值为 尺.(注：1丈等于10尺)
14.(5分)一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.则圆台的高为 ；截得此圆台的圆锥的母线长为 .
15.一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对棱的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的( )
16.(12分)如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r=1，母线长l=4，M为母线SA上的一个点，且SM=x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：
(1)绳子的最短长度的平方f(x)；(3分)
(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；(6分)
(3)f(x)的最大值.(3分)
答案精析
1.D 2.ACD 3.B 4.B 5.D
6.ABC 7.①④
8.
解析 设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r.
∴4r2=Q，解得r=，
∴此圆柱的底面半径为.
9.解 设圆台上、下底面半径分别为r，R，母线长为l，高为h.
由题意，得2πr=·2πR，
即R=3r. ①
(2r+2R)·h=392，
即(R+r)h=392. ②
又母线与底面的夹角为45°，
则h=R-r=l. ③
联立①②③，得R=21，r=7，h=14，l=14.
故圆台的高为14，母线长为14，上底面半径为7，下底面半径为21.
10.解 作出圆锥的一个轴截面如图所示：其中AB，AC为母线，BC为底面直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线.
设正方体的棱长为x，
则DG=EF=x，DE=GF=x.
依题意，得△ABC∽△ADE，
∴，
即此正方体的棱长为.
11.A 12.AD
13.26
解析 如图，在Rt△ABC中，BC(即圆木的高)长24尺，AB=5×2=10(尺)，
因此葛藤长的最小值为=26(尺).
14.3 cm 20 cm
解析 如图，作圆台的轴截面，则截面为等腰梯形ABCD，O1，O分别为AD，BC的中点，作AM⊥BC于点M.连接O1O.
由已知可得上底半径O1A=2 cm，
下底半径OB=5 cm，
且腰长AB=12 cm，
∴AM= (cm)，
即圆台的高为3 cm.
如图，延长BA，OO1交于点S，
设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，
则由△SAO1∽△SBO，
得，
解得l=20 cm，∴截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
15.C ［易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A，D；等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B；而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是C.］
16.解 将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图形为扇形，且弧AA'的长度L就是圆O的周长，
∴L=2πr=2π.
∴∠ASM=×360°=90°.
(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM的长度，其值为AM=(0≤x≤4).
f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4).
(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，
在△SAM中，∵S△SAM=AM·SR，
∴SR=(0≤x≤4)即绳子最短时，
顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4).
(3)∵f(x)=x2+16(0≤x≤4)是增函数，
∴f(x)的最大值为f(4)=32.作业30 直观图的斜二测画法
(分值：100分)
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分
1.(多选)在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若角A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中角A'可能为( )
A.45° B.135°
C.90° D.90°或45°
2.(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是( )
A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点
3.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是( )
4. 水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B'O'=C'O'=1，A'O'=，那么原△ABC是一个( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.三边互不相等的三角形
5. 如图所示，梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A'D'=2B'C'=2，A'B'=1，则平面图形ABCD的面积为( )
A.2 B.2
C.3 D.3
6. 如图所示，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )
A.AB B.AD
C.BC D.AC
7.(5分)一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长为 cm，宽为 cm，建筑物的高为 cm.
8.(5分)如图，由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰直角三角形A'O'B'，若O'B'=1，则原△AOB的面积是 .
9.(10分)如图所示，在△ABC中，AC=12 cm，AC边上的高BD=12 cm.
(1)画出水平放置的△ABC的直观图；(5分)
(2)求直观图的面积.(5分)
10.(10分)一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图.
11. 如图，△A'O'B'是水平放置的△AOB的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知O'为坐标原点，顶点A'，B'均在坐标轴上，且△AOB的面积为12，则O'B'的长度为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12. 如图是利用斜二测画法画出的Rt△ABO的直观图，已知O'B'=4，且△ABO的面积为16，过点A'作A'C'⊥x'轴于点C'，则A'C'的长为( )
A.2 B.
C.16 D.1
13.(多选)如图所示，用斜二测画法作水平放置的△ABC的直观图，得△A1B1C1，其中A1B1=B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是( )
A.AB=BC=AC
B.AD⊥BC
C.AB⊥BC
D.AC>AD>AB>BC
14.(5分)如图，正方形O'A'B'C'的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 cm.
15. 如图所示，△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图，B'在x'轴上，A'O'与x'轴垂直，且A'O'=2，则△AOB的边OB上的高为( )
A.2 B.4
C.2 D.4
16.(12分)泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征.为延续该市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格.现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的空间图形，请画出其直观图(尺寸自定).
答案精析
1.AB 2.ACD 3.C 4.A 5.C 6.D
7.4 0.5 3.6
8.
解析 方法一 由题意得O'B'=B'A'=1，
∠B'O'A'=45°，
∴O'A'=，
∴△AOB是以∠AOB为直角的三角形，且OB=1，OA=2，
∴S△AOB=.
方法二 由题图可知S△A'O'B'=，
又∵S△A'O'B'=S△AOB，
则S△AOB=.
9.解 (1)①以D为原点，AC所在的直线为x轴，DB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图①；
②画出对应的x'轴，y'轴，
使∠x'D'y'=45°，
在x'轴上取点A'，C'，使D'A'=DA，D'C'=DC，
在y'轴上取点B'，使D'B'=DB，
连接A'B'，C'B'，
则△A'B'C'即为△ABC的直观图，如图②.
(2)在图②中，作B'E⊥A'C'，E为垂足，
∵D'B'=DB=6，∠B'D'E=45°，
∴B'E=6×(cm)，
∴S△A'B'C'= (cm2).
10.解 (1)如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.
(2)画圆柱的两底面.在xOy平面上用椭圆模板画出底面圆O的直观图，使直径为3 cm，在z轴上截取OO'，使OO'=3 cm，过O'作Ox的平行线O'x'，Oy的平行线O'y'，利用O'x'与O'y'画出底面圆O'的直观图，使其直径为3 cm.
(3)画圆锥的顶点.在z轴上画出点P，使PO'等于圆锥的高3 cm.
(4)连接A'A，B'B，PA'，PB'，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②.
11.B 12.A
13.CD ［由直观图可知△ABC为直角三角形，
AB⊥BC，AB=2A1B1，BC=B1C1，D为BC的中点，如图所示，
又A1B1=B1C1，故AB错误，CD正确.］
14.8
解析 由题意知正方形O'A'B'C'的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以O'B'= cm，如图所示.
所以在原图形中，OA=BC=1 cm，
AB=OC==3(cm)，
故原图形的周长为2×(1+3)=8(cm).
15.D ［设△AOB的边OB上的高为h，
因为S原图形=2S直观图，
所以×2×O'B'.
又OB=O'B'，所以h=4.］
16.解 (1)先按照斜二测法画出直四棱柱的直观图A'B'C'D'-ABCD，如图①所示；
(2)以直四棱柱的上底面ABCD为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图ADE-BCF.可得直观图如图②所示.
图① 图②
