3.1圆 练习
一、单选题
1．圆外一点到圆心的距离为6，则这个圆的半径可能为（ ）
A．6.5 B．5 C．7 D．8
2．已知的半径为4，，则在（ ）
A．上 B．内 C．外 D．以上都不对
3．已知的半径的长为，，则可以得到的正确图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，是的直径，点在上，，垂足为，已知，，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
5．已知的半径为3，且，则点和的位置关系是（ ）
A．点在圆上 B．点在圆外
C．点在圆内 D．圆不经过点
6．如图，在平面直角坐标系中，、，以点B为圆心、3为半径的上有一动点P．连接，若点C为的中点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知、为上的两点，若的半径为，则的长不可能是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，⊙的直径与弦的延长线交于点E．若则等于（ ）
A． B． C． D．
9．若点P在外，且，则⊙的半径不可能为（ ）
A．4 B．3 C． D．
10．如图所示，是轴的正半轴上一点，与轴交于、两点，与轴交于、两点，，，点是上任意一点，点是的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知⊙O的半径为3，点M到圆心O的距离为1.5，则点M在（ ）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
12．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．如图，某圆形餐桌中央的正方形桌垫的面积为4平方米，则餐桌的面积为 平方米．
14．如图，已知中，，，，以A为圆心、2为半径作圆，点D是圆A上一点，连接，点E是的中点，连接，那么长度的取值范围是 ．
15．在矩形中，与直线相切．如果与相交．且点在内，那么的半径长的取值范围为 ．
16．如图，为的直径，C为半圆上的一动点，以为边向外作等边（点D在直线的上方），连接．若的半径为2，则线段的最大值为 ．
三、解答题
17．如图，已知、是半径为1的的两条弦，且，连接、．
(1)证明：；
(2)试求的值；
(3)记、、的面积分别为、、，若，求的长．
18．如图，在中，，，，若以为圆心，为半径画，请根据下列条件，求半径的值或取值范围．
(1)与斜边有1个公共交点；
(2)与斜边有2个公共交点；
(3)与斜边没有公共交点．
19．如图，的弦的延长线交于点P，连接，且平分．求证：．
20．如图，在中，是直径，是弦，延长，相交于点P，且，，求的度数．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D D B A D A A B
题号 11 12
答案 C C
1．B
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，求出圆的半径．根据点在圆外时，设的半径为，则．
【详解】解：设的半径为，
点在圆外，
，
故选B．
2．B
【分析】考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握判断点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．
根据点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径判断即可．
【详解】解：，
点在内，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系即可．
【详解】解：∵的半径长为，， 而，
∴，
∴点A在圆上， 点B在圆外．
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了圆的基本概念、勾股定理，连接构造直角三角形利用勾股定理是解题的关键．连接，在中利用勾股定理求出的长，再结合是的直径即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，，
，
是的直径，
．
故选：D．
5．B
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系有种.设的半径为,点到圆心的距离,则有①点在圆外，②点在圆上，③点在圆内是解决此题的关键，由的半径为，知点到圆心的距离大于半径，进而即可得解.
【详解】解：的半径为，,
点到圆心的距离大于半径，
点在圆外，
故选：．
6．A
【分析】在y轴负半轴上取，连接，．证明是的中位线得，可得当取得最小值时，的值最小，当点P在线段上时，的值最小，即的值最小，求出，可得以的最小值是．
【详解】解：在y轴负半轴上取，连接，．
∵点C为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当取得最小值时，的值最小，当点P在线段上时，的值最小，即的值最小．
∵、，
∴，
∴．
∵的半径为3，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、圆的性质、三角形中位线，确定出OC最小时点P的位置是解题关键， 也是本题的难点．
7．D
【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，根据题意，可得圆的直径为，直径是圆上最长的弦，即，即可得到答案．
【详解】解：∵、为上的两点，若的半径为，
∴，
∴D不符合题意．
故选：D．
8．A
【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握三角形外角的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．连接，根据等腰三角形的性质证明，利用三角形外角的性质得到，再由等腰三角形的性质得到，从而计算的度数即可．
【详解】解：如图，连接．
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
9．A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点和圆的位置关系是解题的关键．
根据点与圆的位置关系来判断圆半径的取值范围，进而得出答案．
【详解】解：∵点P在外，
∴大于半径，
∵，
∴的半径，
A．因为，，，所以，故4不满足，该选项符合题意；
B．因为，，，所以，故3满足，该选项不符合题意；
C．因为，，所以，故满足，该选项不符合题意；
D．因为，，所以，故满足，该选项不符合题意；
故选：A．
10．B
【分析】取中点，连接， ， ， ， 由点是的中点，得 ，由，，得，进而可得，，， 由勾股定理求得，由，得三点共线时，， 最小，即可求解．
【详解】解：取中点，连接， ， ， ，
点是的中点，
，
，，
，
，
，
，
，，
中，，
中，，
三点共线时，， 最小，
此时，
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了圆的性质，三角形三边之间的关系、三角形中位线定理及勾股定理的应用，正确运用相关性质定理，作出辅助线是解题的关键．
11．C
【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，关键要记住，若圆半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
比较与的大小即可得出结论．
【详解】解：的半径为3．点到圆心的距离为1.5，
点在圆内．
故答案为：C．
12．C
【分析】连接、、，证明，得出，设，则，根据勾股定理求出，列出关于a的方程，求出即可．
【详解】解：连接、、，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵在和中，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：
，
∵小正方形的面积为，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：（舍去），，
，
即该半圆的半径为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
13．2π
【分析】本题主要考查正方形的性质和圆的面积，连接，由正方形的两种可求出根据勾股定理求出，再根据圆的面积计算公式可得结论．
【详解】解：∵四边形是正方形，且面积为4，
∴，
连接，如图，
∵正方形内接于，
∴，
∴由勾股定理得，
∴的面积为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了点与圆的位置关系、三角形中位线定理和勾股定理．根据题意正确作出辅助线、懂得利用中位线定理确定点的运动轨迹是解题的关键．
先取的中点，点E是的中点，连接、，根据中位线定理确定点的运动轨迹是在以为圆心，半径为1的圆上，然后根据勾股定理求出的长度，最后确定的范围．
【详解】解：取的中点，连接、、，如图：
点E是的中点，点是的中点，，
，，
当点D在圆A上时，点始终在以为圆心，半径为1的圆上，
点是的中点，
，
在中，，
，
，
即．
故答案为：．
15．．
【分析】首先求得矩形的对角线的长，然后根据点A在上，得到此半径为5，再根据和相交，得到的半径长的范围即可；
【详解】解：在矩形中，
∴
∵点A在上，
∴的半径为5，
∵如果与相交，
∴的半径r满足，
∵点B在内，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、点与圆的位置关系，解题的关键是读懂题意．
16．4
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，点到圆的距离，以为边作等边三角形，连接，证明，可得点D在以点E为圆心，半径为2的圆上运动，即可解答，正确做出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
点D在以点E为圆心，半径为2的圆上运动，
当O，E，D三点共线时，OD最大，最大值为．
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)1
(3)
【分析】（1）由定理证明，即可证得结论；
（2）先证明，得到，代入即可求得答案；
（2）依据，可设，即可得到，，再根据，即可得出方程，求得，再根据，，即可得到的长．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）知，
，
，
，
，
，
，
（3）解：，
可设，
，，
又，
，即，
，
解得：，（不合题意），
又，，
，
解得：．
【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识，灵活运用所学知识并学会利用参数是解题的关键．
18．(1)或；
(2)
(3)或
【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
（1）过点作于点，再分圆与相切时；点在圆内部，点在圆上或圆外时，根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解；
（2）要使圆与斜边有两个交点，则应满足直线和圆相交，且半径不大于．要保证相交，只需求得相切时，圆心到斜边的距离，即斜边上的高即可；
（3）根据与斜边没有公共交点可知或点在的内部，据此可得出结论．
【详解】（1）解：如图，过点C作，
，，，
，
．
当圆与相切时，即；
当点在圆内部，点在圆上或圆外时，此时，即．
或；
（2），
以为圆心，为半径所作的圆与斜边有两个交点，则圆的半径应大于，小于或等于，
的取值范围是；
（3）与斜边没有公共交点，
或点在的内部，
或．
19．见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
过点O作于点于点H，连接，则可证明，则，再证明，则，继而得以求证．
【详解】证明：过点O作于点于点H，连接．
平分，
，
∵
，
又，
，
．
20．
【分析】本题考查了圆的特点，等腰三角形性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，连接，得到，进而得到，结合三角形外角性质得到，结合等腰三角形性质和三角形内角和定理得到，进而推出的度数，即可解题．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
