板块二十六 实践操作(二)无刻度直尺画图综合探究
综合探究1
典例精讲
类型一 借等距，构分点
【例】 (2024武汉中考)如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC 的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.
(1)在图1中,画射线AD 交BC 于点D,使AD 平分△ABC的面积;
(2)在(1)的基础上,在射线 AD 上画点 E,使∠ECB=∠ACB;
(3)在图2中,先画点 F,使点 A 绕点 F 顺时针旋转90°到点 C,再画射线 AF 交BC 于点G;
(4)在(3)的基础上,将线段 AB 绕点 G 旋转180°,画对应线段 MN(点 A 与点M 对应,点 B 与点N 对应).
典题精练
类型二 借分点，构平行
1.(2023武汉中考)如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.正方形ABCD 四个顶点都是格点，E是AD上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.
(1)在图1中，先将线段 BE 绕点 B 顺时针旋转90°,画对应线段 BF,再在 CD 上画点G,并连接 BG,使∠GBE=45°;
(2)在图2中，M是 BE 与网格线的交点，先画点 M 关于 BD 的对称点 N,再在 BD 上画点 H,并连接MH,使∠BHM=∠MBD.
类型三 借对称，构等角
2.(2024武汉三调)如图是由小正方形组成的4×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C，D，E都是格点，P是CE 上一点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.
(1)如图1，先画点 F，使四边形 DCEF 为平行四边形,连接 FP,再画 FP 的中点G;
(2)如图2，若P 是CE 与网格线的交点，先画点 P 绕点C 逆时针旋转90°的对应点 Q，再在 BD 上画点H,使得∠BHE=∠DHQ.
综合探究2转化思想
典例精讲
类型一 等角转垂直
【例】 (2024江岸区)如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.
(1)在图 1 中,点 P 是 AB 上一点,将线段 AB 沿BC 方向平移,使点 B 与点C 重合,画出平移后的线段 DC，再在 DC 上画点E，使得CE=2AP;
(2)在图2中,在 AC 上画点 F,使 tan∠ABF 再在AB 上画点Q,使∠BQC=45°.
典题精练
类型二 等积转平行
1.(2024洪山区)如图是由小正方形组成的9×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.
(1)在图1中,画AB 的中点D,AC 的中点E,连接ED,再画平行四边形 BDEK;
(2)在图2中，F是 BC 与网格线的交点，点T 为格点,连接 BT,CT.在 AB 上画点G,使S△ACG=S△ACF;在 CT 上画点M,使 AM 平分四边形ABTC 的面积.
类型三 旋转转平行
2.(2024武昌区)如图是由小正方形组成的14×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C均为格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的辅助线不得超过三条.
(1)先在BC上画点M,使AM 平分∠BAC,再画AM 的中点N;
(2)先画点 P,使四边形ACPB 为平行四边形,再将△ABC 绕点C 旋转得△EFC,使得A 的对应点 E 落在直线CP 上.
综合探究3 模型运用
典例精讲
类型一 K 型图
【例】 (2023江汉区)如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.矩形ABCD 的四个顶点以及点E，F都是格点，EF 与AB 相交于点H.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个任务的画线不得超过三条，并回答问题：
(1)直接写出 的值为 ；
(2)在图1中,在CD 上画点G,使得EG=EH;
(3)在图2中,先画点A 关于 EF 对称点 A',再在BC 上画点 M,连接 MH,使得∠BMH=∠AHE.
典题精练
类型二 斜边中点
1.(2024江岸区)如图是由小正方形组成的6×6网格，四边形ABCD 的顶点都在格点上.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.
(1)在图 1中，以点 A 为位似中心，将四边形ABCD 缩小为原来的 ，画出缩小后的四边形 AB C D ,再在 AB 上画点 E,使得 DE平分四边形ABCD 的周长；
(2)在图2中,先在 AB 上画点 F,使得CF=BC,再分别在AD,AB 上画点M,N,使得四边形 BCMN 是平行四边形.
类型三 共圆模型
2.(2024硚口区)如图是由小正方形组成的9×6网格，点A，B，C均在格点上.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.
(1)在图1中,∠ABC的平分线BD交AC 于点D,先画△ABC的角平分线AE,再在射线 BD上画点F,连接AF,使 BD=2AF;
(2)在图2中,画△ABC 的高AH,再画∠AHC 的平分线 HK.
综合探究4最值问题
典例精讲
类型一 垂线段最短
【例】 (2024江岸区)如图，在正方形的网格中，A，B，C三点均为格点，点Q 为线段AB 与网格线的交点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.
(1)在图1中，画出△ABC 的角平分线BE,在线段 AC 上画点 F,连接 QF,使得tan∠AQF=3;
(2)在图2中,先画格点 P,使AC 平分∠BAP,再分别在线段AC,BC 上画点 M,N,连接QM,MN,使得QM 十MN 最小.
典例精讲
类型二 将军饮马
1.(2024汉阳区)如图是由小正方形组成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC 的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个任务的画线不得超过三条.
(1)在图1中，O是格线上一点，连接OC，直接写出 tan∠OCA= ,再在线段AB 上画点G,使BG:AG=4:3;
(2)在图 2 中,M 是 AB 与格线的交点,∠MCB=α,将 CM 绕点C 逆时针旋转2α得到线段CH,再在 BC,AC 上分别画点P,Q,使得 BQ+MP+PQ 最小.
类型三 拼接最值
2.如图是由小正方形组成的9×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC 的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.
(1)在图1中,D,E 分别是边AB,AC 上一点,且AD=CE.先将线段 AB 绕点 A逆时针旋转90°，画出对应线段AF，再在AF 上画点G,使△ADG≌△CEB;
(2)在图2中，先将 AC 绕点 C 逆时针旋转∠BAC,得到线段 CG,连接 BG,交 AC于点 N,再在 AB 上画点 M,使 BN+CM 的值最小.
板块二十六 实践操作(二)无刻度直尺画图综合探究
综合探究1 武汉中考调考真题回顾
典例精讲
类型一 借等距，构分点
【例】 (2024武汉中考)如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.
(1)在图1中,画射线AD交BC 于点D,使AD 平分△ABC 的面积;
(2)在(1)的基础上,在射线 AD 上画点E,使∠ECB=∠ACB;
(3)在图2中,先画点 F,使点 A 绕点 F 顺时针旋转90°到点 C,再画射线 AF 交BC 于点G;
(4)在(3)的基础上,将线段 AB 绕点 G 旋转180°,画对应线段MN(点 A 与点M 对应,点 B 与点N 对应).
典题精练
类型二 借分点，构平行
1.(2023武汉中考)如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.正方形ABCD 四个顶点都是格点，E是AD上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.
(1)在图1中，先将线段 BE 绕点 B 顺时针旋转90°,画对应线段 BF,再在 CD 上画点G,并连接BG,使∠GBE=45°;
(2)在图2中，M是 BE 与网格线的交点，先画点 M 关于 BD的对称点 N,再在 BD 上画点 H,并连接MH,使∠BHM=∠MBD.
类型三 借对称，构等角
2.(2024武汉三调)如图是由小正方形组成的4×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C，D，E都是格点，P是CE 上一点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.
(1)如图1，先画点 F，使四边形 DCEF 为平行四边形,连接FP,再画 FP 的中点G;
(2)如图2，若P 是CE 与网格线的交点，先画点 P 绕点C 逆时针旋转90°的对应点 Q，再在 BD 上画点H,使得∠BHE=∠DHQ.
综合探究2 转化思想
典例精讲
类型一 等角转垂直
【例】 (2024江岸区)如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.
(1)在图 1 中,点 P 是 AB 上一点,将线段 AB 沿BC 方向平移,使点 B 与点C 重合,画出平移后的线段 DC，再在 DC 上画点E，使得CE=2AP;
(2)在图2中,在AC 上画点 F,使 tan∠ABF 再在AB 上画点 Q,使∠BQC=45°.
典题精练
类型二 等积转平行
1.(2024洪山区)如图是由小正方形组成的9×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.
(1)在图1中,画AB 的中点D,AC 的中点E,连接ED,再画平行四边形 BDEK;
(2)在图2中，F是 BC 与网格线的交点，点T 为格点,连接BT,CT.在 AB 上画点G,使S△ACG=S△ACF;在CT 上画点M,使AM平分四边形ABTC 的面积.
四边形ABTC·
类型三 旋转转平行
2.(2024武昌区)如图是由小正方形组成的14×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C均为格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的辅助线不得超过三条.
(1)先在BC上画点M,使AM 平分∠BAC,再画AM 的中点N;
(2)先画点P,使四边形ACPB 为平行四边形,再将△ABC 绕点C 旋转得△EFC,使得A 的对应点 E 落在直线CP 上.
解:如图1;作△EFC 的法二如图2.
综合探究3 模型运用
典例精讲
类型一 K型图
【例】 (2023江汉区)如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.矩形ABCD的四个顶点以及点E，F都是格点，EF 与AB 相交于点 H.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个任务的画线不得超过三条，并回答问题：
(1)直接写出 的值为 2 ;
(2)在图1中,在CD上画点G,使得EG=EH;
(3)在图2中,先画点 A 关于 EF 对称点 A',再在BC 上画点 M,连接MH,使得∠BMH=∠AHE.
典题精练
类型二 斜边中点
1.(2024江岸区)如图是由小正方形组成的6×6网格，四边形ABCD 的顶点都在格点上.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.
(1)在图 1 中，以点 A 为位似中心，将四边形ABCD 缩小为原来的 ，画出缩小后的四边形 AB C D ,再在 AB 上画点 E,使得 DE平分四边形ABCD 的周长；
(2)在图2中,先在 AB 上画点 F,使得CF=BC,再分别在AD,AB 上画点M,N,使得四边形 BCMN 是平行四边形.
类型三 共圆模型
2.(2024硚口区)如图是由小正方形组成的9×6网格，点A，B，C均在格点上.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.
(1)在图1中,∠ABC的平分线BD交AC于点D,先画△ABC的角平分线AE,再在射线 BD上画点F,连接AF,使 BD=2AF;
(2)在图2中,画△ABC 的高AH,再画∠AHC 的平分线HK.
综合探究4 最值问题
典例精讲
类型一 垂线段最短
【例】 (2024江岸区)如图，在正方形的网格中，A，B，C三点均为格点，点Q 为线段AB 与网格线的交点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.
(1)在图1中，画出△ABC 的角平分线BE,在线段 AC 上画点 F,连接 QF,使得tan∠AQF=3;
(2)在图2中,先画格点 P,使AC 平分∠BAP,再分别在线段 AC,BC 上画点 M,N,连接QM,MN,使得 QM 十 MN 最小.
典例精讲
类型二 将军饮马
1.(2024汉阳区)如图是由小正方形组成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC 的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个任务的画线不得超过三条.
(1)在图1中，O是格线上一点，连接OC，直接写出 再在线段AB 上画点G,使1BG:AG=4:3;
(2)在图 2 中,M 是 AB 与格线的交点,∠MCB=α,将 CM 绕点 C 逆时针旋转2α得到线段CH,再在 BC,AC 上分别画点P,Q,使得 BQ+MP+PQ 最小.
类型三 拼接最值
2.如图是由小正方形组成的9×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.
(1)在图1中,D,E 分别是边AB,AC 上一点,且 AD=CE.先将线段 AB 绕点 A逆时针旋转90°，画出对应线段AF，再在AF上画点G,使△ADG≌△CEB;
(2)在图2 中，先将 AC 绕点C 逆时针旋转∠BAC,得到线段 CG,连接 BG,交 AC于点 N,再在 AB 上画点 M,使 BN+CM 的值最小.
