高二数学试题
2025．04
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若函数，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ）
A. 24 B. 30 C. 36 D. 60
3. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在5个大小相同的球中有2个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A. 是区间上的增函数 B. 是区间上的减函数
C. 1是的极大值点 D. 4是的极小值点
6. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. 10 D. 40
7. 将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为 ，且三次抛掷的结果互相独立． 记事件为 “至少两次结果为正面”，事件为 “第三次结果为正面”，则 （ ）
A. B. C. D.
8. 函数结构是值得关注的对象为了研究的结构，两边取对数，可得，即，两边取指数，得，即，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型结合上述材料，的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若小明坐公交上班的用时（单位：分钟）和骑自行车上班的用时（单位：分钟）分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若的密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则
D. 若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交
10. 下列关于组合数的等式中，正确的是（ ）
A B.
C. D.
11. 从棱长为1个单位长度的正四面体的一顶点出发，每次均随机沿一条棱行走1个单位长度，设行走次时恰好为第一次回到点的概率为，恰好为第二次回到点的概率为，则（ ）
A. B.
C. 时，为定值 D. 数列的最大项为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有______种
13. 若事件，互斥，，，，则_____．
14. 已知函数，若任意实数，不等式恒成立，则实数取值范围为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等．
（1）求展开式中各项系数之和；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中的有理项．
16. 某次测验满分为100分，组和组各有10人参加，成绩如下表：
76 78 83 84 85 90 92 95 98 99
63 72 73 75 80 81 84 85 92 99
对于该次测验，分数时及格，分数分时为良好，成绩分时为优秀．
（1）从两组中任取1名学生，求该名学生成绩为良好的概率；
（2）从组中随机抽取1名学生，再从组中随机抽取1名学生．用随机变量表示这两人的成绩为优秀的人数，求的分布列和数学期望；
17. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求函数的极大值与极小值.
18. 为测试、两款人工智能软件解答数学问题能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下：
试题类别 软件 软件
测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量
几何试题
函数试题
（1）分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率；
（2）小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小明应该用哪款软件解决这道试题
（3）现在道类似试题，其中几何、函数试题各道．小明比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，用表示这试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差．
19. 已知函数.
（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（2）已知直线是曲线的两条切线，且直线的斜率之积为1.
（i）记为直线交点的横坐标，求证：；
（ii）若也与曲线相切，求关系式并求出的取值范围.
高二数学试题
2025．04
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】BD
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】16
【13题答案】
【答案】##
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）0 （2）
（3）有理项为，，
【16题答案】
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【17题答案】
【答案】（1）答案见解析；
（2）的极大值为10，极小值为；
【18题答案】
【答案】（1）、
（2）小明应该使用软件来解决这道试题
（3），
【19题答案】
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
