专题2 函数与导数
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
知识1 函数的基本性质 （5年7考） 考点01 函数的单调性 2024年 新课标Ⅰ卷 函数与导数命题大概率延续 “2个选择题或填空题+1个解答题” 模式，分值稳定在22—35分。难度上，基础题简单易得分，占比40%以上，着重考查函数基本概念、性质、图象及导数基本运算等；压轴题难度飙升，侧重跨模块整合，如与数列、几何、三角函数等融合，对学生综合运用知识能力要求极高；中档题区分度提升，如数列结合数学归纳法考查，不再单纯套用公式，需灵活运用知识。题型上，创新题型涌现，打破传统命题模式，要求学生具备应变能力和创新思维；情境化命题突出，以实际生活场景为背景，考查学生提取关键信息、建立数学模型并求解的能力。导数工具性应用考查更深入，在函数单调性、极值、最值及不等式恒成立等问题中，含参函数讨论更复杂，隐零点、极值点偏移等仍是热点。
考点02 函数的最值 2021年 新高考Ⅰ卷
考点03 函数的奇偶性 2025年 全国二卷 2021年 新高考Ⅱ卷 2023年 新课标Ⅰ卷 2021年 新高考Ⅰ卷
考点04 函数的周期性 2025年 全国一卷
知识2 指对幂函数的性质及实际应用 （5年6考） 考点05 指对幂函数的性质 2023年 新课标Ⅰ卷 2021年 新高考Ⅱ卷 2024年 新课标Ⅱ卷 2024年 新课标Ⅰ卷 2025年 全国一卷
考点06 函数的实际应用 2023年 新课标Ⅰ卷
知识3 函数的零点 （5年1考） 考点07 函数的零点 2024年 新课标Ⅱ卷
知识4 导数的几何意义 （5年4考） 考点08 已知切线(斜率)求参数 2024年 新课标Ⅰ卷 2021年 新高考Ⅱ卷 2025年 全国一卷
考点09 求过一点的切线方程 2021年 新高考Ⅰ卷
知识5 导数在研究函数中的作用 （5年5考） 考点10 利用导数研究函数的单调性 2025年 全国二卷
考点11 利用导数研究函数的极值 2024年 新课标Ⅰ卷 2025年 全国二卷 2024年 新课标Ⅱ卷
考点12 利用导数研究函数的最值 2023年 新课标Ⅱ卷
知识6 导数的综合应用 （5年5考） 考点13 利用导数证明不等式 2023年 新课标Ⅰ卷 2022年 新高考Ⅱ卷 2024年 新课标Ⅰ卷
考点14 利用导数研究函数的零点 2024年 新课标Ⅱ卷
考点15 导数与数列的综合 2022年 新高考Ⅰ卷
考点01 函数的单调性
1．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列结论中一定正确的是( )
A. B. C. D.
考点02 函数的最值
2．[2021年 新高考Ⅰ卷]函数的最小值为________.
考点03 函数的奇偶性
3．[2025年 全国二卷]（多选）已知是定义在R上的奇函数,且当时,,则( )
A. B.当时,
C.当且仅当 D.是的极大值点
4．[2021年 新高考Ⅱ卷]设函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数，则( )
A. B. C. D.
5．[2023年 新课标Ⅰ卷]（多选）已知函数的定义域为R，，则( )
A. B.
C.是偶函数 D.为的极小值点
6．[2021年 新高考Ⅰ卷]已知函数是偶函数，则____________.
考点04 函数的周期性
7．[2025年 全国一卷]设是定义在R上且周期为2的偶函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
考点05 指对幂函数的性质
8．[2023年 新课标Ⅰ卷]设函数在区间单调递减，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
9．[2021年 新高考Ⅱ卷]已知，，，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
10．[2024年 新课标Ⅱ卷]设函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.1
11．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
12．[2025年 全国一卷]已知，则x，y，z的大小关系不可能是( )
A. B. C. D.
考点06 函数的实际应用
13．[2023年 新课标Ⅰ卷]（多选）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则( )
A. B. C. D.
考点07 函数的零点
14．[2024年 新课标Ⅱ卷]设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则( )
A.-1 B. C.1 D.2
考点08 已知切线(斜率)求参数
15．[2024年 新课标Ⅰ卷]若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则___________.
16．[2021年 新高考Ⅱ卷]已知函数，，，函数的图象在点和点处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则的取值范围是___________.
17．[2025年 全国一卷]若直线是曲线的一条切线，则___________.
考点09 求过一点的切线方程
18．[2021年 新高考Ⅰ卷]若过点可以作曲线的两条切线，则( )
A. B. C. D.
考点10 利用导数研究函数的单调性
19．[2025年 全国二卷]已知函数，其中.
（1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；
（2）设，分别为在区间的极值点和零点.
（i）设函数.证明：在区间单调递减；
（ii）比较与的大小，并证明你的结论.
考点11 利用导数研究函数的极值
20．[2024年 新课标Ⅰ卷]（多选）设函数，则( )
A.是的极小值点 B.当时，
C.当时， D.当时，
21．[2025年 全国二卷]若是函数的极值点，则_________.
22．[2024年 新课标Ⅱ卷]已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
考点12 利用导数研究函数的最值
23．[2023年 新课标Ⅱ卷]已知函数在区间单调递增，则a的最小值为( )
A. B.e C. D.
考点13 利用导数证明不等式
24．[2023年 新课标Ⅰ卷]已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
25．[2022年 新高考Ⅱ卷]已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围；
（3）设，证明：.
26．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知函数.
（1）若，且，求a的最小值；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若当且仅当，求b的取值范围.
考点14 利用导数研究函数的零点
27．[2024年 新课标Ⅱ卷]（多选）设函数，则( )
A.当时，有三个零点
B.当时，是的极大值点
C.存在a，b，使得为曲线的对称轴
D.存在a，使得点为曲线的对称中心
考点15 导数与数列的综合
28.[2022年 新高考Ⅰ卷]已知函数和有相同的最小值.
（1）求a；
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
参考答案与解析
考点01 函数的单调性
1．答案：B
解析：因为当时，，所以，.对于，令，得；令，得；依次类推，得；；；；；；；；；；；….显然，所以，故选B.
考点02 函数的最值
2．答案：1
解析：本题考查分段函数的概念与单调性.因为所以当时，单调递减，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.又因为，所以当时，取得最小值1.
考点03 函数的奇偶性
3．答案：ABD
解析：对A,因为定义在R上奇函数,则,故A正确；
对B,当时,,则,故B正确；
对C,,故C错误；
对D,当时,,则,
令,解得或（舍去）,
当时,,此时单调递增,
当时,,此时单调递减,
则是极大值点,故D正确；
故选：ABD.
4．答案：B
解析：因为函数是偶函数，所以，则函数的图象关于直线对称.因为函数是奇函数，所以，则，即，所以，且函数的图象关于点对称.又，则，所以，所以.又函数的图象关于直线对称，所以，故选B.
5．答案：ABC
解析：取，则，故A正确；取，则，所以，故B正确；取，则，所以，取，则，所以，所以函数为偶函数，故C正确；由于，且函数为偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，所以可能为函数的极小值点，也可能为函数的极大值点，也可能不是函数的极值点，故D不正确.故选ABC.
6．答案：1
解析：本题考查函数的奇偶性.因为为偶函数，所以，所以，由得.
考点04 函数的周期性
7．答案：A
解析：由题知，对一切成立，
于是.
故选：A
考点05 指对幂函数的性质
8．答案：D
解析：由题意得在区间上单调递减，所以，解得.故选D.
9．答案：C
解析：，即.
故选：C.
10．答案：C
解析：由及，单调递增，可得与同正、同负或同为零，所以当时，，即，所以，则，故选C.
11．答案：B
解析：因为函数在R上单调递增，且当时，，所以在上单调递增，所以，即；当时，，所以函数在上单调递增.若函数在R上单调递增，则，即.综上，实数a的取值范围是.故选B.
12．答案：B
解析：解法一：令，得，，，此时；令，得，，，此时；令，得，，，此时.故选B.
解法二：设，则，，，在同一平面直角坐标系中画出函数，，的图象，
由图可知x，y，z的关系不可能为，故选B.
考点06 函数的实际应用
13．答案：ACD
解析：因为随着p的增大而增大，且，，所以，所以，故A正确；由，得，因为，所以，故C正确；假设，则，所以，所以，不可能成立，故B不正确；因为，所以，故D正确.
考点07 函数的零点
14．答案：D
解析：解法一：令，即，可得，
令，，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到，均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述：.
解法二：令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，，
又因为，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以符合题意；
故选：D.
考点08 已知切线(斜率)求参数
15．答案：
解析：由题，令，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为.令，则，设直线与曲线相切于点，则，得，则，所以，所以.
16．答案：
解析：当时，，；当时，，.因为函数的图象在点A，B处的两条切线互相垂直，所以，即，所以.因为，，所以函数的图象在点A，B处的切线方程分别为，，分别令，得，，所以，，所以.令，则，所以函数在上单调递增，所以.又当时，，，所以当时，，所以，所以的取值范围是.
17．答案：4
解析：设直线与曲线的切点坐标为，由得，所以，解得，所以切点坐标为，又切点在切线上，所以，解得.
考点09 求过一点的切线方程
18．答案：D
解析：设，则.过点可以作曲线的两条切线，设切点，则，所以切线方程为.
将代入切线方程，得，即.因为过点可以作两条切线，所以方程有两个不相等的实数根.设，，则函数与的图象有两个交点.因为，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，所以.又当时，，当时，，所以要使两函数的图象存在两个交点，则.综上所述，.故选D.
考点10 利用导数研究函数的单调性
19．答案：（1）证明见解析
（2）（i）证明见解析
（ii），证明见解析
解析：（1）因为，，
所以.
当时，令，解得，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以是在上唯一的极值点，是极大值点.
因为，，
所以，，
所以是在上唯一的零点.
（2）（i）因为，
所以
.
因为，所以，，
所以，
即在区间单调递减.
（ii）由（i）得，在上单调递减，
所以，
即，
又，所以，
因为是的零点，所以，
所以，
又，，且在上单调递减，
所以.
考点11 利用导数研究函数的极值
20．答案：ACD
解析：因为，所以，令，解得或，当或时，，当时，，所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，故是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以A正确.
当时，，即，又函数在上单调递增，所以，所以B错误.
当时，，函数在上单调递减，所以，所以C正确.
当时，，所以，所以D正确.
综上，选ACD.
21．答案：
解析：，因为是函数的极值点，所以，即，则，经检验，满足题意，所以，所以.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，则，
则.
，所以切点坐标为，
所以切线方程为，即.
（2）易知函数的定义域为R，.
当时，，函数在R上单调递增，无极值；
当时，由，得，由，得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以的极小值为.
由题意知，等价于.
法一：令，
则，
所以函数在上单调递减，
又，故当时，；当时，.
故实数a的取值范围为.
法二：由，得.
如图为函数与在区间上的大致图象，
由图易知当时，，即.
所以实数a的取值范围为.
考点12 利用导数研究函数的最值
23．答案：C
解析：法一：，由在区间单调递增可知，当时，恒成立.当时，，不符合题意.当时，设，则，则在单调递增，所以只需，解得，故选C.
法二：由题意可知在区间上恒成立，即，.设，则在上恒成立，所以在上单调递增，，所以，即，故选C.
考点13 利用导数证明不等式
24．答案：(1)当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
解析：(1)，
当时，，
所以函数在上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
综上可得：当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
(2)由(1)得当时，函数的最小值为，
令，，
所以，令，得；令，得.
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的最小值为，
所以当时，成立.
25．答案：（1）当时，单调递减；
当时，单调递增
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）当时，，所以.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
（2）令，则对恒成立等价于对恒成立.
因为，所以.
令，则，则.
①若，即，则，
所以，使得当时，有，即，
所以单调递增，所以，矛盾.
②若，即，
则，
所以在上单调递减，所以，符合题意.
综上所述，实数a的取值范围是.
（3）证明：令，，则.
所以在上单调递增.所以，即.
令，则，
所以，即，
所以
.
故.
26．答案：（1）-2
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）的定义域为，
若，则，，
当时，，，则，
故a的最小值为-2.
（2）
，
故曲线关于点中心对称.
（3）由题知，
此时，
.
记，，易知在上单调递减，在上单调递增，，
当时，，，在上单调递增，
又，故符合题意.
当时，，，
令，得，
因为，所以，故，，
所以当时，，，在上单调递减，故，不符合题意.
综上，b的取值范围为.
考点14 利用导数研究函数的零点
27．答案：AD
解析：由题可知，.
对于A，当时，由得，由得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，，，当时，，故有三个零点，A正确；对于B，当时，由得，由得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，B错误；
对于C，当时，，当时，，故曲线必不存在对称轴，C错误；
对于D，解法一：，令，则可转化为，由为奇函数，且其图象关于原点对称，可知的图象关于点对称，则的图象关于点对称，故存在，使得点为曲线的对称中心，D正确.故选AD.
解法二：任意三次函数的图象均关于点成中心对称，D正确.故选AD.
考点15 导数与数列的综合
28.（1）答案：
解析：的定义域为R，的定义域为.
，.
①当时，恒成立，所以在R上单调递增，即没有最小值，不符合题意.
②当时，在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在时取得极小值，即为最小值，最小值为.
在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在时取得极小值，即为最小值，最小值为.
因为和有相同的最小值，
所以，即.
因为，所以上式等价于.
令，则恒成立，
所以在上单调递增.
又因为且，所以.
（2）答案：证明见解析
解析：证明：由（1）知，.
在上单调递减，上单调递增，且；
在上单调递减，上单调递增，且.
所以曲线，的大致形状如图所示.
设直线与曲线，三个交点的横坐标分别为，，，
所以，，，且，
，
所以，即.
又，，所以，，①
且，即.②
由①②得，
所以存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
