2023年中考九年级数学高频考点 专题训练---二次函数的最值
一、综合题
1．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．
2．已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（10，0），B（8，2 ），C（0，2 ），点T在线段OA上（不与线段端点重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A′），折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分（图中的阴影部分）的面积为S．
（1）求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；
（2）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；
（3）S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线 的对称轴是 ，且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B.
（1）求出点A、B的坐标；
（2）求抛物线解析式.
（3）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，作 轴，交AC于点Q.求线段PQ的最大值，并求出此时点P的坐标.
4．已知点A( ， )，B( ， )在二次函数y=x2+mx+n的图像上，当 =1， =3时， ．
（1）①求m的值；
②若抛物线与x轴只有一个公共点，求n的值.
（2）若P(a，b1)，Q(3，b2)是函数图象上的两点，且b1＞b2，求实数a的取值范围.
（3）若对于任意实数 ， 都有 ≥2，求n的取值范围.
5．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．
（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，一次函数y= x+m与坐标轴交于A，B两点，点C在直线AB上，且AC=2AB，以A为旋转中心，逆时针旋转线段AC，使得点C恰好落在Y轴正半轴上点C′处．
（1）求∠CAC′的正切值；
（2）点E是直线AC′上一点，连接CE，BE，若△ACE与△BCE相似，且m=1，求此时点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，作CD垂直于X轴，将△AOC′沿Y轴向下以每秒2个单位长度的速度向下运动，将△ACD沿着CA方向在直线AC上衣每秒 单位长度的速度运动，求出在此运动过程中两三角形重叠部分面积的最大值以及当时的t值．
7．如图，二次函数（）的图象经过点，点，点，连接AC.
（1）求二次函数的表达式；
（2）点P是该二次函数（）图象上位于第一象限内的一点.
①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点D，求线段PD的最大值.
②如图2，过点P作，交直线BC于点Q，若，求点P的坐标.
8．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ ＋（m﹣1）x＋2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
（2）如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM＋OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，是否存在点P，使得最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
9．平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，4）、C（12，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒4个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒.
（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；
（2）若点P在线段OD上运动（包含端点），求t为何值时△PQB的面积达到最大值；
（3）若点P在射线OD上运动，当t为何值时，△PQB为直角三角形.
10．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．
（1）分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y=2x+1，y= ，y=2（x﹣1）2+1的最大值和最小值；
（2）若y= 的值不大于2，求符合条件的x的范围；
（3）若y= ，当a≤x≤2时既无最大值，又无最小值，求a的取值范围；
（4）y=2（x﹣m）2+m﹣2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值．
11．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2＋2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx＋b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上.
（1）求出直线l的解析式；
（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2＋2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；
（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围.
12．某商店决定购进A，B两种.“冰墩墩”纪念品进行销售，已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元.用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同.
（1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元
（2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与销量的关系如下表，
售价x(元/件) 50≤x ≤60 60
①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少
②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件.若B型纪念品的售价为m (m>30）元/件时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，求m的值.
13．如图l，四边形 中， ， 为 的中点， 为 上一动点，连接 并延长至点 ，使得 ，连接 、 、 、 .
（1）四边形 一定是 （提醒你：填特殊四边形的名称）；
（2）如图2，若 ， ， ，是否存在这样的点 ，使得四边形 为菱形，若存在，计算菱形 的面积；若不存在，请说明理由.
（3）如图3，若 ， ， （ ），是否存在这样的点 ，使得四边形 为矩形，若存在，请求出 的最大值；若不存在，请说明理由.
14．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请求出其中某一个点Q的坐标．
15．如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣ x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：直线l是⊙M的切线；
（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．
16．已知二次函数： .
（1）该二次函数图象的对称轴是 ，它恒经过两个定点的坐标为 ；
（2）在直角坐标系中，点 、点 ，若此二次函数的图象与线段 恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围.
（3）若该二次函数的最大值为4.
①求二次函数的表达式；
②当 时，函数的最大值为m，最小值为n，若 ，求t的值.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：在y=﹣x2+2x+3中，令x=0可得y=3，
∴C（0，3），
令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=3或x=﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b，则有 ，解得 ，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．
设P（t，﹣t+3），则M（t，﹣t2+2t+3），
∴PM=（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t．
∴S△BCM= PM （ON+BN）= PM OB= ×3（﹣t2+3t）=﹣ （t﹣ ）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴当t= 时，△BCM的面积最大，此时P点坐标为（ ， ）
（3）解：∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴设Q（1，m），且C（0，3），N（ ，0），
∴CN= = ，CQ= = ，NQ= = ，
∵△CNQ为直角三角形，
∴分点C为直角顶点、点Q为直角顶点和点N为直角顶点三种情况：
①当点C为直角顶点时，则有CN2+CQ2=NQ2，
即（ ）2+（m2﹣6m+10）= +m2，解得m= ，
此时Q点坐标为（1， ）；
②当点Q为直角顶点时，则有NQ2+CQ2=CN2，
即（m2﹣6m+10）+ +m2=（ ）2，解得x= 或x= ，
此时Q点坐标为（1， ）或（1， ）；
③当点N为直角顶点时，则有NQ2+CN2=CQ2，
即（ ）2+ +m2=m2﹣6m+10，解得m=﹣ ，
此时Q点坐标为（1，﹣ ）；
综上可知Q点的坐标为（1， ）或（1， ）或（1， ）或（1，﹣ ）
2．【答案】（1）解：∵A，B两点的坐标分别是A（10，0）和B（8，2 ），∴tan∠OAB= = ，
∴∠OAB=60°，
当点A′在线段AB上时，
∵∠OAB=60°，TA=TA′，
∴△A′TA是等边三角形，且TP⊥AA′，
∴TP=（10﹣t）sin60°= （10﹣t），A′P=AP= AT= （10﹣t），
∴S=S△ATP= A′P TP= （10﹣t）2，
当A 与B重合时，AT=AB==4，
所以此时6≤t＜10
（2）解：当点A′在线段AB的延长线上，且点P在线段AB（不与B重合）上时，纸片重叠部分的图形是四边形（如图①，其中E是TA′与CB的交点），
假设点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是（2，0），由（1）中求得当A 与B重合时，T的坐标是（6，0），
则当纸片重叠部分的图形是四边形时，2＜t＜6
（3）解：S存在最大值．①当6≤t＜10时，S= （10﹣t）2，
在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，
∴当t=6时，S的值最大是2 ；
②当2≤t＜6时，
由图①，重叠部分的面积S=S△A′TP﹣S△A′EB，
∵△A′EB的高是A′B sin60°，
∴S= （10﹣t）2﹣ （10﹣t﹣4）2× + （ ﹣4）2× = （﹣ t2+2t+30）=﹣ （t﹣2）2+4 ，
当t=2时，S的值最大是4 ；
③当0＜t≤2，即当点A′和点P都在线段AB的延长线上是（如图②，其中E是TA 与CB的交点，F是TP与CB的交点），
∵∠EFT=∠ETF，四边形ETAB是等腰梯形，
∴EF=ET=AB=4，
∴S= EF OC= ×4×2 =4 ．
综上所述，S的最大值是4 ，此时t的值是t=2．
3．【答案】（1）解：
当 时， ，当 时， .
∴ ， ，
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于直线 对称，
∴ .
（2）解：抛物线 过点， ， ，
可设抛物线解析式为 ，又抛物线过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
（3）解：设 ， 轴，交AC于点Q，
∴ ，
∴ ，
，
∴当 时，QP最大值是2，此时 .
4．【答案】（1）解：①∵x1 =1， x2 =3时， y1=y2 ，
∴1+m+n=9+3m+n，
解得：m=-4.
∴m值为-4.
②∵y=x2-4x+n与x轴只有一个公共点，
∴方程x2-4x+n=0只有一个解，
∴△=16-4n=0，
解得：n=4.
∴n值为4.
（2）解：∵x1 =1， x2 =3时， y1=y2 ，
∴对称轴为：x=2，
∴当x＜2时，y随x的增大而增大，x＞2时，y随x的增大而减少，
∵b1＞b2，
∴a>3或a<1，
∴实数a的取值范围为：a>3或a<1.
（3）解：∵对于任意实数 x1 ， x2 都有 y1+y2 ≥2，
∴二次函数y=x2-4x+n最小值大于或等于1，
即=≥1，
解得：n≥5.
∴n的取值范围为n≥5.
5．【答案】（1）解：因为OA=4，AB=2，把△AOB绕点O逆时针旋转90°，
可以确定点C的坐标为（2，4）；由图可知点A的坐标为（4，0），
又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，
得 ，解得
所以抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；
（2）解：四边形PEFM的周长有最大值，理由如下：
由题意，如图所示，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，
∴EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，
则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，
∴当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值，Lmax=10；
（3）解：在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，理由如下：
∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4可知顶点坐标（2，4），
∴知道C点正好是顶点坐标，知道C点到x轴的距离为4个单位长度，
过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=﹣4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，
这两个交点为所求的N点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4 解得x1=2+ ，x2=2﹣
∴N点坐标为N1（2+ ，﹣4），N2（2﹣ ，﹣4）．
6．【答案】（1）解：由题意A（﹣2m，0），B（0，m），C（2m，2m），C′（0，4m），
∴AO=2m，OB=m，C′B=3m．
作C′H⊥AC于H，由△AOB∽△C′HB，可得C′H= m，BH= m，
∵AB= m，
∴AH= ，
∴tan∠CAC′= = ．
（2）解：当m=1时，A（﹣2，0），B（0，1），C（2，2），C′（0，4），
∴直线AC′的解析式为y=2x+4，
设E（n，2n+4），
∴EC2=（n﹣2）2+（2n+4﹣2）2，AB=BC= ，
∵△CAE∽△CEB，
∴EC2=CB CA，
∴（n﹣2）2+（2n+4﹣2）2=10，
解得n= ，
∴点E坐标为（ ， ）或（ ， ）．
（3）解：①如图1中，当0＜t＜1时，重叠部分是四边形MNBK．
S=S△ABK﹣S△AMN=﹣ t2+2t+1，当t= 时，S最大值= ．
②∵直线A′C′的解析式为y=2x+4﹣2t，直线AC的解析式为y= x+1，
由 ，解得x= ，
当点C在直线A′C′上时，2﹣2t= ，解得t= ，
∴当1≤t＜ 时，重叠部分是四边形MNCD，
S=S△ACD﹣S△AMN=﹣ t2+ t+1，当t=1是，S最大值= ．
③∵点D在直线y= x﹣1上运动，
由 ，解得x= ，
当点D在直线A′C′上时，2﹣2t= ，解得t= ，
∴当 ≤t≤ 时，重叠部分是△MND，
S=S△MND= t2﹣20t+16，当t= 时，S 最大值=1，
综上所述，重叠部分的面积的最大值为 ，此时t= ．
7．【答案】（1）解：把，点，点，代入二次函数中，
得，
解得，
二次函数的表达式为；
（2）解：①点，点，
设直线的解析式为，
将点，点代入其中；
，
解得：，
直线的解析式为，
设点的横坐标为，
则，，
，
时，线段的最大值为；
②过点，分别作轴的平行线与直线交于点，.如图：
，
，
，
，
，
，
，
的解析式为，
，
由，得，
设点的横坐标为，则，，
得，
令，，解得或，
故为或.
8．【答案】（1）解：将B（4，0）代入y＝﹣＋（m﹣1）x＋2m，
∴﹣8＋4（m﹣1）＋2m＝0，
解得m＝2，
∴y＝﹣＋x＋4；
A（﹣2，0）；C（0，4）
（2）解：存在点M使AM＋OM最小，理由如下：
作O点关于BC的对称点，连接A交BC于点M，连接B，
由对称性可知，OM＝M，
∴AM＋OM＝AM＋MA，
当A、M、三点共线时，AM＋OM有最小值，
∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
由对称性可知∠BM＝45°，
∴B⊥BO，
∴（4，4），
设直线A的解析式为y＝kx＋b，
∴，
解得，
∴y＝x＋，
设直线BC的解析式为，
∴4＋4＝0，
∴＝﹣1，
∴y＝﹣x＋4，
联立方程组，
解得，
∴M（）；
（3）解：存在点P，使得最大，理由如下：
连接PB，过P点作PGy轴交CB于点G，
设P（t，﹣＋t＋4），则G（t，﹣t＋4），
∴PG＝﹣＋2t，
∵OB＝OC＝4，
∴BC＝4，
∴S△BCP＝×4×（﹣＋2t）＝﹣＋4t＝×4×PF，
∴PF＝﹣＋t，
∵CD⊥BC，PF⊥BC，
∴PFCD，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵B、D两点关于y轴对称，
∴CD＝4，
∴＝﹣（﹣4t）＝﹣＋，
∵P点在第一象限内，
∴0＜t＜4，
∴当t＝2时，有最大值，
此时P（2，4）．
9．【答案】（1）解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC=∠OAB=90°
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠DOQ=45°，
∴在Rt△AOD中，∠ADO=45°，
∴AO=AD=4，
∴
（2）解：
∵-4＜0，
∴当t=2时，S的最大值为16，即△PQB的面积达到最大值为16；
（3）解：要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°.
如图1，作PG⊥OC于点G，
在Rt△POG中，
∵∠POQ=45°，
∴∠OPG=45°，
∵
∴OG=PG=2t，
∴点P（2t，2t）
又∵Q（4t，0），B（12，4），
根据两点间的距离公式可得：PB2=（12﹣2t）2+（4﹣2t）2， QB2=（12﹣4t）2+42 ， PQ2=（4t﹣2t）2+（2t）2=8t2，
①若∠PQB=90°，则有PQ2+BQ2=PB2，
即：8t2+[（12﹣4t）2+42]=（12﹣2t）2+（4﹣2t）2 ，
整理得：t2﹣2t=0，
解得：t1=0（舍去），t2=2，
∴t=2，
②若∠PBQ=90°，则有PB2+QB2=PQ2，
∴[（12﹣2t）2+（4﹣2t）2]+[（12﹣4t）2+42]=8t2 ，
整理得：t2﹣10t+20=0，
解得：
∴当t=2或 或 时，△PQB为直角三角形.
10．【答案】（1）解：y=2x+1中k=2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=2时，y最小=5；当x=4时，y最大=9．
∵y= 中k=2＞0，
∴在2≤x≤4中，y随x的增大而减小，
∴当x=2时，y最大=1；当x=4时，y最小= ．
∵y=2（x﹣1）2+1中a=2＞0，且抛物线的对称轴为x=1，
∴当x=1时，y最小=1；当x=4时，y最大=19
（2）解：令y= ≤2，
解得：x＜0或x≥1．
∴符合条件的x的范围为x＜0或x≥1
（3）解：①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最大值，有最小值 ，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最大值 ，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最小值，有最大值 ，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值 ，无最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，y= 既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a＜0
（4）解：①当m＜2时，有2（2﹣m）2+m﹣2=1，
解得：m1=1，m2= （舍去）；②当2≤m≤4时，有m﹣2=1，
解得：m3=3；③当m＞4时，有2（4﹣m）2+m﹣2=1，
整理得：2m2﹣15m+29=0．
∵△=（﹣15）2﹣4×2×29=﹣7，无解．
∴m的值为1或3． ①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最大值，有最小值 ，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最大值 ，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最小值，有最大值 ，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值 ，无最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，y= 既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a＜0；
11．【答案】（1）解：点A（-3，-3），B（1，-1）代入y=kx+b可得：
解得：
∴l的解析式为： ；
（2）解：根据题意可得，y=-x2+2x-1，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∵m≤x≤m+2时，y有最大值-4，
∴当y=-4时，有-x2+2x-1=-4，
∴x=-1或x=3，
①在对称轴直线x=1左侧，y随x的增大而增大，
∴x=m+2=-1时，y有最大值-4，
∴m=-3；
②在对称轴直线x=1右侧，y随x增大而减小，
∴x=m=3时，y有最大值-4；
综上所述：m=-3或m=3；
（3）解：①a＜0时，x=1时，y≤-1，
即a≤-2；
②a＞0时，x=-3时，y≥-3，
即a≥ ，
直线AB的解析式为y= x- ，
抛物线与直线联立：ax2+2x-1= x- ，
∴ax2+ x+ =0，
△= -2a＞0，
∴a＜ ，
∴a的取值范围为 ≤a＜ 或a≤-2.
12．【答案】（1）解：设A，B两种纪念品每件的进价分别是x元、y元，
由题意得：，
整理，解得：，
经检验 是方程组的解.
答：A，B两种纪念品每件的进价分别是50元、20元.
（2）解：①设售出A纪念品所获利润为w，
当50≤x ≤60时w=100（x-50）=100x-5000，
∵k=100＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=60时，w最大值=6000-5000=1000；
当60
∴当x=65时W最大值=1125；
∵1125＞1000，
∴当x=65时售出A纪念品所获利润最大，最大利润为1125元；
②设购进A商品a件，B商品（200-a）件，利润为y元
∴50≤a≤200-a
解之：50≤a≤100
由①可知当售价为60元时，A的最大利润为1000元
y=（60-50）a+（200-a）（m-20）=a（30-m）+200m-4000，
当m＞30即30-m＜0，y随a的增大而减小，
∴当a=50时获得的利润最大，
当a=50时y=50×（30-m）+200m-4000
150m-2500=2800
∴m≈35.
13．【答案】（1）平行四边形
（2）解：存在点F，使得四边形 为菱形，理由如下：
如图2， ∵四边形 是平行四边形，
∴当DF=FC时，四边形 是菱形，
∴AD2+AF2=BC2+BF2，
∴32+AF2=62+(9-AF)2
解得，AF=6，
∴AF=BC=6，AD=BF=3，∠A=∠B=90°，
∴△ADF≌△CFB，
∴∠AFD=∠BCF，
∵∠BCF+∠BFC=90°，
∴∠AFD+∠BFC=90°，
∴∠DFC=90°，
∴四边形 是正方形，
∴S四边形DFCG=DF2=AD2+AF2=32+62=45.
即当AF=6时，四边形 是菱形，且面积为45.
（3）解：存在点F，使得四边形 为矩形，理由如下：
如图3， ∵四边形 是平行四边形，
∴当∠DFC=90°时，四边形 是矩形，
∴∠DFA+∠BFC=90°，
∵∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠ADF=∠BFC，
∵∠A=∠B=90°，
∴△ADF∽△BFC，
∴
设AF=x，
∴ ，
∴ ，
∵m与x成二次函数关系，且a= ，
∴抛物线开口向下，m有最大值，
∴当x= 时，m的最大值为 .
作DM⊥BC，垂足为M，由勾股定理得，DC2=DM2+CM2
∴当m为最大值时，DC长最大为 ，
∵四边形 是矩形
∴EG=DC，
∴EF的最大值为 .
14．【答案】（1）解：设y=a（x+1）（x﹣6）（a≠0），把B（5，﹣6）代入：a（5+1）（5﹣6）=﹣6，a=1，
∴y=（x+1）（x﹣6）=x2﹣5x﹣6
（2）解：存在，
如图1，分别过P、B向x轴作垂线PM和BN，垂足分别为M、N，
设P（m，m2﹣5m﹣6），四边形PACB的面积为S，
则PM=﹣m2+5m+6，AM=m+1，MN=5﹣m，CN=6﹣5=1，BN=5，
∴S=S△AMP+S梯形PMNB+S△BNC
= （﹣m2+5m+6）（m+1）+ （6﹣m2+5m+6）（5﹣m）+ ×1×6
=﹣3m2+12m+36
=﹣3（m﹣2）2+48，
当m=2时，S有最大值为48，这时m2﹣5m﹣6=22﹣5×2﹣6=﹣12，
∴P（2，﹣12）
（3）解：这样的Q点一共有5个，连接Q3A、Q3B，
y=x2﹣5x﹣6=（x﹣ ）2﹣ ；因为Q3在对称轴上，所以设Q3（ ，y），∵△Q3AB是等腰三角形，且Q3A=Q3B，由勾股定理得：（ +1）2+y2=（ ﹣5）2+（y+6）2，y=﹣ ，∴Q3（ ，﹣ ）
15．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣ ．
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ x+
（2）解：连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．
把x=0代入y=﹣ x+4得：y=4，
∴A（0，4）．
将y=0代入得：0=﹣ x+4，解得x=8，
∴B（8，0）．
∴OA=4，OB=8．
∵M（﹣1，2），A（0，4），
∴MG=1，AG=2．
∴tan∠MAG=tan∠ABO= ．
∴∠MAG=∠ABO．
∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠MAG+∠OAB=90°，即∠MAB=90°．
∴l是⊙M的切线
（3）解：∵∠PFE+∠FPE=90°，∠FBD+∠PFE=90°，
∴∠FPE=∠FBD．
∴tan∠FPE= ．
∴PF：PE：EF= ：2：1．
∴△PEF的面积= PE EF= × PF PF= PF2．
∴当PF最小时，△PEF的面积最小．
设点P的坐标为（x，﹣ x2﹣ x+ ），则F（x，﹣ x+4）．
∴PF=（﹣ x+4）﹣（﹣ x2﹣ x+ ）=﹣ x+4+ x2+ x﹣ = x2﹣ x+ = （x﹣ ）2+ ．
∴当x= 时，PF有最小值，PF的最小值为 ．
∴P（ ， ）．
∴△PEF的面积的最小值为= ×（ ）2=
16．【答案】（1）x=3；（0，-5）（6，-5）
（2）解：函数图象如下：
当 时，开口向下，二次函数的图象与线段 恰有一个公共点
则二次函数的顶点为 ，代入函数解析式可得
，解得
当 时，开口向上，二次函数的图象与线段 恰有一个公共点
由函数图象可得：函数图象与线段 的交点在 之间，
即 时， ， 时， ，即
，解得
（3）解：①由题意可得，函数的顶点为 ，代入解析式得： ，
解得 ，
函数解析式为 ，
②当 时，对t进行分类讨论，
1）当计 时，即 ，y随着x的增大而增大，
当 时， ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，解得 （不合题意，舍去），
2）当 时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴ ，
ⅰ）当 时，在 时， ，
∴ ，
∴ ，解得 （不合题意，舍去）；
ⅱ）当 时，在 时， ，
∴ ，
∴ ，解得 （不合题意，舍去），
3）当 时，y随着x的增大而减小，
当 时， ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，解得 （不合题意，舍去），
综上所述， 或 .
