云南省昭通市巧家县2021-2022学年九年级下学期期中数学试题
一、单选题
1．（2022七上·泾阳月考）小明家的冰箱冷藏室温度是4℃，冷冻室的温度是℃，则他家的冰箱冷藏室比冷冻室温度高（ ）
A．8℃ B．16℃ C．℃ D．℃
2．（2022九下·巧家期中）截至2022年3月，中国已向120多个国家和国际组织提供超过21亿剂新冠疫苗，将数据2100000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九下·巧家期中）如图，点E在AB的延长线上，下列条件中能判断AD∥BC的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022九下·巧家期中）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020七下·东台月考）一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（2022九下·巧家期中）已知，，，，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021八下·滨海期末）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
8．（2022九下·巧家期中）有一系列式子，按照一定的规律排列成，，，，…，则第个式子为（为正整数）（ ）
A． B． C． D．
9．（2022九下·巧家期中）图，电灯在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，米，米，点到的距离是2.4米，则到的距离为（ ）
A．3.6米 B．4米 C．5米 D．5.4米
10．（2021·南湖模拟）某中学七年级甲、乙两个班进行了一次数学运算能力测试，测试人数每班都为40人，每个班的测试成绩分为 四个等级，绘制的统计图如下：
根据以上统计图提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．甲班 等的人数最多 B．乙班 等的人数最少
C．乙班 等与 等的人数相同 D． 等的人数甲班比乙班多
11．（2022九下·巧家期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC=CD，连接AC．若∠DAB=40°，则∠D的度数为（ ）
A．70° B．120° C．140° D．110°
12．（2022九下·巧家期中）已知抛物线经过点，，则关于的一元二次方程的解为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、填空题
13．（2022九下·巧家期中）已知，则mn= ．
14．（2022八下·肇源期末）甲、乙、丙、丁四人参加滑雪比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，你认为成绩更稳定的是 ．
15．（2022九下·巧家期中）如图，点在反比例函数的图像上，过点作轴于点，轴于点，若矩形的面积为3，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为 ．
16．（2022八下·礼泉期末）分解因式： .
17．（2022九下·巧家期中）如图，在菱形中，点是的中点，连接，交于点．，，则的长是 ．
18．（2022九下·巧家期中）如图，在矩形中，，，点是对角线上一点，当点、、组成一个等腰三角形时，的面积为 ．
三、解答题
19．（2022九下·巧家期中）计算：
20．（2022九下·巧家期中）2022年是中国壬寅年（虎年），小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的三张纪念邮票（邮票面值分别为8分，1.20元，和50分），3张纪念邮票分别放到、、三个完全相同的不透明盒子中．
（1）小亮从中随机抽取一个盒子，盒子里的邮票面值是50分的概率是 ．
（2）小亮随机抽取两个盒子后记下邮票面值，用画树状图（或列表）的方法，求小亮抽到的两个盒子里，面值恰好是8分邮票和50分邮票的概率．
21．（2022九下·巧家期中）如图，在平行四边形中，将平行四边形折叠，使点落在边上的点处，折痕为，连接、、，与交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，，求的长度．
22．（2022九下·巧家期中）富民杨梅是云南省富民县特产水果，中国地理标志产品（农产品地理标志）．成片的杨梅园遍布富民的村村寨寨，处处洋溢着“种杨梅、摘杨梅、品杨梅、卖杨梅”的喜悦．小陈想在富民县某果园购买一些杨梅，经了解，该果园的杨梅有以下两种销售方案：
方案一：整箱销售（无包装），定价为10元/斤，如果一次性购买10斤以上，超过10斤部分的杨梅的价格打8折；
方案二：整箱销售（精美包装），每箱装10斤，定价为100元/箱．
（1）设小陈购买杨梅斤，按方案一购买的付款金额为元，求出与之间的函数关系式．
（2）若小陈想在该果园购买30斤杨梅，并将这些杨梅（每10斤装箱）送给外地的三个好朋友，已知小陈购买散称杨梅自己包装时，每10斤需要包装费5元．请你帮助小陈计算，按哪种方案购买更划算？
23．（2022九下·巧家期中）如图，在中，，以为直径作，交于点，作交延长线于点，为上一点，且．
（1）求证：为的切线．
（2）若，，求的长．
24．（2022九下·巧家期中）已知抛物线（为常数）．
（1）当时，求抛物线的对称轴和顶点坐标．
（2）当时，求抛物线顶点到轴的最小距离．
（3）当时，点为该抛物线上的两点（非轴上的点），顶点为，直线的解析式为，直线的解析式为，若，求直线与轴的交点坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的减法
【解析】【解答】(℃)，
即冰箱冷藏室比冷冻室温度高16℃
故答案为：B．
【分析】 利用冷藏室温度减去冷冻室的温度列出算式并计算即可.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】2100000000=．
故答案为：D．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：由∠2=∠4，可得AD∥CB；
由∠1=∠3或∠C=∠CBE或∠C+∠ABC=180°，可得AB∥DC；
故答案为：B．
【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可。
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A. ，A不符合题意；
B. ，B符合题意；
C. 与不是同类项，不能合并，C不符合题意；
D. ，D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用同底数的乘法、幂的乘方、合并同类项及完全平方公式逐项判断即可。
5．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个内角都等于135°，
∴这个多边形的每个外角都等于180°-135°=45°，
∵多边形的外角和为360度，
∴这个多边形的边数为：360÷45=8.
故答案为：D.
【分析】先求出多边形的每一个外角的度数，继而根据多边形的外角和为360度进行求解即可.
6．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，
∴AB＝＝，
∴sinA＝＝，
tanA＝，
tanB＝，
cosB＝＝，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用锐角三角函数的定义逐项判断即可。
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ，
所以方程没有实数根．
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再判断求解即可。
8．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵第1个数为；
第2个数为；
第3个数为；
第4个数为；
∴第n个数为.
故答案为：A.
【分析】根据前几项中数据与序号的关系可得规律第n个数为。
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E，
∵AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD，
∴AB：CD=PE：PF，
∴3：5=2.4：PF，
∴PF=4米，
故答案为：B．
【分析】过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E，先证明△PAB∽△PCD，可得AB：CD=PE：PF，再将数据代入求出PF的长即可。
10．【答案】D
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图
【解析】【解答】解：由统计图及题意可得：
甲班的测试成绩为 等的人数分别为：5名，8名，13名，14名，
乙班的测试成绩为 等的人数为： （名），测试成绩为 等的人数为： （名），测试成绩为 等的人数为： （名），测试成绩为 等的人数为： （名），
∴A、B、C选项说法正确，D选项说法错误，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】由统计图可得甲班的测试成绩为A、B、C、D等的人数，由扇形统计图可求出乙班的测试成绩为A等、B等、C等、D等的人数，据此判断.
11．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵BC=CD，
∴，
∵∠DAB=40°，
∴∠BAC=∠DAB=20°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D=180°﹣∠B=110°，
故答案为：D．
【分析】先求出∠BAC=∠DAB=20°，利用三角形的内角和求出∠B=90°﹣∠BAC=70°，再利用圆内接四边形的性质求出∠B=90°﹣∠BAC=70°即可。
12．【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，0），（3，0），
∴a-b+c=0，，
∴b=-2a，c=-3a，
∵a（x+1）2-cx=a+2b，
∴a（x+1）2+3ax=-3a，
∴a（x+1）2+3a（x+1）=0，
∴a（x+1）（x+1+3）=0，
解得x=-1或x=-4．
故答案为：A．
【分析】根据a（x+1）2-cx=a+2b，可得a（x+1）（x+1+3）=0，再求出x=-1或x=-4即可。
13．【答案】16
【知识点】非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵，
∴m-2=0，n-8=0，
∴m=2，n=8，
∴mn=2×8=16．
故答案为：16．
【分析】根据非负数之和为0的性质可得m-2=0，n-8=0，求出m、n的值，再将m、n的值代入mn计算即可。
14．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵s甲2=0.2，s乙2=0.15，s丙2=0.25，s丁2=0.4，
∴方差最小的为乙，
∴成绩更稳定的是乙．
故答案为：乙．
【分析】方差越小，成绩越稳定，据此判断即可.
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设P的坐标是，
∵P在上，∴，
又矩形的面积为3，
∴，即，
由于点P在第二象限，故， ，
∴，即，
∴，
∴该反比例函数的解析式是．
故答案为：．
【分析】设P的坐标是，根据“矩形PMON的面积为3”，可得，即，再求出k=-3，即可得到反比例函数解析式。
16．【答案】(a+4+3b)(a+4-3b)
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：.
故答案为：(a+4+3b)(a+4-3b)
【分析】根据平方差公式即可得到.
17．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC交BD于点O，如图所示：
四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，，
∵点E为AB的中点，
∴，
∵，
∴，
∴△BCE为直角三角形，
，
∴，
为等边三角形，
，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】连接AC交BD于点O，先利用勾股定理的逆定理证明△BCE为直角三角形，求出，可得，证出为等边三角形，再利用勾股定理求出BO的长，即可得到。
18．【答案】或或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
由勾股定理得：
有三种情况：
①当AB=BP=2时，如图1，过B作BM⊥AC于M，
∵S△ABC=×AB×BC=AC×BM，
∴
解得：
∵AB=BP=2，BM⊥AC，
∴
∴AP=AM+PM=，
∴△PAB的面积；
②当AB=AP=2时，如图2，
∵，
∴△PAB的面积；
③作AB的垂直平分线NQ，交AB于N，交AC于P，如图3，则AP=BP，BN=AN=1，
∵四边形ABCD是矩形，NQ⊥AB，
∴PN//BC，
∵AN=BN，
∴AP=CP，
∴
∴△PAB的面积
即△PAB的面积为或或，
故答案为：或或．
【分析】有三种情况：①当AB=BP=2时，②当AB=AP=2时，③作AB的垂直平分线NQ，交AB于N，交AC于P，再分别画出图象并求解即可。
19．【答案】解：原式
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先利用有理数的乘方、特殊角的三角函数值和绝对值的性质化简，再计算即可。
20．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果.
其中小亮抽到的两个盒子里，面值恰好是8分邮票和50分邮票的结果数为2，
所以小亮抽到的两个盒子里，面值恰好是8分邮票和50分邮票的概率=．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】(1)小亮从中随机抽取一个盒子，盒子里的邮票面值是50分的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
21．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
由折叠性质得：，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：如图，过作于点，
∵四边形是平行四边形，，
∴.
∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∴，，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再结合，证出四边形是菱形即可；
（2）过作于点，先求出，，利用线段的和差求出BH的长，最后利用勾股定理求出BG的长即可。
22．【答案】（1）解：由题意可得，当时，；
当时，，
由上可得，与之间的函数关系式是
（2）解：按方案一购买需要花费：（元），
按方案二购买需要花费：（元），
∵，
∴小陈按照方案一购买更划算．
【知识点】一次函数的实际应用；列一次函数关系式
【解析】【分析】（1）分段表示，再分别列出函数解析式即可；
（2）分别求出两种方案的花费，再比较大小即可。
23．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴.
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴为的切线.
（2）解：如图，连接，
∵为的直径，
∴.
∵，，
∴.
∵，
∴.
∵，，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用角的运算求出，可得，再结合BC为圆的直径，可证为的切线；
（2）连接BM，先证明，可得，再将数据代入求出即可。
24．【答案】（1）解：当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为
（2）解：由抛物线的解析式，
∴抛物线的顶点坐标为，
抛物线顶点到轴的距离为，
∵当 时，随的增大而增大，
∴当时，取最小值为，
∴抛物线顶点到轴的最小距离为10
（3）解：由题意可得，当时，抛物线的解析式为，
∴，
∴直线的解析式为，直线的解析式为，
∴可设，，
∴，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
由题可得、是方程的两根，
化简，得，
∴，解得，
∴直线与轴的交点坐标为．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）将代入，再利用配方法将一般式化为顶点式求解即可；
（2）先求出抛物线的顶点坐标为，即可得抛物线顶点到x轴的距离为，再求解即可；
（3）设，，结合，， 求出，再根据根与系数的关系可得，求出，即可得到直线AB与y轴的交点坐标。
云南省昭通市巧家县2021-2022学年九年级下学期期中数学试题
一、单选题
1．（2022七上·泾阳月考）小明家的冰箱冷藏室温度是4℃，冷冻室的温度是℃，则他家的冰箱冷藏室比冷冻室温度高（ ）
A．8℃ B．16℃ C．℃ D．℃
【答案】B
【知识点】有理数的减法
【解析】【解答】(℃)，
即冰箱冷藏室比冷冻室温度高16℃
故答案为：B．
【分析】 利用冷藏室温度减去冷冻室的温度列出算式并计算即可.
2．（2022九下·巧家期中）截至2022年3月，中国已向120多个国家和国际组织提供超过21亿剂新冠疫苗，将数据2100000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】2100000000=．
故答案为：D．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．（2022九下·巧家期中）如图，点E在AB的延长线上，下列条件中能判断AD∥BC的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：由∠2=∠4，可得AD∥CB；
由∠1=∠3或∠C=∠CBE或∠C+∠ABC=180°，可得AB∥DC；
故答案为：B．
【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可。
4．（2022九下·巧家期中）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A. ，A不符合题意；
B. ，B符合题意；
C. 与不是同类项，不能合并，C不符合题意；
D. ，D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用同底数的乘法、幂的乘方、合并同类项及完全平方公式逐项判断即可。
5．（2020七下·东台月考）一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个内角都等于135°，
∴这个多边形的每个外角都等于180°-135°=45°，
∵多边形的外角和为360度，
∴这个多边形的边数为：360÷45=8.
故答案为：D.
【分析】先求出多边形的每一个外角的度数，继而根据多边形的外角和为360度进行求解即可.
6．（2022九下·巧家期中）已知，，，，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，
∴AB＝＝，
∴sinA＝＝，
tanA＝，
tanB＝，
cosB＝＝，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用锐角三角函数的定义逐项判断即可。
7．（2021八下·滨海期末）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ，
所以方程没有实数根．
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再判断求解即可。
8．（2022九下·巧家期中）有一系列式子，按照一定的规律排列成，，，，…，则第个式子为（为正整数）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵第1个数为；
第2个数为；
第3个数为；
第4个数为；
∴第n个数为.
故答案为：A.
【分析】根据前几项中数据与序号的关系可得规律第n个数为。
9．（2022九下·巧家期中）图，电灯在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，米，米，点到的距离是2.4米，则到的距离为（ ）
A．3.6米 B．4米 C．5米 D．5.4米
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E，
∵AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD，
∴AB：CD=PE：PF，
∴3：5=2.4：PF，
∴PF=4米，
故答案为：B．
【分析】过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E，先证明△PAB∽△PCD，可得AB：CD=PE：PF，再将数据代入求出PF的长即可。
10．（2021·南湖模拟）某中学七年级甲、乙两个班进行了一次数学运算能力测试，测试人数每班都为40人，每个班的测试成绩分为 四个等级，绘制的统计图如下：
根据以上统计图提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．甲班 等的人数最多 B．乙班 等的人数最少
C．乙班 等与 等的人数相同 D． 等的人数甲班比乙班多
【答案】D
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图
【解析】【解答】解：由统计图及题意可得：
甲班的测试成绩为 等的人数分别为：5名，8名，13名，14名，
乙班的测试成绩为 等的人数为： （名），测试成绩为 等的人数为： （名），测试成绩为 等的人数为： （名），测试成绩为 等的人数为： （名），
∴A、B、C选项说法正确，D选项说法错误，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】由统计图可得甲班的测试成绩为A、B、C、D等的人数，由扇形统计图可求出乙班的测试成绩为A等、B等、C等、D等的人数，据此判断.
11．（2022九下·巧家期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC=CD，连接AC．若∠DAB=40°，则∠D的度数为（ ）
A．70° B．120° C．140° D．110°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵BC=CD，
∴，
∵∠DAB=40°，
∴∠BAC=∠DAB=20°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D=180°﹣∠B=110°，
故答案为：D．
【分析】先求出∠BAC=∠DAB=20°，利用三角形的内角和求出∠B=90°﹣∠BAC=70°，再利用圆内接四边形的性质求出∠B=90°﹣∠BAC=70°即可。
12．（2022九下·巧家期中）已知抛物线经过点，，则关于的一元二次方程的解为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，0），（3，0），
∴a-b+c=0，，
∴b=-2a，c=-3a，
∵a（x+1）2-cx=a+2b，
∴a（x+1）2+3ax=-3a，
∴a（x+1）2+3a（x+1）=0，
∴a（x+1）（x+1+3）=0，
解得x=-1或x=-4．
故答案为：A．
【分析】根据a（x+1）2-cx=a+2b，可得a（x+1）（x+1+3）=0，再求出x=-1或x=-4即可。
二、填空题
13．（2022九下·巧家期中）已知，则mn= ．
【答案】16
【知识点】非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵，
∴m-2=0，n-8=0，
∴m=2，n=8，
∴mn=2×8=16．
故答案为：16．
【分析】根据非负数之和为0的性质可得m-2=0，n-8=0，求出m、n的值，再将m、n的值代入mn计算即可。
14．（2022八下·肇源期末）甲、乙、丙、丁四人参加滑雪比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，你认为成绩更稳定的是 ．
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵s甲2=0.2，s乙2=0.15，s丙2=0.25，s丁2=0.4，
∴方差最小的为乙，
∴成绩更稳定的是乙．
故答案为：乙．
【分析】方差越小，成绩越稳定，据此判断即可.
15．（2022九下·巧家期中）如图，点在反比例函数的图像上，过点作轴于点，轴于点，若矩形的面积为3，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设P的坐标是，
∵P在上，∴，
又矩形的面积为3，
∴，即，
由于点P在第二象限，故， ，
∴，即，
∴，
∴该反比例函数的解析式是．
故答案为：．
【分析】设P的坐标是，根据“矩形PMON的面积为3”，可得，即，再求出k=-3，即可得到反比例函数解析式。
16．（2022八下·礼泉期末）分解因式： .
【答案】(a+4+3b)(a+4-3b)
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：.
故答案为：(a+4+3b)(a+4-3b)
【分析】根据平方差公式即可得到.
17．（2022九下·巧家期中）如图，在菱形中，点是的中点，连接，交于点．，，则的长是 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC交BD于点O，如图所示：
四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，，
∵点E为AB的中点，
∴，
∵，
∴，
∴△BCE为直角三角形，
，
∴，
为等边三角形，
，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】连接AC交BD于点O，先利用勾股定理的逆定理证明△BCE为直角三角形，求出，可得，证出为等边三角形，再利用勾股定理求出BO的长，即可得到。
18．（2022九下·巧家期中）如图，在矩形中，，，点是对角线上一点，当点、、组成一个等腰三角形时，的面积为 ．
【答案】或或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
由勾股定理得：
有三种情况：
①当AB=BP=2时，如图1，过B作BM⊥AC于M，
∵S△ABC=×AB×BC=AC×BM，
∴
解得：
∵AB=BP=2，BM⊥AC，
∴
∴AP=AM+PM=，
∴△PAB的面积；
②当AB=AP=2时，如图2，
∵，
∴△PAB的面积；
③作AB的垂直平分线NQ，交AB于N，交AC于P，如图3，则AP=BP，BN=AN=1，
∵四边形ABCD是矩形，NQ⊥AB，
∴PN//BC，
∵AN=BN，
∴AP=CP，
∴
∴△PAB的面积
即△PAB的面积为或或，
故答案为：或或．
【分析】有三种情况：①当AB=BP=2时，②当AB=AP=2时，③作AB的垂直平分线NQ，交AB于N，交AC于P，再分别画出图象并求解即可。
三、解答题
19．（2022九下·巧家期中）计算：
【答案】解：原式
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先利用有理数的乘方、特殊角的三角函数值和绝对值的性质化简，再计算即可。
20．（2022九下·巧家期中）2022年是中国壬寅年（虎年），小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的三张纪念邮票（邮票面值分别为8分，1.20元，和50分），3张纪念邮票分别放到、、三个完全相同的不透明盒子中．
（1）小亮从中随机抽取一个盒子，盒子里的邮票面值是50分的概率是 ．
（2）小亮随机抽取两个盒子后记下邮票面值，用画树状图（或列表）的方法，求小亮抽到的两个盒子里，面值恰好是8分邮票和50分邮票的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果.
其中小亮抽到的两个盒子里，面值恰好是8分邮票和50分邮票的结果数为2，
所以小亮抽到的两个盒子里，面值恰好是8分邮票和50分邮票的概率=．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】(1)小亮从中随机抽取一个盒子，盒子里的邮票面值是50分的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
21．（2022九下·巧家期中）如图，在平行四边形中，将平行四边形折叠，使点落在边上的点处，折痕为，连接、、，与交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，，求的长度．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
由折叠性质得：，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：如图，过作于点，
∵四边形是平行四边形，，
∴.
∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∴，，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再结合，证出四边形是菱形即可；
（2）过作于点，先求出，，利用线段的和差求出BH的长，最后利用勾股定理求出BG的长即可。
22．（2022九下·巧家期中）富民杨梅是云南省富民县特产水果，中国地理标志产品（农产品地理标志）．成片的杨梅园遍布富民的村村寨寨，处处洋溢着“种杨梅、摘杨梅、品杨梅、卖杨梅”的喜悦．小陈想在富民县某果园购买一些杨梅，经了解，该果园的杨梅有以下两种销售方案：
方案一：整箱销售（无包装），定价为10元/斤，如果一次性购买10斤以上，超过10斤部分的杨梅的价格打8折；
方案二：整箱销售（精美包装），每箱装10斤，定价为100元/箱．
（1）设小陈购买杨梅斤，按方案一购买的付款金额为元，求出与之间的函数关系式．
（2）若小陈想在该果园购买30斤杨梅，并将这些杨梅（每10斤装箱）送给外地的三个好朋友，已知小陈购买散称杨梅自己包装时，每10斤需要包装费5元．请你帮助小陈计算，按哪种方案购买更划算？
【答案】（1）解：由题意可得，当时，；
当时，，
由上可得，与之间的函数关系式是
（2）解：按方案一购买需要花费：（元），
按方案二购买需要花费：（元），
∵，
∴小陈按照方案一购买更划算．
【知识点】一次函数的实际应用；列一次函数关系式
【解析】【分析】（1）分段表示，再分别列出函数解析式即可；
（2）分别求出两种方案的花费，再比较大小即可。
23．（2022九下·巧家期中）如图，在中，，以为直径作，交于点，作交延长线于点，为上一点，且．
（1）求证：为的切线．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴.
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴为的切线.
（2）解：如图，连接，
∵为的直径，
∴.
∵，，
∴.
∵，
∴.
∵，，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用角的运算求出，可得，再结合BC为圆的直径，可证为的切线；
（2）连接BM，先证明，可得，再将数据代入求出即可。
24．（2022九下·巧家期中）已知抛物线（为常数）．
（1）当时，求抛物线的对称轴和顶点坐标．
（2）当时，求抛物线顶点到轴的最小距离．
（3）当时，点为该抛物线上的两点（非轴上的点），顶点为，直线的解析式为，直线的解析式为，若，求直线与轴的交点坐标．
【答案】（1）解：当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为
（2）解：由抛物线的解析式，
∴抛物线的顶点坐标为，
抛物线顶点到轴的距离为，
∵当 时，随的增大而增大，
∴当时，取最小值为，
∴抛物线顶点到轴的最小距离为10
（3）解：由题意可得，当时，抛物线的解析式为，
∴，
∴直线的解析式为，直线的解析式为，
∴可设，，
∴，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
由题可得、是方程的两根，
化简，得，
∴，解得，
∴直线与轴的交点坐标为．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）将代入，再利用配方法将一般式化为顶点式求解即可；
（2）先求出抛物线的顶点坐标为，即可得抛物线顶点到x轴的距离为，再求解即可；
（3）设，，结合，， 求出，再根据根与系数的关系可得，求出，即可得到直线AB与y轴的交点坐标。
